"justify"> 
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

7.4. Раскрытие неопределенностей.  Правило Лопиталя

   1. Неопределенность вида 0/0. Первое  правило Лопиталя .

   Если  = 0, то , когда последний существует.

   2. Неопределенность вида ¥ / ¥ . Второе правило Лопиталя .

   Если  = ¥ , то , когда последний существует.

   3. Неопределенности вида 0 × ¥ , ¥  - ¥ , 1 ^¥ и 0 ⁰ сводятся к неопределенностям 0/0 и ¥ / ¥ путем алгебраических преобразований.

Пример 3.25. Найти предел функции y = при x ® 0.

Решение. Имеем неопределенность вида ¥ - ¥ . Сначала преобразуем ее к неопределенности вида 0/0, для чего достаточно привести дроби к общему знаменателю. К полученному выражению два раза применим правило Лопиталя . Записывая последовательно все промежуточные вычисления, будем иметь :

= = = =  
= = .

Пример 3.26 . Найти .

Решение. Раскрывая неопределенность вида ¥ / ¥ по правилу Лопиталя , получаем:

 = = =0.

Пример 3.27 . Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность вида 1 ^¥ . Обозначим искомый предел через A. A = .

Тогда ln A = = = = 2, Þ  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

14. Элементы теории  вероятностей: классификация  событий. Классическое  и статистическое  определения вероятности.  Методы теории  вероятностей

Классификация событий

Опытом  или испытанием называют всякое осуществление комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием.

В основе теории вероятностей лежит понятие  случайного события. Случайным называется событие, которое в данном опыте может произойти, а может и не произойти.

Событие называют достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте. Достоверное событие принято обозначать как Ω. Событие называется невозможным в данном опыте, если оно в этом опыте произойти не может. Для обозначения такого события применяют знак Æ.

Два события  называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого в этом опыт, и несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании.

Два события  называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Отдельно для произвольного события А выделяют событие Ā, которое читается как «не А» и означает, что событие А не произошло.

События считают равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

Примеры несовместных событий:

• выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты; 
   
• попадание и промах при одном выстреле; 
   
• появление 1, 3, 4 при бросании игральной кости.

Примеры равновозможных событий:

• выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты; 
   
• появление 1, 3, 4, 5 при бросании игральной кости; 
   
• появление карты бубновой, червонной, трефовой масти при вынимании карты из колоды.

Множество событий A₁,A₂,... ,A_n называют полной группой, если они попарно несовместны, т.е. появление одного и только одного из них является достоверным событием. Например, полную группу образуют события A₁,A₂,...,A₆, где A_k (к = 1,2,... ,6) - событие «верхней гранью оказалась грань с цифрой к» (при подбрасывании игрального кубика).

Примеры событий, образующих полную группу:

• выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты; 
   
• попадание и промах при выстреле; 
   
• появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 при бросании игральной кости; 
   
• появление белого шара и появление черного шара при вынимании одного шара из урны, в которой 2 белых и 3 черных шара.
• Основной числовой характеристикой случайного события является его вероятность, как мера его объективной возможности.
• Классическое определение вероятности. Вероятность события А определяется формулой
• Р(А) = m/n,
• где n - число всех равновозможных, образующих полную группу элементарных исходов опыта, m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А.
• Статистическое определение вероятности. Относительная частота события А (или просто частота) определяется формулой
• W(A) = m/n,
• где m - число опытов, в которых появилось событие А, n - число всех проведенных опытов.
• Вероятностью события называют число, около которого группируются значения относительной частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.
• Пример 3. При бросании монеты вероятность выпадения герба равна 1/2, а при бросании игральной кости вероятность выпадения 2 (или любой другой цифры) равна 1/6.
• Пример 4. В лотерее «6 из 49» производится выбор 6 номеров из 49 возможных. Выигравшими билетами считаются билеты с 5 или 6 угаданными номерами. Какова вероятность выиграть в лотерее «6 из 49»?
• Решение. Рассмотрим сначала случай угадывания 6 номеров. Очевидно, что число возможных комбинаций по шесть номеров из 49 равно числу сочетаний . Только одна такая комбинация является выигрышной. Следовательно, согласно (6.4) вероятность угадать все шесть номеров равна

 
 
 
 

15. Условная вероятность.  Формула полной  вероятности. Пуассоновский  поток событий.

Условные  вероятности. Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью и обозначается Р(А|В).

Пример 7. В урне два белых шара и один черный. Вынимаются по очереди два шара. Рассмотрим два события: В - первый шар является белым, А - второй шар также является белым. Очевидно, что вероятность события В равна 2/3. В тоже время вероятность события А зависит от того произошло или нет событие В. В частности, если первый шар оказался белым, то вероятность А равна 1/2, а если первый шар оказался черным, то - 1. Таким образом, в приведенном примере условная вероятность Р(А|В) = 1/2.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Р(АВ) = Р(А)Р(В|А)

В качестве важного следствия теоремы следует  отметить, что вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Этот  результат следует из условия  независимости события А от события В, которое можно записать в виде:

Р(А|В) = Р(А),

что означает: случайные события А и В независимы тогда и только тогда, когда условные вероятности этих событий совпадают с их безусловными вероятностями.

Пример 8. В коробке 9 белых шаров и 1 черный шар. Вынимается одновременно 3 шара. Какова вероятность того, что все они белые?

Решение. Пронумеруем выбранные шары. Очевидно, вероятность того, что первый шар белый (событие 1Б) Р(1Б) = 9/10. Тогда вероятность того, что второй шар белый (событие 2Б) при выполнении события 1Б описывается выражением: Р(1Б2Б) = Р(1Б)Р(2Б|1Б). При этом условная вероятность Р(2Б|1Б) = 8/9. Применяя повторно формулу для события ЗБ (третий шар белый) получим  
Р(1Б2БЗБ)-Р(1Б2Б)Р(ЗБ|1Б2Б), где условная вероятность Р(ЗБ|1Б2Б) (т.е. 3-й шар белый при условии, что 1-й и 2-й тоже белые) равна 7/8. Тогда окончательный ответ

Пример 9. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.

Решение. Рассмотрим, например, вариант выпадения 1 на всех игральных костях. Вероятность выпадения 1 на любой из костей очевидно равна1/6. При этом результат выпадения на одной кости не влияет на результат выпадения на других, т.е. события независимые. Тогда согласно следствию формулы (6.9) вероятность выпадения 1 на всех четырех костях равна

Очевидно, что вероятность выпадения на всех четырех костях других чисел  такая же. Тогда, применяя формулу (6.8), получим, что искомая вероятность  равна

Пример 10. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью не меньше 0.8 хотя бы один раз выпала шестерка?

Решение. Для решения этой задачи легче воспользоваться противоположным событием, а именно, при n бросаниях шестерка не выпала ни разу (событие А). Согласно формулам умножения вероятностей легко получим, что вероятность такого события (5/6)ⁿ (здесь 5/6 - вероятность не выпадения шестерки при одном броске). Тогда, согласно основным свойствам вероятностей, вероятность того, что шестерка выпала хотя бы один раз при n бросках (событие Ā ) равна

Остается  решить неравенство

Нетрудно  посчитать, что минимальное целое  число удовлетворяющее этому неравенству равно 9.

Формула полной вероятности. Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей - является так называемая формула полной вероятности.

Пусть имеется полная группа несовместных событий H₁, H₂,... , Н_n, называемых так же гипотезами. Тогда вероятность некого события А, которое может произойти с этими гипотезами равна

Формула Байеса. Одно из интересных применений формулы полной вероятности связано с формулами Байеса. Если в выражении для условной вероятности

заменить  вероятность Р(А) по формуле полной вероятности, то получим формулу Байеса

Выражение (6.11) применяется для вычисления условной вероятности P(H₁|A) гипотезы H₁ после испытания, при котором произошло событие А. Другими словами, формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез, принятые до испытания (априорные), по результатам уже произведенного испытания.

Пример 11. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0.8, для второго 0.4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:

1. H₀₀ - ни один из стрелков не попал;
2. H₁₀ - первый попал, второй промазал;
3. H₀₁ - первый не попал, второй попал;
4. Н₁₁ - оба стрелка попадают.

Согласно  формулам умножения вероятностей для  независимых событий вероятности  этих гипотез:

Р(H₀₀) = 0.2 ∙ 0.6 = 0.12;

P(H₁₀) = 0.8 ∙ 0.6 = 0.48;

Р(H₀₁) = 0.2 ∙ 0.4 = 0.08;

Р(Н₁₁) = 0.8 ∙ 0.4 = 0.32.

Условные  вероятности события А (всего одна пуля в мишени) при этих гипотезах следующие:

Таким образом, после проведения стрельбы с полученным результатом гипотезы H₀₀ и Н₁₁ становятся невозможными, а вероятности гипотез H₁₀ и H₀₁ согласно (6.11) равны:

 
 
 

19. Элементы финансовой  математики: банковский  депозит под простые  проценты; потребительский  кредит; амортизационные  отчисления

Потребительский кредит

Частным случаем погашения долга равными  срочными уплатами является потребительский  кредит, при котором проценты начисляются  сразу на всю сумму кредита, а  сумма задолженности равномерно погашается на протяжении всего срока  кредита. Проценты в потребительском  кредите начисляются сразу на всю сумму долга по простой  ставке:

I = D • n • i

Тогда общая сумма расходов по погашению  кредита складывается из выплаты  процентов и суммы основного  долга:

ΣY_t = D + I

Следовательно, размер срочной уплаты определяется по формуле:

ΣY_t = (D + I) : (n • m),

где n – срок кредита в годах;