Лекции по "Математике"

1. Элементы линейной  алгебры: определители, их свойства и  вычисление

1.1. Матрицы и линейные операции над ними

Определение 1. Прямоугольная таблица, составленная из элементов и имеющая m-строк и n-столбцов, называется матрицей размера 

.

В литературе приняты следующие обозначения  матриц:

Элементы  a_ij , входящие в матрицу, называются элементами матрицы; a_ij могут быть числами или функциями. Первый индекс i – номер строки (i = 1, 2, … , m), второй j –  номер столбца (j = 1, 2, … , n).

Примеры.   

-   это матрица размерности 3 x 4, элементами которой являются действительные числа,

   -   это матрица размерности (2 x 2), элементами которой являются функции.

Рассмотрим  некоторые виды матриц:

1) Если m = n ( то есть число строк матрицы равно числу столбцов), то матрица А называется квадратной порядка n.

Элементы a_ij, i = j, то есть a₁₁ , a₂₂ ,......, a_nn образуют так называемую главную диагональ матрицы.

2) Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю (то есть a_ij = 0 при i   j ),  а диагональные элементы отличны от нуля (то есть , если i = j, то такая матрица называется диагональной

  

3) Диагональная матрица, у которой   называется единичной и обозначается Е (на множестве матриц играет роль единицы).

4) Квадратная матрица называется треугольной, если все её элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

    –  верхняя треугольная матрица

      –  нижняя треугольная

5) Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой.

6) Матрица, у которой только одна строка, называется строчной  (a₁₁    a₁₂ ^... a_1n )= (a_1j )_1n

7) Матрица, у которой только один столбец, называется столбцовой

К линейным операциям над матрицами относятся: сложение, вычитание матриц и умножение  матрицы на число.

Определение 2. Суммой (разностью) двух матриц А и В одинакового размера (т x  п) называется матрица. С того же размера, элементы которой  c_ij    равны сумме (разности) элементов матриц А и В:

 

Определение 3. Произведением матрицы А на число a называется матрица B, которая получается из матрицы А умножением на a всех её элементов, то есть

B = a A  ( b_ij = a a_ij )

Определение 4. Матрицы А и В одного размера

называются  равными (А = В), если каждый элемент a_ij матрицы А равен соответствующему элементу b_ij матрицы В.

(a_ij= b_ij, i = 1, 2, 3....m, j= 1, 2, 3...n).

Свойства  линейных операций.

1. A + B = B + A ,   если А и В –  матрицы одного размера

2. A + 0 = A ,   добавление нулевой матрицы не меняет матрицы А.

3. (A + B) + C = A+(B+C)

4. Существует  единственная матрица (-1) ^.A=-A , если  A+(-A) = 0 

5.  b ^.A=0, если b = 0 .

6. b (A+B) = bA +bB, b = const.

Пример.  Найти матрицу 2А -  3В + 5, если

        и             

Решение. На множестве матриц роль единицы играет единичная матрица, следовательно,

Q  = 2А -  3В + 5 = 2А -  3В + 5E:

.

1.2  Определители, их свойства и вычисление. Минор и алгебраическое дополнение

Рассмотрим  квадратную матрицу п-порядка

Сопоставим  этой матрице А определённое число, которое назовём определителем этой матрицы и обозначим его одним из символов:

.

Определение 1. Минором M_ij элемента a_ij  определителя п-го порядка называется определитель (п -  1) -порядка, полученный из данного  определителя путём вычёркивания элементов i-строки и j-столбца.

Определение 2. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij   определителя  D_A называется число A_ij  = (-1)^i+j, то есть алгебраическое дополнение  A_ij   элемента  a_ij  –  это его минор, умноженный на  (-1)^i+j

Пример. Найти алгебраические дополнения  A₃₁, A₃₂  для определителя

Решение. Найдём сначала миноры M₃₁, M₃₂, а затем соответствующие им алгебраические дополнения.

             

.                  .               

В общем  виде для

Перечислим  основные свойства определителей.

1. Перестановка двух строк или двух столбцов определителя равносильна умножению его на (- 1).

Например,           

2. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю.

Например,          

3. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число l равносильно умножению определителя на это число l .

5. Если  элементы двух столбцов или двух строк  определителя пропорциональны, то определитель равен  нулю.

Например,

так как  первый и второй столбец определителя пропорциональны

.

6. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель l , то величина определителя не изменится.

Например,           .     

 7. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, то есть

.

Задачи  для самостоятельного решения

Доказать  справедливость равенств, пользуясь  перечисленными выше свойствами определителей.

       

     

 Рассмотрим теперь вопрос о вычислении определителей.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо i-строки на их алгебраические дополнения.

.

Обратимся к частным случаям:

I. п = 2.

По определению  алгебраического дополнения

A₁₁=(-1)¹⁺¹a₂₂;  A₁₂=(-1)¹⁺²a₂₁=-a₂₁

В итоге 

Примеры

1.     .

2.

II. n = 3.

=a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₂₁a₃₂a₁₃ - a₃₁a₂₂a₁₃ - a₃₂a₂₃a₁₁ - a₂₁a₁₂a₃₃.

Чтобы запомнить, какие произведения в  правой части равенства берутся  со знаком "+” , а какие –  со знаком “-” , полезно запомнить следующее правило треугольников:

Примеры

I I I . n = 4.

        = (разложим по элементам первой строки) =

  

 Таким образом, вычисление определителя 4-го порядка свелось к вычислению определителей третьего порядка. Совершенно аналогично вычисляются определители 5-го порядка. Они сводятся к вычислению определителей 4-го порядка, а вычисление определителя п-го порядка –  к вычислению определителей (п -  1)-го порядка.

Вычисление  определителей п = 4, 5.... порядков довольно громоздко. Поэтому, для облегчения задачи вычисления определителей порядков больше чем 3, используют перечисленные выше свойства. Объём вычислений зависит от удачно выбранной строки или столбца, по которым производится разложение. Так, если некоторые элементы строки (или столбца) равны нулю, то необходимость в вычислении соответствующих алгебраических дополнений отпадает. Имея это в виду, обычно путём использования свойства 6 добиваются того, чтобы в одной из строк оказалось как можно больше элементов равных нулю, так, чтобы вычисление