Лекции по "Математике"

   

 свелось  к вычислению только одного   

.

Пример. Вычислить определитель          .

Произведём  следующие действия:

1. Умножим элементы второй строки на (- 3) и прибавим к элементам первой строки 

2. Умножим элементы второй строки на 2 и прибавим к элементам третьей строки   

3. Умножим элементы второй строки на (- 1) и прибавим к элементам четвёртой строки   

Разложим  этот определитель по элементам первого  столбца   .

= -[(-1)^.9^.0+(-2) · 10 · 1+1·2 · (-10) -1· 9 · (-10) -2· 10 · (-1) - 1· (-2) · 0]=70       
 

2. Элементы  линейной алгебры: матрицы; виды матриц; действия над матрицами

Определение 1. Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел a_ij, которые называют элементами матрицы и обозначается

Заметим, что элементами матрицы могут  быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые  стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок  и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица, которая  будет содержать описание вашей  библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят  разные функции, объединенные между  собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет называться матрицей. Иными словами, Матрица, это  любая прямоугольная таблица, составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.

Вместо  круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или  прямые двойные вертикальные линии 

Определение 2. Если в выражении (1) m = n, то говорят о квадратной матрице, а если m n, то о прямоугольной.

В зависимости  от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:

1. Матрица - строка (или строковая матрица), состоящая из одной строки. Это прямоугольная матрица размером 1 × n.
2. A=(a₁₁  a₁₂  ...  a_n).
3. Матрица - столбец (столбцевая матрица), состоящая только из одного столбца. Это также прямоугольная матрица размером m × 1

4. Матрица, состоящая из одного элемента. A=(a₁₁)_1×1=a₁₁.
5. Нулевая матрица, состоящая из одних нулей, в матричной алгебре играет роль 0, обозначается V.

6. Единичная матрица, состоящая из нулей, кроме главной диагонали, на которой стоят единицы. Обозначается E и играет роль единицы в матричной алгебре

7. Диагональная  матрица, квадратная порядка n, состоящая из нулей и на главной диагонали стоят не равные нулю элементы (не обязательно единицы)

Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант, который составляется из элементов матрицы и обозначается

Очевидно, что D_E=1; D_V= .

Определение 3. Если detA 0, то матрица A называется невырожденной или не особенной.

Определение 4. Если detA = 0, то матрица A называется вырожденной или особенной.

Определение 5. Две матрицы A и B называются равными и пишут A = B, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е.

Например, матрицы  и равны, т.к. они равны по размеру и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы. А вот матрицы и нельзя назвать равными, хотя детерминанты обеих матриц равны, и размеры матриц одинаковые, но не все элементы , стоящие на одних и тех же местах равны. Матрицы и разные, так как имеют разный размер. Первая матрица имеет размер 2х3, а вторая 3х2. Хотя количество элементов одинаковое – 6 и сами элементы одинаковые 1, 2, 3, 4, 5, 6, но они стоят на разных местах в каждой матрице. А вот матрицы и равны, согласно определению 5.

Определение 6. Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n-го порядка, определитель которой Δk называется минором k–го порядка матрицы A.

Пример. Выписать три минора второго порядка матрицы

Решение.

Операции  над матрицами

Определение 9. Суммой двух матриц одинакового размера A=(a_ij) и B=(b_ij) называется матрица C, у которой (c_ij)=(a_ij+b_ij), и записывают C = A + B.

Пример. Найти A + B, если

Решение.

Можно убедится самостоятельно в справедливости равенств

• A + B = B + A;
• (A + B) + C = A + (B + C).

Определение 10. Произведением матрицы A=(a_ij) на число k называется такая матрица C=(c_ij), у которой (c_ij) = (ka_ij).

Для операции произведение матрицы на число справедливы  следующие соотношения:

• kA=Ak;
• k(A+B)=Ak+Bk;
• (k+λ)A=Ak+Aλ;
• k(λA)=λkA=λ(kA).

Определение 11. Матрица B, у которой все элементы равны элементам матрицы A по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки по сравнению со знаками соответствующих элементов матрицы A, называется противоположной матрице A и записывается A=(-1)(a_ij).

Заметим, что умножение любой матрицы  на нулевую дает в результате нулевую  матрицу, как и в обычной алгебре, т.е. ·A= .

Если A - квадратная матрица, то тогда также очевидно равенство

det(λA)=λⁿdetA ,

где n - размер матрицы A.

Определение 12. Если A=(a_ij)_m×p, а B=(b_ij)_p×n, то произведением матрицы A на матрицу B назовем матрицу C, каждый элемент которой вычисляют по формуле:

C = A·B = (a_ij)_m×p·(b_ij)_p×n=(a_s1b_1k+a_s2b_2k+...+a_skb_sk)_m×n=(c_ij)_m×n

Из определения 12 видно, что каждый элемент матрицы C = AB, расположенный в s-ой строке и k-ом столбце равен сумме произведений элементов s-ой строки матрицы A на элементы k-го столбца матрицы B.

При перемножении матриц можно воспользоваться следующей  таблицей. Покажем этот на примере.

Пусть требуется перемножить матрицы  и , т.е. найти AB . Составим таблицу: слева запишем элементы матрицы А (которую умножают), а снизу – элементы матрицы В (на которую умножают):

Результат будем записывать в выделенных ячейках, по формуле – сумма произведений соответствующих элементов: