Лекции по "Математике"

Два вектор  а и b называются равными (а = b ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения  равенства векторов следует, что  вектор можно переносить параллельно  самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо  равенство b =d , но а¹ с. Векторы а и с — противоположные, а =-с.

Равные  векторы называют также свободными.

Три вектора  в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

ВЕКТОРНЫЕ  ПРОСТРАНСТВА

На современном  математическом языке пространство, названное здесь условно плоскопараллельным или плоскообъёмным, называется евклидовым пространством. В такое пространство можно ввести векторы с линейными законами их сложения по правилу параллелограмма и умножения, как на обыкновенное число, так и специальные, называемые скалярными и векторными. По этой причине оно ещё называется линейным векторным пространством. Если точку пространства соединить с началом координат отрезком в виде стрелы обращённой остриём к точке, то это будет радиус-вектор, имеющий те же самые координаты что и точка, так как его начало совпадает с началом системы координат. Если таким же отрезком в виде стрелы соединить любые две точки пространства, то это будет просто вектор. Координатами этого вектора будет разность координат конца и начала стрелы. Таким образом, векторы также как и точки пространства имеют координаты, т.е. каждому вектору ставится в соответствие тройка чисел. В отличие от точек векторы имеют направления. Направление вектора определяется двумя точками, одна из которых называется началом вектора, а другая концом. Следовательно, векторы определяют отношение двух точек – одна из них является началом, а другая концом и поэтому являются наилучшим средством для обозначения движения тел.  Кроме того, вектор характеризует удалённость этих точек друг от друга. Чем дальше точки находятся друг от друга, тем длиннее вектор. Расстояние между ними равно модулю вектора, который по теореме Пифагора равен корню квадратному из суммы квадратов координат вектора.

Считается, однако, что само по себе плоскопараллельное пространство однородно, т.е. в нём  самом отсутствуют особые точки  и векторы, указывающие на них. При  любом переносе системы как целого в плоскопараллельном пространстве её  свойства не изменяются. Эта его  особенность возникает благодаря  тому, что все частицы и тела, обладающие массой, вычленяются из него, и считается, что они двигаются  в нём в подвешенном состоянии  как в пустом ящике, как во вместилище тел.  Движение же самого вычлененного тела из одной точки плоскопараллельного  пространства в другую  обозначают вектором, называемым перемещением. Последовательность перемещений образует линию траектории движения тела. Скорость движения тела, ускорение и сила воздействия  одного тела на другое тело также обозначают векторами, длина которых пропорциональна  значению величины. В общем, вектор даёт возможность охарактеризовать все величины обладающие направлением воздействия. Векторные величины можно  представить в виде суммы нескольких векторов или иначе говорят разложить  на   векторы. Например, воображаемый вектор, совпадающий с направлением движения и длиной пропорциональной скорости можно разложить в декартовой системе координат на векторы, совпадающие с осями координат.

        С введением векторов несколько изменился смысл системы  координат. Её координатные оси стали  выражать через единичные векторы: i, j, k  или е₁, е₂, е₃. Таким образом, каждой точке на координатных осях стал соответствовать радиус-вектор: а₁е₁ на одной оси, а₂е₂ на второй оси и а₃е₃ на третьей оси. Тогда произвольной точке плоскопараллельного пространства стал соответствовать радиус-вектор, выражающийся через единичные векторы в виде алгебраической суммы: а=а₁е₁+ а₂е₂+ а₃е₃, а произвольный вектор стал выражаться через единичные векторы и разности соответствующих координат следующим образом: с=(а₁-в₁)е₁+(а₂-в₂)е₂+(а₃-в₃)е₃.

  Векторное пространство – это, тем не менее, нечто другое, чем просто физическое пространство, поскольку в нём  самом отсутствуют векторы как  таковые. Хотя его и накладывают  на физический мир, представленный в  виде плоскопараллельного пространства, но оно есть плод нашего воображения, абстракт внешнего мира. Если мы рассматриваем  векторы перемещений, то это одно векторное пространство. Если же рассматривать  векторы скоростей движения, то это  другое векторное пространство. Векторы  сил образуют третье пространство, векторы ускорений движения тел  – четвёртое пространство и т.д. Все эти пространства накладываются  на евклидово пространство, а формулы  физики преобразуют одно векторное  пространство в другое.

  Для некоторых величин, чтобы охарактеризовать их направленность и величину в плоскопараллельном пространстве пришлось вводить специальные  векторы, называемые псевдовекторами. Нельзя, например, показать вращение тела вектором скорости движения тела по орбите, поскольку   этот вектор   постоянно  меняет направление, поэтому его  характеризуют вектором, направленным вдоль оси вращения по правилу  буравчика, т.е. если глядеть в сторону, указываемую вектором, то направление  вращения ручки буравчика должно быть по часовой стрелке.

      Так как каждому вектору ставится в соответствие числа называемые координатами, то в математике векторами стали называть любые сочетания чисел, над которыми заданы те же действия, что можно производить над координатами обычных векторов.  Оказалось,  что формально можно задать сочетание чисел из любого количества, даже из бесконечного числа. В то время как в Евклидовом пространстве можно задать вектор самое большее из трёх чисел, т.е. оно трёхмерно. Возникает вопрос: - не зависит ли размерность пространства от наших органов зрения, движения и структуры мозга?

              В течение всей своей  истории человек вынужден переходить от кажущихся картин  мира путем  научных рассуждений, к  моделям  более точно отражающих его. Возможно, что плоскопараллельное представление  о мире и вместе с ним математические пространства тоже есть кажущаяся картина  мира, от которой необходимо перейти  к более точной модели. Но к какой? 
 
 
 

8. Функция. Виды функций и способы их задания

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

     Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

     Функция является  нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

     Возрастающая функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)<f(х₂)

     Убывающая функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂)

Раздел 2. Способы задания  функции.

Задать  функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие  им значения функции. Рассмотрим некоторые  способы задания функций.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном  способе задания функции можно  приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие  промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества  табличного способа задания функции  состоят в том, что он дает возможность  определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед  другими способами - наглядность. В  технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным  для этого способом.

Чтобы графическое задание функции  было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать  точную геометрическую конструкцию  графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот  способ дает возможность по каждому  численному значению аргумента  x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если  зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если  же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического  анализа — основные преимущества аналитического способа задания  функции. К недостаткам можно  отнести отсутствие наглядности, которое  компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.

Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q - r=q

Основными недостатками словесного способа задания  функции являются невозможность  вычисления значений функции при  произвольном значении аргумента и  отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности  задания тех функций, которые  не удается выразить аналитически.