Лекции по "Математике"

Раздел 2. Виды функций и  их свойства.

1)  Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2)  Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область  определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При  k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства  функции y=kx+b:

1. Область  определения- множество всех действительных чисел

2. Функция  y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При  k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком  функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства  функции y=k/x:

1. Область  определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k/x- нечетная функция

3. Если  k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Графиком  функции является гипербола.

5)Функция y=x²

Свойства  функции y=x²:

1. Область  определения- вся числовая прямая

2. y=x² - четная функция

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает

Графиком  функции является парабола.

6)Функция y=x³

Свойства  функции y=x³:

1. Область  определения- вся числовая прямая

2. y=x³ -нечетная функция

3. Функция  возрастает на всей числовой  прямой

Графиком  функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xⁿ, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x²;

y=x³. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x².

График  функции напоминает параболу y=x², только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x³. График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x^-n, где n- натуральное число.

При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x^-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства  функции y=x^-2:

1. Функция  определена при всех x¹0

2. y=x^-2 - четная функция

3. Функция  убывает на (0;+¥) и возрастает  на (-¥;0).

Теми  же свойствами обладают любые функции  при четном n, большем двух.

9)Функция y=Öх

Свойства  функции y=Öх:

1. Область определения - луч [0;+¥).

2. Функция  y=Öх - общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+¥).

10)Функция y=³Öх

Свойства  функции y=³Öх:

1. Область  определения- вся числовая прямая

2. Функция  y=³Öх нечетна.

3. Функция  возрастает на всей числовой  прямой.

    

11)Функция y=ⁿÖх

При четном n  функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Öх. При нечетном n функция y=ⁿÖх обладает теми же свойствами, что и функция y=³Öх.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=x^r, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства  функции y=x^r:

1. Область  определения- луч [0;+¥).

2. Функция  общего вида

3. Функция возрастает на [0;+¥).

На рисунке  изображен график функции y=x^5/2. Он заключен между графиками функций y=x² и y=x³, заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x^r, где r>1.

На рисунке  изображен график функции y=x^2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=x^r , где 0<r<1

13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем - функция, заданная формулой y=x^-r, где r-

положительная несократимая дробь.

Свойства  функции y=x^-r:

1. Обл.  определения -промежуток (0;+¥)

2. Функция  общего вида

3. Функция  убывает на (0;+¥)

14)Обратная функция

Если  функция y=f(x) такова, что для любого ее значения y_o уравнение f(x)=y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Если  функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим  в аргумент функцию y=x+2.

Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией. 
 

9. Предел  функции. Правила раскрытия неопределенностей

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция имеет предел в точке если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

Определения (определение по Коши, ε−—определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества Число называется пределом функции при стремящемся к , если

• (окрестностное определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества Число называется пределом функции при стремящемся к , если для любой окрестности точки существует проколотая окрестность точки такая, что

• (определение  по Гейне) Пусть дана функция  и — предельная точка множества Будем называть последовательностью Гейне, если и при Число называется пределом функции при стремящемся к тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем

при  

 При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями. 
Перечислим все основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль (0 на 0), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль . 
 
ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ. 
 
Раскрывать неопределенности позволяет:

• упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
• использование замечательных пределов;
• применение правила Лопиталя;
• использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

 Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей. Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).