Математические методы в принятии решений

 

Кейс №2.

В городе Загорье приближается праздник - 500 лет со для основания. Городская дума решила отметить эту  круглую дату, провести праздник, а  заодно обеспечить пополнение городского бюджета. И вот мы присутствуем на заседании, где обсуждаются детали.

Надо решить, где проводить  праздник - на открытом воздухе или  в здании городского театра. Финансовый результат праздника зависит  от погоды, которая будет в тот  день. При хорошей солнечной погоде все Загорье выйдет на улицы, праздничные  мероприятия соберут массу участников, и городской бюджет пополнится солидной суммой. А если дождь? Загорцы - патриоты своего города, и праздничные эстрады, качели и карусели не будут пустовать, но их посетителей, празднующих под  зонтиками, будет, конечно, много меньше, чем в солнечную погоду. 

Второй вариант - празднование в здании. Он явно выигрывает в случае дождя - праздновать под крышей явно лучше, чем под зонтиками. Однако в солнечную погоду многие жители Загорья предпочтут радоваться солнцу, гулять или работать в садах и  огородах, но не праздновать в здании.

Итак, каждый из двух вариантов  решения имеет плюсы и минусы. Для принятия решения явно не хватает  следующей количественной информации:

- насколько вероятна в  день праздника солнечная погода  и насколько - дождливая;

- каковы финансовые результаты  праздника при различных вариантах  сочетания погоды и места проведения (а таких сочетаний четыре: солнечно - проведение на открытом воздухе,  праздник под дождем, в  театре  при солнце, в здании при дожде).

На первый вопрос Дума поручает ответить городскому гидрометцентру, на второй - группе из режиссеров праздника, бухгалтеров и представителей торговых фирм. Перед началом следующего заседания  думцы Загорья получают запрошенные  ими количественные данные, сведенные  в таблицу.

Табл.1. Прибыль города при различных  вариантах проведения праздника (тыс.руб.)

Погода	Праздник на открытом воздухе	Праздник в театре
Солнечно ( 60 % )	1000	750
Дождь ( 40 % )	200	500

 

В Думе началась дискуссия.

- Надо получить побольше  в самом плохом случае, - сказал  осторожный Воробьев. - А хуже  всего - при дожде, доходы по  сравнению с солнечной погодой  уменьшаются при любом нашем  решении. При дожде на открытом  воздухе заработаем 200 тысяч, а  собравшись в театре - 500 тысяч.  Значит, надо проводить праздник  в театре - и как минимум 500 тысяч  нам обеспечены.

- Нельзя быть таким  пессимистом, - заявил горячий Лебедев. - Чаще всего в нашем городе  солнечно, дожди - лишь исключение. Надо быть оптимистами - исходить  из того, что все пойдет, как  мы хотим, будет солнечно, мы  проведем праздник на открытом  воздухе и получим миллион  в бюджет Загорья.

- На мой взгляд, и пессимист  Воробьев, и оптимист Лебедев  обсуждают крайние случае - самую  худшую ситуацию и самую лучшую. А надо подходит систем 6 со  всех сторон, учесть обе возможности, - начал выступление обстоятельный  Чибисов, профессор-математик местного  университета, специалист по теории  вероятностей. - Рассмотрим сначала  первый вариант - праздник на  открытом воздухе. Мы получим  1000 тыс. в 60 % случаев (когда  будет солнце) и  200 тыс. в 40 % случаев (при дожде), значит, в  среднем 1000 х 0,6 + 200 х 0,4 = 600 + 80 = 680 тысяч. А для второго варианта  аналогичный расчет дает 750 х 0,6 + 500 х 0,4 = 450 + 200 = 650 тыс. Значит, надо  проводить праздник на открытом  воздухе.

- Коллега Чибисов рассуждает  так, как будто мы будем отмечать 500 лет Загорья каждый год, да  и все данные в таблице лет  сто не изменятся, - вступил в  дискуссию экономист Куликов. - Но  нам предстоит провести только  один праздник, и сделать это  надо так, чтобы потом не  жалеть об упущенных возможностях. Если мы решим проводить торжества  на открытом воздухе, а пойдет  дождь, то получим 200 тыс. вместо 500 тыс. при решении, соответствующе  погоде, т.е. упущенная выгода  составляет 500 - 200 = 300 тыс. При праздновании  в театре в случае солнечной  погоды упущенная выгода составит 1000 - 750 = 250 тыс., т.е. будет меньше. Значит, надо отмечать 500 лет Загорья  в театре.

- Подведем итоги, - взял  слова председательствующий Медведев. - Выступили четверо, каждый привел  убедительные доводы в пользу  того или иного решения. При  этом за проведение торжества  в театре выступили Воробьев  и Куликов, а за проведение  мероприятия на открытом воздухе  - Лебедев и Чибисов. Будем голосовать.

Результаты голосования - 15 думцев за торжество за открытом воздухе, 8 (в основном представители  старшего поколения) - за проведение его  в театре. Решение принято - 500 лет  Загорья будут отмечаться на открытом воздухе.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Тест

1. Основная цель оптимизации  заключается:

А) в нахождении оптимального решения;

Б) в нахождении всех возможных решений;

В) в нахождении оптимального решения кратчайшим способом.

2. Найти экстремум функции  f(x) при выполнении ограничений R_i(x) = a_i , φ (x) ≤ b_j , наложенных на параметры функции – это…

А) задача безусловной оптимизации;

Б) задача линейного программирования;

В) задача условной оптимизации;

Г) задача нелинейного программирования;

Д) задача динамического программирования.

3. Если целевая функция  и все ограничения выражаются  с помощью линейных уравнений,  то рассматриваемая задача является:

А) задачей нелинейного программирования;

Б) задачей линейного программирования;

В) задачей целочисленного программирования;

Г) задачей динамического программирования.

4. Что является целью  регрессионного анализа? 

А) восстановление вида связи между входными и выходными переменными объекта в результате исследования физических процессов, происходящих в объекте;

Б) определение степени связи между выходными переменными;

В) определение степени связи между входными переменными;

Г) восстановление вида связи между входными и выходными переменными, описывающими исследуемый объект или процесс.

5. Что не может выступать  в качестве критерия оптимальности  производственного процесса?

А) производственные затраты;

Б) объем продаж;

В) прибыль;

Г) длительность процесса изготовления одного изделия;

Д) объём производства;

Е) потребления электроэнергии.

6. Какой вид изменчивости  результативного признака не  рассматривается в дисперсионной  модели?

А) изменчивость, обусловленная действием каждого фактора;

Б) изменчивость, обусловленная взаимодействием факторов;

В) случайную изменчивость, обусловленную всеми неучтенными обстоятельствами;

Г) изменчивость, обусловленная взаимодействием фактора и результативного признака;

Д) изменчивость, обусловленная наличием уровней каждого фактора.

7. Этапы экономико-математического  моделирования:

А) постановка экономической проблемы, построение математической модели, численное решение, оценка адекватности, применение численных результатов моделирования;

Б) постановка экономической проблемы, построение математической модели, численное решение, оценка адекватности, оценка значимости коэффициентов модели;

В) постановка экономической проблемы, построение математической модели, численное решение, оценка адекватности модели.

 

8. Для чего применяется  нормированный коэффициент детерминации?

А) для определения значимости коэффициентов уравнения регрессии в случае больших объемов выборки;

Б) для определения адекватности уравнения регрессии в случае больших объемов выборки;

В) для определения значимости коэффициентов уравнения регрессии в случае небольших объемов выборки;

Г) для определения адекватности уравнения регрессии в случае небольших объемов выборки.

9. Модель однофакторного  дисперсионного анализа ( x_ij - наблюдаемое значение результативного признака; μ - истинное значение результативного признака; δ - систематическая ошибка измерений результативного признака; ε - случайная ошибка; S2 - дисперсия):

А) x_ij = μ + δ_i + ε_ij;

Б) x_ij = μ + δ_i^A + δ_j^B + δ_ij^AB + ε_ij;

В) S²_общ = S²_внутр + S_A² + S_B² + S_AB².

10. В каком методе одномерной  оптимизации используются данные  формулы: x₁ = ( x_L + x_R - δ )/2 ; x₂ = ( x_L + x_R + δ ) / 2 ?

А) метод равномерного распределения точек по отрезку;

Б) метод половинного деления;

В) метод «золотого сечения»;

Г) метод Фибоначчи.

11. Какими признаками не  обладает система? 

А) подобие составляющих подсистем;

Б) наличие взаимосвязанных частей (подсистем);

В) наличие более крупной, внешней по отношению к данной системе среды;

Г) наличие цели;

Д) целостность.

12. Если X – регрессионная матрица,Y – вектор-столбец наблюдаемых значений, A – вектор-столбец коэффициентов, то модель множественной регрессии в матричном виде:

А) X^TXA = X^TY;

Б) A = X^TXY^-1;

В) XY = A.

13. Дисперсионный анализ  – это …

А) статистический метод, устанавливающий вид зависимости между факторами и результативными признаками, характеризующими исследуемый процесс;

Б) статистический метод, выявляющий влияние отдельных факторов на результативный признак, характеризующий исследуемый процесс, и дающий оценку этого влияния;

В) статистический метод, выявляющий степень связи факторов и результативных признаков, характеризующих исследуемый процесс.

14. Детерминированные модели  – это модели, в которых:

А) результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями;

Б) все зависимости отнесены к одному моменту времени;

В) при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора.

15. Оценка результатов  регрессионного анализа включает:

А) оценку компонентов системы;

Б) проверку целостности исследуемой системы;

В) проверку адекватности уравнения регрессии;

Г) нахождение экстремумов регрессионной функции.

16. Выполнение какого требования  дает возможность применять метод  «золотого сечения» для нахождения  наибольшего значения функции  на отрезке? 

А) унимодальность функции;

Б) многомерность функции;

В) дифференцируемость функции.

17. Выберите неверное утверждение:

А) ЭММ позволяют сделать вывод о поведении объекта в будущем;

Б) ЭММ позволяют управлять объектом;

В) ЭММ позволяют выявить оптимальный способ действия;

Г) ЭММ позволяют выявить и формально описать связи между переменными, которые характеризуют исследования.

18. Социально-экономическая  система не является:

А) вероятностной системой;

Б) кибернетической системой;

В) динамической системой;

Г) детерминированной системой.

19. Основой дисперсионного  анализа является 

А) теория проверки статистических гипотез;

Б) правило расчета коэффициента корреляции;

В) теорема аддитивности.

20. Выполнение какого условия является критерием остановки вычислений в алгоритме поиска оптимального решения методами одномерной оптимизации?

А) если значение ЦФ, вычисленное в текущей точке, меньше значения ЦФ, вычисленного в предыдующей точке;

Б) если отношение длины текущего интервала неопределенности к длине первоначального интервала будет меньше заданной величины ε;

В) если значение ЦФ, вычисленное в текущей точке, меньше значения ЦФ, вычисленного в последующей точке;

Г) если отношение длины текущего интервала неопределенности к длине первоначального интервала будет больше заданной величины ε.

21. Модели, предназначенные  для выбора наилучшего варианта  из определенного числа вариантов  производства, распределения или  потребления, – это…

А) имитационные модели;

Б) балансовые модели;

В) оптимизационные модели;