Математические методы в принятии решений

Для эффективного использования  экономико-математических моделей  в управлении важно различать  модели, предназначенные для непосредственного  использования и встраивания  в управленческую технологию, и аналитические, исследовательские, используемые для  проведения прогнозно-аналитических  расчетов и обоснований. К последним  моделям не следует предъявлять  требований полного соответствия их переменных показателям, используемым в управлении, также как и тесной взаимосвязи моделей с управленческой технологией, направленности на решение заданных, конкретных задач управления, базирования входной информации модели на имеющуюся статистику и нормативную базу.

Аналитические модели призваны, во-первых, формировать первичные  ориентиры, т.е. аналитические значения экономических показателей, используя  которые работники управления смогут эффективнее и качественнее вырабатывать планово-управленческие решения традиционными "немодельными" методами. Такие  модели служат для прогнозно-аналитических  расчетов, предваряющих или сопровождающих практическое управление. Это модели исследовательского типа, которые "вырабатывают" предварительную или вспомогательную информацию об управляемых процессах, определяют ориентировочные значения показателей или величины аналитических расчетных показателей, на основании которых определяются или уточняются показатели проектов, планов, программ, постановлений. Во-вторых, соответствующим образом построенные теоретико-математические модели позволяют получать качественные выводы о поведении экономических объектов управления в тех или иных условиях и ситуациях. В-третьих, работа над аналитическими моделями создает научный задел для дальнейшего совершенствования системы экономико-управленческих моделей. На этих моделях могут экспериментально проверяться многие предложения поискового и исследовательского характера.

Аналитические модели функционируют  вне реального управленческого  процесса, не "вписаны" в его  технологию, накладывающую ряд ограничений  на организацию и временные параметры  процесса, что облегчает осуществление  расчетов по моделям, придает большую "свободу действий" в настройке  модели и ее отладке, которая бывает неизбежной при любом практическом "запуске" сложных недостаточно отработанных моделей или даже при  замене исходной информации отработанной модели. Наконец, оперирование аналитическим модельным аппаратом не обязательно целиком передавать в руки управленцам. Такие модели могут существовать в стенах научно-исследовательских организаций, расчеты по ним проводятся вычислительными центрами при участии разработчиков моделей, а в органы управления передаются итоговые результаты моделирования с требуемым комментарием. Конечно, участие "потребителей" в формировании исходной базы аналитических модельных расчетов и в их осуществлении желательно и способно облегчить использование этих результатов, но такое условие не следует выдвигать непременно.

Благодаря своей известной  автономии по отношению к регламентированному  управленческому процессу аналитические  модели поддаются непрерывному совершенствованию. Эти модели можно использовать как  одиночные, из них удается формировать  аналитические модельные комплексы  и аналитические системы моделей. Заметная степень свободы в выборе числа и вида переменных позволяет  состыковать аналитические модели в одноуровневые и даже многоуровневые системы. На базе аналитических моделей  может быть экспериментально проверен целый ряд направлений совершенствования  экономико-математического моделирования, которые намечается применять в  реальных процессах управления.

Создание и внедрение  в практику управления компьютерных сетей дают возможность ввести принципиально  новый элемент—автоматизированное рабочее место (АРМ) работника органов  управления, позволяющее обеспечить широкий набор услуг при работе с информацией, документами. Создание АРМ должно осуществляться с учетом функций и характера труда  различных категорий работников: так, например, АРМ руководящих работников должны предусматривать возможность  оперативно получать обобщенные данные о разрабатываемом проекте решения, осуществлять сравнительный анализ вариантов решений.

В условиях внедрения единой информационной сети и системы АРМ  в управленческих органах открываются  широкие возможности комплексного совершенствования технологии и  организации управления. С точки  зрения технологии перечисленные средства создают реальную основу для перевода всего процесса управления на "безбумажную" технологию, при которой в виде бумажных документов оформляются лишь окончательные результаты той или  иной стадии работ, а все виды промежуточного обмена информацией (прежде всего внутри органа) производятся с помощью компьютерной сети. С точки зрения организации внедрение этих средств позволит эффективно осуществлять диспетчеризацию управленческого процесса и контроль за его ходом.

7.1 Основные виды  экономико-математических моделей,  применяемые в управлении

 

Существует значительное разнообразие видов, типов экономико-математических моделей, пригодных для использования  в управлении экономическими объектами  и процессами и в той или  иной степени применяемых на практике. В предыдущем изложении были выделены аналитические и прикладные, детерминированные  и стохастические модели. Экономико-математические модели делятся также на макроэкономические и микроэкономические в зависимости  от уровня моделируемого объекта  управления, на динамические, характеризующие  изменение объектов управления во времени, и статические, описывающие взаимосвязи  между разными параметрами, показателями объекта в одно и то же время. Дискретные модели отражают состояние объекта  управления в отдельные, фиксированные  моменты времени, а непрерывные  характеризуют непрерывное изменение  показателей деятельности объекта  во времени. Имитационными называют экономико-математические модели, используемые в целях имитации управляемых  экономических объектов и процессов  с применением средств информационной и вычислительной техники. По типу математического  аппарата, применяемого в моделях, выделяются экономико-статистические корреляционно-регрессионные  модели, модели линейного и нелинейного  программирования, матричные модели, сетевые модели. Возможны и другие способы классификации экономико-математических моделей.

В ходе последующего изложения  отдельные виды экономико-математических моделей, применимые и применяющиеся  в управлении, выделены прежде всего  по признаку области их практического  приложения в задачах управления экономикой и связи с объектами  управления. Краткое описание моделей, входящих в группу данного вида, позволяет понять сущность и назначение моделей этой группы, сферу их использования. Практическая приложимость моделей отдельных видов, групп иллюстрируется простейшими, в основном, условными примерами, так как подробное описание моделей и демонстрация их приложимости на конкретных, реальных примерах не входит в задачу книги, является предметом специальной литературы по экономико-математическому моделированию и его применению в экономике и в управлении экономикой[2].

 

Факторные модели

В группу экономико-математических факторных моделей входят модели, включающие, с одной стороны, экономические  факторы, от которых зависит состояние  и изменение управляемого экономического объекта, и, с другой стороны, —зависящие от этих факторов параметры (показатели) состояния объекта. Если факторы  известны, заданы, то модель позволяет  определить искомые, неизвестные параметры. Возможна и обратная постановка задачи, при которой заданы желаемые показатели состояния экономического объекта, а надо с помощью модели установить значения факторов, обеспечивающих достижение требуемых показателей. При подобной постановке факторы представляют искомые  управляющие воздействия, способные  придать объекту управления желаемое состояние, перевести его в это  состояние. Факторные модели чаще всего  представлены достаточно простыми в  математическом отношении линейными  или степенными функциями, характеризующими связь между факторами и зависящими от них параметрами экономического объекта (процесса).

 

Пример 1. Модель в виде производственной функции

 

Исходим из положения, что  валовой национальный продукт страны ВНП, выраженный в миллиардах рублей, зависит от количества занятых экономической  деятельностью людей L(в тысячах  человек) и объема вложенного в экономику  капитала К, исчисленного в миллиардах рублей, следующим образом

Такую зависимость в экономике  принято называть производственной функцией, в которой L и К играют роль факторов производства.

Пусть известно, например, что  А =0,6; a = 0,5; b = 0,5; L= 60000. Требуется найти  объем капиталовложений К, обеспечивающий получение ВПН=2000 миллиардов рублей в год. Из условия следует, что

откуда находим, что К= 4*106 / (0,36*6*104) » 200 миллиардов рублей.

Другой вариант постановки рассматриваемой задачи может заключаться  в том, чтобы установить, какой  будет величина ВНП, если увеличить  капиталовложения К в три раза, то есть принять К=600 миллиардов рублей. Как следует из расчета, в этом случае ВНП = миллиардов рублей, то есть приращение капитала К на 400 миллиардов рублей позволило получить приращение ВНП на 3600 - 2000 = =1600 миллиардов рублей.

 

Пример 2. Факторная модель производительности труда

 

Исходим из положения, что  производительность труда работника  ПТ, исчисленная в стоимости производимой им за один час рабочего времени  продукции, выражается следующей формулой в виде линейной зависимости производительности от трех факторов

ПТ=а₁Т+а₂Ф+а₃ЗП,

где Т — стаж работы по специальности в годах;

Ф — фондооснащенность  работника, выраженная в стоимости  используемых им технических средств  производства в рублях;

ЗП — часовая заработная плата работника в рублях.

Коэффициенты а₁, а₂, а₃ соответственно равны: а₁= 0,5; а₂=0,001 ;а₃= 3,0.

Применяя указанную факторную  модель и полагая, что работник имеет  стаж работы Т = 20 лет, а стоимость  используемых им технических средств  производства составляет Ф = 16000 рублей, определим, какую часовую зарплату надо выплачивать работнику, чтобы  его производительность ПТ составила 50 рублей в час. Подставляя исходные данные в формулу модели, получаем:

50 = 0,5 • 20 + 0,001 • 16000 + 3,0 • ЗП

Отсюда ЗП=(50-0,5•20-0,001•16000 )/3 =8 рублей в час.

Естественно, что модель позволяет решать и ряд других задач управления производительностью  труда. Например, можно по отчетным данным фирмы о значениях ПТ, Т, Ф, ЗП вычислить коэффициенты а1, а2, а3, характеризующие интенсивность  влияния разных факторов на производительность труда в данной фирме. Пусть на примере трех работников фирмы установлено, что:

1) для работника, имеющего  стаж Т=10 лет, фондооснащенность  ф=20000 рублей и зарплату 10 рублей  в час, производительность труда  ПТ равна 95 рублей в час;

2) для второго работника,  имеющего стаж 16 лет, фондооснащенность  Ф=15000 рублей и зарплату 8 рублей  в час, производительность труда  ПТ составила 78 рублей в час;

3) для третьего работника,  имеющего стаж 20 лет, фондооснащенность  25000 рублей и зарплату 12 рублей  в час, производительность труда  ПТ составила 120 рублей в час.

Тогда на основании факторной  модели производительности труда выполняются  следующие соотношения:

В результате получена система  из трех уравнений с тремя неизвестными, решая которую, находим, что

а₁= 0,5; а₂ =0,002; а₃ = 5,0

Знание этих, установленных  по опытным данным значений коэффициентов  интенсивности действия факторов позволяет  менеджерам фирмы прогнозировать уровень  производительности труда на фирме, руководствуясь формулой

ПТ=0,5Т+0,002Ф+5,0*ЗП.

 

Балансовые модели

Балансовые экономико-математические модели, как следует из их названия, выражают в математической форме  баланс определенного вида экономического продукта, включая и денежные средства.

В самом общем виде балансовое соотношение имеет вид:

Приход = Расход ± Изменение  запасов

В этом соотношении приход понимается как общее поступление  экономического продукта из самых разных источников за определенный период времени, а расход — как суммарное расходование того же продукта на самые разные нужды  за то же время. Знак плюс соответствует  случаю, когда приход больше расхода  и запасы (остатки) изменились в сторону  увеличения, а знак минус—случаю, когда  приход меньше расхода и запасы уменьшились, а то и вовсе возник дефицит  продукта.

Уравнение баланса или  система уравнений, если составляется многопродуктовый баланс, характеризуют  наличие, производство, потребление, закупку, продажу, экспорт, импорт продукта определенным хозяйствующим субъектом. Им может  быть государство (страна), регион, предприятие, компания, семья.

На первый взгляд балансовые модели выглядят очень простыми. Однако, когда приходится составлять балансы  многих продуктов в материальной и денежной форме на разные периоды  времени, то соотношения баланса, будучи в большинстве случаев линейными  уравнениями по отношению к входящим в них неизвестным, искомым величинам, представляют довольно сложные системы  уравнений.

В управлении экономикой на разных уровнях балансовые модели дают возможность субъекту управления определять, какие объемы производства, поступления  продуктов, товаров или величины и источники денежных доходов  необходимы для удовлетворения нужд, запросов, потребностей, обеспечения  расходов объекта управления на определенный период времени. Кроме того, балансовые модели позволяют установить требуемые  соотношения, пропорции между объемами производства, производственного потребления  разных видов продукции, ресурсов, совместно  применяемых в производственных процессах. Такие модели позволяют  установить соответствие между объемными  показателями в материально-вещественном (физическом) и денежном измерении  с помощью цен. Балансовые модели есть главный инструмент достижения согласованности между производством  и потреблением, доходами и расходами, а также контроля, проверки целевого использования ресурсов.