Математические методы в принятии решений

Следует, правда, иметь в  виду, что в большинстве случаев  балансовые соотношения можно назвать  экономико-математическими моделями лишь с определенной степенью условности, поэтому в реальной практике чаще говорят о балансовых расчетах, чем  о балансовых моделях. Это относится, например, к построению плановых и  отчетных балансов предприятий, балансов в виде государственных, региональных, местных, семейных бюджетов, балансов денежных доходов и расходов населения. Вместе с тем такие виды балансов, как межотраслевой баланс производства и использования продукции, многопродуктовые балансы, оптимизационные балансы, представляющие систему многих связанных между собой балансовых соотношений, правомерно относятся к экономико-математическим моделям.

 

Пример. Простейшая двухпродуктовая  балансовая модель

 

Предположим, что производится два товара, один — в количестве х1и другой — в количестве х2, измеренном в одних и тех же единицах. На производство первого товара тратится 0,1 общего выпуска этого же товара (например, на производство топлива  затрачивается 10% производимого топлива) и 0,15 единиц второго товара. Кроме  того, 3300 единиц первого товара производится на другие нужды. На производство единицы  второго товара затрачивается 0,2 единицы  первого товара и 0,05 единиц второго  товара (например, на производство металла  затрачивается 5% производимого металла). Кроме того, 6600 единиц второго товара Производится на другие нужды. Надо определить х1, и х2, то есть требуемые объемы производства одного и второго товара.

Двухпродуктовая балансовая модель выглядит следующим образом:

В модели приняты обозначения:

х₁ —объем производства первого товара;

х₂— объем производства второго товара;

a₁₁ —доля первого товара, затрачиваемая на его же производство;

а₁₂—доля первого товара, затрачиваемая на производство второго;

a₂₁ —доля второго товара, затрачиваемая на производство первого;

а₂₂— доля второго товара, затрачиваемая на его же производство;

х_1Д — объем производства первого товара на другие нужды;

х_2Д — объем производства второго товара на другие нужды. Приводимая простейшая балансовая модель представляет систему двух линейных уравнений относительно неизвестных х₁, и х₂.

Согласно условиям задачи а₁₁= 0,1; а₁₂ = 0,15; а₂₁= 0,2; а₂₂= 0,05; х_1Д =3300; х_2Д = 6600. В итоге приходим к системе уравнений баланса:

Решая систему, находим искомые  объемы производства

х₁= 5000 единиц; х₂= 8000 единиц.

Исходная модель может  быть использована и для решения  других Задач, неизвестными могут быть, например, х1и х1Д или х2и х2Д  при заданных значениях других величин, входящих в модель.

 

Оптимизационные модели

Обширный класс экономико-математических моделей образуют оптимизационные  модели, позволяющие выбрать из всех возможных решений самый лучший, оптимальный вариант. В математическом смысле оптимальность понимается как  достижение экстремума (максимума или  минимума) критерия оптимальности, именуемого также целевой функцией. Оптимизационные  задачи решаются посредством применения моделей с помощью методов  математического программирования, реализуемых обычно с применением  электронно-вычислительной техники.

Оптимизационная модель формируется  в общем виде следующим образом: "Надо отыскать значения управляемых  параметров (показателей) х₁, х₂,......х_П, характеризующих управляемый экономический объект или процесс, придающие максимальное или минимальное значение целевой функции F(х₁, х₂,......х_П) при соблюдении ограничений, накладываемых на область изменения показателей х₁, х₂,......х_П, и связей между ними в виде f(х₁, х₂,......х_П) ≤ a".Если целевая функция, ограничения, связи между искомыми показателями выражены в виде линейных зависимостей, то оптимизационная модель сводится к задаче линейного математического программирования и саму модель также называют линейной.

Оптимизационные модели чаще всего используются в задачах  отыскания лучшего способа использования  экономических ресурсов, позволяющего достичь максимальный целевой эффект. Кстати, математическое программирование возникло на основе решения задачи об оптимальном раскрое листов фанеры, обеспечивающем наиболее полное использование  материала. Поставивший эту задачу известный российский математик  и экономист академик Л.В. Канторович был впоследствии удостоен Нобелевской  премии по экономике.

 

Пример 1. Простейшая задача на максимизацию прибыли компании

 

Компания производит два  продукта в количестве х₁и х₂ тонн за месяц соответственно. Тонна первого продукта приносит 12 тысяч рублей прибыли, а тонна второго продукта — 8 тысяч рублей. Производственные мощности компании позволяют выпускать не более 100 тонн двух продуктов вместе, при этом производство первого продукта не может превышать более чем в три раза производство второго. Надо определить оптимальный объем производства, приносящий компании максимальную прибыль.

Применительно к данной задаче целевая функция (критерий оптимальности) имеет вид

Объемы выпуска х1и  х2есть заведомо положительные величины, то есть

х₁≥0; х₂≥0. Между значениями х1и х2имеются связи

Таким образом, приходим к  типичной задаче линейного математического  программирования, когда надо отыскать значения управляющих параметров х₁, х₂, придающие максимальное значение целевой функции 12 х₁+ 8х₂с учетом фиксированных связей и ограничений.

Постановку и решение  этой задачи удобно проиллюстрировать  графически, отобразив связи и  ограничения в системе координат  х₁, х₂, как изображено на рис. 8.1.

В силу положительных значений х₁и х₂(х₁≥0, х₂≥0)решение следует искать в первом квадранте. Ограничение по суммарному выпуску (х₁+х₂ ≤ 100) сужает область поиска до находящейся внутри треугольника ОАС, ограниченного сверху прямой х₁+ х₂= 100. Ограничение х₁≤ 3х₂еще более сужает область допустимых по условию задачи значений x₁и х₂, заключая ее в треугольник ОАВ, ограниченный снизу прямой x1 = 3х₂.Среди всех значений x₁и х₂, заключенных внутри ОАВ, оптимальным соответствует точка В. В этой точке, соответствующей координатам x₁= 75; х₂= 25, достигается наибольшее из допустимых значений x₁, равное 75. К наибольшему же значению x₁, и надо стремиться, так как первый вид продукции приносит в расчете на одну тонну больше прибыли, чем второй (12 > 8), то есть надо выбирать наибольшее из возможных, допустимых значений x₁. Оптимальному решению соответствует, таким образом, точка В, в которой целевая функция достигает своего максимального значения

12 x1+8 х2=12-75+8-25=1100 тысяч рублей

Легко проверить, что внутри треугольника ОАВ любое другое сочетание, кроме x1=75; х2=25, обеспечивает меньшую  суммарную прибыль.

 

Модели управления запасами

Модели управления запасами призваны дать субъекту управления ответ  на вопрос о том, какой уровень  запаса ресурсов следует иметь, как  он должен изменяться во времени, обновляться  в связи с поступлением и расходованием  ресурсов, чтобы обеспечить бесперебойность, надежность протекания экономических  процессов и в то же время минимизировать издержки, связанные охранением, пополнением  и расходованием запасов. Так  как уровень спроса неожиданно возникающих  потребностей в расходовании запасаемых ресурсов носит чаще всего случайный  характер, то модели управления запасами должны быть стохастическими, вероятностными. Но в упрощенной постановке возможно и использование детерминированных  моделей.

Наиболее распространены модели управления складскими запасами. Рассмотрим вначале, как формируется  экономико-математическая модель управления складскими запасами в общей постановке.

Обозначим текущий уровень  запаса продукта на складе в момент времени t величиной 3(t).Тогда справедливо равенство

где ЗНАЧ - начальный запас  товаров на складе в момент t=0;

P(t) -поступление товаров  на склад за время t;

R(t) -расходование товаров  со склада за время г. Очевидно, что в любой момент запас  товаров на складе не может быть отрицательным, то есть

3(t)>0,

Поступление и расходование товаров со склада обычно производится партиями. Обозначив объем поставки в одной партии через р|, а объем  расходуемой партии r|, преобразуем  исходное соотношение к виду

где n —количество поставляемых партий товара;

m —количество расходуемых  партий товара.

Это равенство можно рассматривать  как базисное в модели управления запасами. В зависимости от того, какие величины, показатели в нем  заданы, а какие являются искомыми, различают разные виды моделей управления запасами. В модель могут входить  также ограничительные Условия  и дополнительные связи между  показателями, переменными величинами. Часто в модель включаются показатели, характеризующие затраты на поставку, хранение, отправку товаров со склада и задача Ставится в плоскости  минимизации затрат. Вместо одного вида товара иногда приходится рассматривать  несколько видов, что усложняет  задачу.

 

Пример. Задача минимизаиии расходов на доставку и хранение товара на складе

 

Товар поставляется на склад  партиями, каждая партия имеет один и тот же объем х. За доставку одной  партии товара склад уплачивает С1, рублей, величина С1не зависит от объема партии. За время Т склад получает количество товаров, равное Q. Хранение единицы объема товара в единицу времени обходится складу в С2рублей. Товар со склада равномерно поставляется заказчикам, которые сами оплачивают перевозку товаров со склада. Требуется установить оптимальный объем партии поставки х, при котором суммарные затраты склада на доставку и хранение товара будут минимальными.

Установим вначале затраты  на доставку товара за время Т. Так  как количество партий равно частному отделения общего объема поставок

Q на объем одной партии  х, то затраты равны С1Q/х.  Затраты на хранение установим,  исходя из того, что полученная  складом партия товара х расходуется  равномерно, таким образом, на  складе хранится в среднем  количество товара, равное половине  поставленной партии, то есть  х/2 .

Умножая это количество на время Т и на удельные затраты  хранения единицы товара в единицу  времени, получаем, что общие затраты  на хранение равны С2хТ/2 таким образом, суммарные затраты С составляют

Надо найти значение объема партии х, при котором суммарные  затраты С окажутся минимальными. Как известно из математики, в точке  экстремума непрерывной функции  С(х) производная от нее по аргументу  х равна нулю. Следовательно

откуда находим исковое  значение Х0, то есть оптимальный объем  партии товара

Это и есть решение задачи.

Например, если С1= 6000 рублей за доставку партии товара, С2= 300 рублей за хранение тонны товара на складе в течение суток, общий объем  поставки Q = 100 тонн за время Т= 40 суток, то

то есть для минимизации  затрат на доставку и хранение товара на складе надо поставлять его на склад  партиями по 10 тонн в каждой партии.

 

Сетевые модели

Специфическое свойство и  основной признак этого вида моделей, используемых в планировании и управлении совокупностью взаимосвязанных  действий, операций состоит в том, что они представлены в форме  сетевых графиков выполнения работ, именуемых также сетевыми графами. Главными элементами, своего рода "строительными  кирпичами" таких моделей являются работы и события. Под "работой" в сетевой модели имеются в  виду любые действия, итог которых  состоит в переводе управляемого объекта из одного состояния в  другое. Событие же отражает результат  работы, выполняемой на определенном этапе.

На рис.8.3. приведен упрощенный сетевой график работ по выпуску  книги, в котором буквами обозначены работы, а цифрами — события.

Рис. 8.3. Примерный сетевой  график подготовки и выпуска новой  книги

Исходное событие 1 — возникновение  идеи, замысла у автора, за ним  следует работа "а" — подготовка материалов, написание первого варианта рукописи, завершающиеся событием 2 — появлением первичной рукописи, с которой автор обращается в  издательство.

Рукопись книги издательство передает на заключение рецензенту (работа "б") и готовит также собственное  заключение (работа "в") с учетом передаваемого заключения рецензента (работа "г"). Так что событие 3 — это заключение рецензента, а  событие 4 — итоговое заключение издательства. При положительном заключении готовится  договор с автором на издание  книги (работа "д"), который в  завершенном виде представляет событие 5. Затем рукопись передается редактору (работа "е"), который исправляет ее, доводя до более кондиционного  состояния, характеризуемого как событие 6. Автор тоже работает над рукописью  параллельно с редактором (работа "ж"), и после передачи редактором доработанной рукописи (работа "з") в издательстве наступает событие 7 — готовая к набору рукопись книги. Издательство передает рукопись в типографию (работа "и") в требуемом  виде, что отражается в событии 8, а типография печатает книгу (работа "к"), в результате чего появляется готовая книга — завершающее  событие — 9.