Математические методы в принятии решений

Однако ситуация (х*, у*) не всегда может считаться наилучшей. Действительно, х* – наилучшая стратегия, если у любая, а если у принимает конкретное значение у*, то, очевидно, что в общем случае можно найти другое х**, при котором Q1 (x**, y**) будет больше, чем Q₁ (x*, y*).

Наилучшей ситуацией будет  такая ситуация, при которой ни первому, ни второму игроку не выгодно  от нее отклоняться. В теории игр  такая ситуация носит название равновесной (х₀, у₀)

    (6.4)

Решением игровой задачи является нахождение наилучшей равновесной  ситуации. Эта ситуация называется оптимальной.

Задачей теории игр является разработка алгоритмов нахождения равновесной (оптимальной) ситуации.

6.2 Классификация игровых задач

Классификация игр, используемых в игровых задачах, представлена на рис. 6.2. Различают следующие игры.

Антагонистические игры моделируют конфликтные ситуации двух или многих лиц, интересы которых противоположны. Например, в случае двух игроков  выигрыш одного равен проигрышу  другого.

Неантагонистические игры (бесконфликтные) – это игры, в которых интересы сторон частично могут совпадать, они  не являются диаметрально противоположными. Неантагонистические игры делятся  на коалиционные и некоалиционные.

В коалиционных играх игроки могут договориться о целях, составить  договор, объединиться.

Все игры делятся на конечные и бесконечные.

Конечными играми называются игры, имеющие конечное или счетное  множество стратегий. В таких  играх стратегии можно пометить цифрами i = 1, 2, …, n. Таким образом, вместо множества Х имеем множество (конечное или счетное) стратегий I = { i / 1, 2, …, n} – первого игрока и J = { j / 1, 2, …, m} – второго игрока.

Бесконечными называются игры, в которых множество стратегий  хотя бы одного игрока – континиум, т.е. непрерывно. Например, инвестиции, вкладываемые в дело.

Статическая игра – это  игра, в которой игроки выбирают свои стратегии только один раз, и  эти стратегии сохраняются во всех играх.

В динамической игре стратегия  меняется во времени, при этом используется информация о развитии игры в прошлом. Динамические игры – многодневные.

7.ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ

Наиболее распространенная форма, основной инструментарий воплощения экономико-математических методов  — это экономико-математическое моделирование. Моделирование представляет воспроизведение образа реального  объекта в виде его модели, а  модель и есть образ реального  объекта или процесса в вещественной или описательной форме. Математическое моделирование опирается на математическое описание моделируемого объекта (процесса) в виде формул, зависимостей с помощью  математических символов, знаков. Если же моделируемый посредством математических зависимостей, соотношений объект или  процесс имеют экономическую  природу, то соответствующая модель называется экономико-математической.

Экономико-математическая модель представляет формализованное описание управляемого экономического объекта (процесса), включающее заранее заданные, известные параметры, показатели и  искомые неизвестные величины, характеризующие  вместе состояние объекта, его функционирование, объединенные между собой связями  в виде математических зависимостей, соотношений, формул. Отметим, что к  экономико-математическим моделям  принято относить не только чисто  математическое описание объектов и  процессов, но и логические связи  в виде, например, матриц, графов, структурных  схем.

Естественно, что экономико-математическая как и любая другая модель не способна воплотить и отразить все свойства моделируемого объекта (процесса), такая  задача и не ставится перед моделированием. Модель способна быть только аналогом моделируемой системы, отражающим основные, существенные свойства изучаемой, управляемой  системы, которые наиболее важны  с позиций управления.

Благодаря моделированию  субъект управления или аналитики, готовящие и обосновывающие управленческие решения, способны в ходе анализа  иметь дело не с реальным объектом управления, а с его аналогом в  виде модели. Это значительно расширяет  возможности поиска лучших способов управления, не нарушает функционирование реального объекта управления в  период выработки управленческих решений, то есть позволяет избежать экспериментов  с реальным объектом, заменяя их экспериментами, проводимыми на моделях, с помощью моделей. Появляется возможность  применить вычислительную технику, использовать компьютеры, для которых  математический язык моделей является самым удобным. Благодаря компьютерам  можно производить многовариантные  модельные расчеты, что повышает шансы на отыскание лучших вариантов.

Казалось бы, тем самым  применение экономико-математических моделей в управлении устраняет  большинство трудностей выработки  и обоснования управленческих решений, открывает дорогу рациональному, даже оптимальному управлению. В действительности это далеко не так. Главное требование к экономико-математическим моделям заключается в том, что они должны обладать адекватностью, то есть соответствовать моделируемым экономическим объектам или процессам, являющимся предметом управления.

Требование адекватности не носит абсолютного характера, так как по своему определению  модель призвана отражать только существенные свойства реального объекта управления и его поведения, имеющие определяющее значение в процессе управления. Но в том-то и дело, что в подавляющем  большинстве случаев экономико-математические модели оказываются неспособными адекватным образом воплотить в себе, отразить и выразить свойства, наиболее существенные для управления, в полной мере удовлетворяют  требованию адекватности лишь частично, а то и вообще в малой степени.

Причина заключается в  том, что основным объектом управления экономикой являются люди, а достоверно описать математическим языком поведение  людей как объектов управления, находящихся  под влиянием управляющих воздействий, не представляется возможным. К тому же, построив экономико-математическую модель функционирования управляемого объекта, мы не обладаем непосредственной возможностью убедиться, что она  отражает существенные для данного  процесса свойства объекта управления. Нужна еще проверка соответствия на реальном объекте, то есть реальный эксперимент, который трудно провести в экономике. Обычно проверку адекватности экономико-математической модели реальному моделируемому объекту управления осуществляют на основе данных о функционировании этого объекта в прошлом. Но такая проверка соответствия модели реальному объекту, если она даже возможна, не позволяет придти к уверенному выводу, ибо не соответствует новым условиям функционирования моделируемого объекта.

Попытка отразить в экономико-математической модели все существенные свойства объекта  управления наталкивается также  на множественность и изменчивость этих свойств, присущие управляемым  экономическим объектам как сложным  системам. На поведение экономических  объектов под воздействием управления значительно влияют их связи и  взаимодействия с другими объектами  и с окружающей средой, трудно поддающиеся  математическому моделированию  так называемые граничные условия, которые трудно воспроизвести даже в физическом моделировании.

Выраженная динамичность управляемых социально-экономических  процессов проявляется в непрерывном  изменении их параметров, а то и  структуры системы, в которой  протекают эти процессы. Такую  изменчивость, динамичность не удается  полноценно, адекватно воспроизвести  в математической модели. Большинство  экономико-математических моделей  носит дискретный и статичный  характер, тогда как моделируемые процессы во многом непрерывны и динамичны. Динамичны и условия, в которых  функционирует моделируемый объект управления. За период, охватывающий отрезок  времени между моделированием и  реальным функционированием управляемого объекта, которое должна предсказать  модель, условия функционирования объекта, заложенные в модель, могут настолько  измениться, что поведение объекта  будет заведомо отличаться от предсказанного математической моделью.

Наконец, нельзя упускать из вида действие факторов случайности  и неопределенности на управляемые  экономические объекты и процессы, учет которых в экономико-математических моделях очень затруднен. Отработанный, применяемый аппарат экономико-математического  моделирования опирается в основном на использование детерминированных  моделей, в которых случайность, проявляющаяся в поведении объекта  управления, в явной форме не учитывается. В принципе известны и стохастические модели, оперирующие методами теории случайных процессов, теории вероятности  и математической статистики, но пока они имеют узкую область применения в управлении.

Недостаточная адекватность экономико-математических моделей  реальным объектам и процессам, которые  они моделируют, никоим образом не отрицает их применение в управлении, но ограничивает роль математического  моделирования объектов управления. Чаще всего результат экономико-математического  моделирования есть предмет для  рассуждения лиц, участвующих в  управлении, принимающих решения, дающий им возможность расширить, дополнить  представления об ожидаемом функционировании объекта управления при тех или  иных управляющих воздействиях, а  также о результативности управления в разных его вариантах. В этом свете на первый план выходит консультирующая  роль экономико-математического моделирования, модели подсказывают управленцам многое то, на что они могли бы не обратить внимания, расширяют поле обзора способов, средств и потенциально возможных  результатов управления.

Реализуемость экономико-математического  моделирования с использованием современной компьютерной техники, средств передачи и отображения  информации позволяет благодаря  моделям многократно повысить количество рассматриваемых вариантов управления, различающихся по характеру управленческих решений, диапазону изменения факторов, влияющих на объект управления. Благодаря этому применение экономико-математических моделей в управлении позволяет приблизиться к рациональным, а в пределе — и к оптимальным решениям, обеспечивающим лучшее использование экономических ресурсов, достижение высокой эффективности управления.

Экономико-математические методы и модели представляют обширный и  достаточно мощный научно-исследовательский, аналитический инструмент познания. Благодаря тому, что экономико-математическое моделирование распространяет свои возможности на все уровни управления, начиная от экономики страны и заканчивая экономикой предприятия, фирмы, небольшой компании, отдельного хозяйства, можно объединять отдельные модели в систему моделей, имитирующую реакцию объектов разных уровней на макроэкономические управляющие воздействия. При умелом использовании многоуровневые системы экономико-математических моделей позволяют судить о необходимой увязке мероприятий реформы управления на разных уровнях, достижении их непротиворечивости.

Многолетним мировым опытом доказано, что экономико-математические модели способны служить мощным средством  научного анализа, прогнозирования, аналитического планирования самых разных социально-экономических  процессов.

Однако возможности непосредственного  использования экономико-математических моделей в практическом управлении конкретными социально-экономическими объектами выглядят менее впечатляющим образом. Частично это обусловлено  обрисованными выше трудностями  применения математических моделей  к задачам управления экономикой. Но есть и другие ограничительные  условия, препятствующие использованию  таких моделей как прямого  инструмента социально-экономического управления, о которых повествуется в следующем разделе.

7.1 О некоторых особенностях  применения экономико-математических  моделей и компьютеров в управлении

Нельзя не отметить, что  внедрение и использование экономико-математических методов в практике управления продвигаются медленными темпами, степень их применения намного ниже потенциально возможной, а влияние на качество управленческих работ еще невелико. Автоматизированные системы управления во многом не оправдали  возлагающихся на них больших  надежд, их эффективность недостаточна. При ощутимых успехах в создании аналитических моделей, используемых в качестве научного анализа и  прогнозирования экономических  процессов, достижения в применении моделей в реальной технологии управления гораздо более скромны. Большинство  управленческих задач, решаемых с применением  моделей, надолго остаются в так  называемой "опытной" эксплуатации, применяются параллельно с "немодельной" технологией, которая остается основной. В качестве пользователей моделей  выступают преимущественно их разработчики.

Образуется заметный разрыв между масштабами исследовательской  деятельности в области экономико-математических методов планирования и управления, которой заняты многие академические  и прикладные научно-исследовательские  организации, и конечным практическим использованием результатов этой деятельности, глубиной их воздействия на качество управленческих работ. В отдельных  случаях под флагом экономико-математических исследований выполняются схоластические работы математического жанра, абстрагированные от реальной практики, не имеющие приложений, представляющие по сути бесплодную игру в математические символы. Вычурные и впечатляющие по форме, они лишены реального содержания. По поводу таких  исследований почти двадцать лет  тому назад высказал свое суждение выдающийся математик, академик Л.С.Понтрягин, написавший в одной из своих статей : "Я имею в виду математическую мистификацию практических задач, от которой  не бывает пользы ни уму, ни сердцу. В  последнее время можно встретить, например, так называемые экономико-математические работы, насыщенные сложной математической символикой, но не содержащие ни одного конкретного численного примера, —  непонятные, недоступные и фактически ненужные экономистам, а сточки зрения математиков — представляющие ничтожную  ценность, либо вообще не обладающие ею" [4].

Конечно, только отдельные  экономико-математические построения представляют сознательную математическую мистификацию. Чаще лица, пытающиеся совершенствовать математический аппарат экономики, исходят из творческих побуждений. Обычно они внутренне уверены, что  созданные ими модели приложимы  к решению задач управления и  относят факт неприменения обильно  предлагаемых математических методов  на счет противодействия работников органов управления вследствие их неподготовленности к восприятию нового. Конечно, определенное влияние психологического барьера со стороны планово-управленческих работников имеется, но оно порождается не просто неприятием нового, а чаще неверием в реальность и эффективность многих предлагаемых математических моделей управления, а также отрицательными результатами ряда попыток применить эти модели. Характерно, что определенный скепсис в отношении практической приложимости экономико-математического моделирования высказывал и такой выдающийся "модельер", как лауреат Нобелевской премии по экономике В.В.Леонтьев.