Античная наука

Из других математических работ Аполлония полностью сохранился (в арабском переводе) лишь один небольшой  трактат в двух книгах — «О сечении  в данном отношении». В нем рассматривается  следующая задача: даны две прямые, лежащие в одной плоскости, и  точка на каждой из них; через некоторую  третью точку надо провести прямую так, чтобы она отсекала на данных прямых, начиная от данных точек, отрезки, которые находились бы друг к другу  в заданном отношении. Первая книга  трактата рассматривает случай, когда  данные прямые параллельны, вторая —  когда они пересекаются (рис. 8). Аполлоний  показывает, что эта задача сводится к решению некоторого квадратного  уравнения. Аполлоний написал еще  два трактата на сходные темы; о  них мы знаем по изложению Паппа.

«О сечении с заданной площадью». В этом сочинении рассматривалась  задача, аналогичная предыдущей: оба  отсекаемых отрезка должны, при умножении  их друг на друга, дать прямоугольник  заданной площади.

«Об определенном сечении». На прямой даны четыре точки: А, В, С  и D. Определить точку Р, лежащую на той же прямой, так, чтобы произведение АР-СР имело заданное отношение к  ВРDР.

Несколько трактатов Аполлония  известны нам по ссылкам на них  Паппа и других позднейших авторов.

«О касаниях». Здесь разбирается  знаменитая задача Аполлония: даны три  объекта, каждый из которых может  быть точкой, прямой или окружностью. Найти окружность, которая проходит через каждую из данных точек и  касается заданных прямых или окружностей.

«О плоских геометрических местах». В этом трактате Аполлоний  доказывал ряд теорем, в которых  рассматривались геометрические места, относящиеся к прямым и окружностям. Некоторые из этих теорем приводятся Паппом. Интересно, что в этом трактате впервые используются инверсия на плоскости  и гомотетия как преобразования, переводящие «плоские места» (прямые и окружности) в такие же «места».

«О сравнении додекаэдра и икосаэдра». Эта книга упоминается  Гипсиклом во введении к так называемой XIV книге «Начал» Евклида. В ней  доказывалось, что если додекаэдр  и икосаэдр вписаны в один и  тот же шар, то их поверхности имеют  то же отношение, что и их объемы.

Известны названия еще  некоторых сочинений Аполлония, но о их содержании нет определенных сведений. Среди них — работа «О неупорядоченных иррациональ-ностях», в которой, как можно предполагать, классификация иррациональных величин, содержащаяся в «Началах» Евклида, была распространена на более широкие  классы иррациональностей. К сожалению, мы не располагаем данными, которые  позволили бы судить, насколько далеко Аполлоний продвинулся в этой области.

Но даже из того, что мы знаем о достижениях Аполлония  — то ли из его оригинальных текстов, то ли из свидетельств о нем математиков  более позднего времени — мы вправе заключить, что в его лице эллинистическая  эпоха дала миру первоклассного математического  гения. В трудах Аполлония греческая  геометрическая алгебра достигла высшего  расцвета. После него это направление  математической науки начинает постепенно хиреть и иссякать. Для дальнейшего  успешного развития античная математика нуждалась в новых импульсах; эти импульсы, однако, нельзя было почерпнуть в тогдашней действительности.

«Малые» математики эпохи  эллинизма. Наряду с гигантскими  фигурами Евклида, Архимеда и Аполлония  в Александрии и в других культурных центрах III—II вв. до н. э. жили и работали математики меньшего калибра, не давшие новых идей и не разработавшие  принципиально новых теорий. И  все же некоторые из них заслуживают  того, чтобы их имена не были преданы  забвению. О Кононе Самосском, старшем  друге Архимеда, мы уже упоминали  выше. О его собственных математических достижениях нам ничего не известно; впрочем, он был, по-видимому, скорее астрономом, чем математиком.

Математические труды  другого друга Архимеда — Эратосфена Киренского — были не столь значительны, как его работы в области географии  и хронологии, но они все же свидетельствовали  об оригинальном и творческом уме  их автора. Так, Эратосфен дал механическое решение знаменитой задачи об удвоении куба; это решение было высечено на стене одного из александрийских  храмов. Он занимался теорией чисел  и предложил оригинальный способ выделить простые числа из последовательности всех нечетных чисел (так называемое «решето Эратосфена»). В диалоге  «Платоник» он изложил основы античной арифметики, где, в частности, были сформулированы правила образования различных  пропорций.

Астрономия

Излагая достижения античной астрономии классического периода, эпохи Гераклида Понтийского, предложившего  модель мира, в которой Земля совершала  суточные обороты вокруг своей оси, а Меркурий и Венера вращались  вокруг Солнца. Система Гераклида  еще не снимала всех трудностей, связанных с изменением яркости  планет. Это изменение было характерно не только для Венеры, но и для  Марса: находясь в противостоянии с  Солнцем, Марс имел значительно большую  яркость, чем в соединениях, причем эти противостояния и соединения могли происходить в любых  местах зодиакального пояса. Объяснить  это можно было Двояко: либо Марс вращается вокруг Солнца, а Солнце, в свою очередь, совершает обороты  вокруг Земли, либо же Земля, находясь между Солнцем и Марсом, вращается  вокруг Солнца. Первый путь был избран уже в Новое время знаменитым датским астрономом Тихо Браге: у  него все пять видимых планет вращались  вокруг Солнца, а Солнце — в соответствии с традиционной геоцентрической  точкой зрения — вращалось вокруг Земли. Второе Из указанных допущений; означавшее переход к гелиоцентрической  системе мира, было сделано великим  астрономом древности — Аристархом.

Аристарх Самосский родился  во второй половине IV в. и умер предположительно в середине III в. до н. э.; таким образом, он был современником Евклида, Эпикура  и Стратона. О его жизни нет  никаких сведений — за исключением  того, что примерно в 288—277 гг. до н. э. он занимался астрономическими наблюдениями в Александрии, Основное сочинение  Аристарха, в котором была изложена его система мира, до нас не дошло; о его содержании коротко сообщает Архимед в «Псаммите». Сохранился текст лишь одного небольшого, но крайне интересного трактата Аристарха  «О размерах и расстояниях Солнца и Луны». Трактат Аристарха написан  по образцу математических сочинений  того времени: он состоит из ряда выводимых  друг из друга теорем, которым предшествуют шесть фундаментальных положений, или «гипотез», взятых в основном из данных наблюдений, полученных при  прохождении Луны через тень Земли  во время лунных затмений. Из этих данных Аристарх заключает: 1) что расстояние от Земли до Солнца составляет приблизительно 18—20 расстояний от Земли до Луны; 2) что диаметры Солнца и Луны находятся в том же отношении друг к другу, как и их расстояния до Земли; 3) что отношение диаметра Солнца к диаметру Земли должно лежать в пределах между 19/3 и 43/3 Отсюда следует, что объем Солнца должен быть в (19/3)³ или приблизительно в 250 раз больше объема Земли.

Каким образом получил  Аристарх эти значения, вообще говоря, очень сильно отличающиеся от действительных? В качестве примера рассмотрим первое из приведенных соотношений —  соотношение между расстояниями от Земли до Солнца и от Земли  до Луны. Аристарх фиксирует тот  момент времени, когда Луна находится  строго в первой (или последней) четверти, т. е. когда мы видим освещенной половину лунного диска. Очевидно, что в  этот момент прямые, соединяющие Луну с Землей и Луну с Солнцем, образуют прямой угол. Затем Аристарх

определяет угол а, который  в этот же момент времени образует прямые, соединяющие Солнце с Луной  и Землей. Этот угол, согласно его  наблюдениям, оказывается равным одной  тридцатой прямого угла (т. е. в  нынешних обозначениях а = 3°). Задача состоит  в том, чтобы определить, во сколько  раз расстояние от Земли до Солнца (3. — С.) превосходит расстояние от Земли до Луны (3.—Л.) или, если пользоваться тригонометрическими терминами  — в определении нш а. С помощью  соответствующих геометрических построений Аристарх находит неравенства, заключающие  отношение (3.—С.)/(3.—Л.) в достаточно узкие границы. А именно, он получает

Математические рассуждения  Аристарха безупречны. Почему же найденное  им приближенное значение отношения (3.—С.)/(3.—Л.) оказалось очень далеким от истинного? Потому, что принятое им значение угла а оказалось завышенным примерно в 18 раз (на самом деле оно составляет всего около 10). Дефектными были не математические приемы Аристарха, а его наблюдательная техника.

Зная отношение (3.—С.)/(3.—Л.) и учитывая тот факт, что видимые  поперечники Солнца и Луны примерно равны, мы сразу же находим, что диаметр  Солнца должен быть в 19 раз больше диаметра Луны.

Несколько сложнее обстоит  дело с определением отношения диаметра Солнца к диаметру Земли. При выводе этого соотношения Аристарх использует одну из шести «гипотез», сформулированных им в начале трактата, а именно, что  поперечник тени Земли, падающей на Луну при лунном затмении, принимается  равным удвоенному диаметру Луны. С  помощью этой гипотезы и иай-Денного  выше соотношения между расстоянием  от Земли До Луны и от Земли до Солнца, Аристарх находит искомое  отношение (19/3).

В числе шести «гипотез»  Аристарха фигурирует и такое  утверждение: «Диаметр Луны равен одной  пятнадцатой части знака зодиака», т. е. 2°. Это — грубая ошибка, на которую  часто ссылаются как на свидетельство  несовершенства наблюдательных средств  Аристарха (на самом деле видимый  поперечник Луны равен 0,5°). Правда, Архимед  в «Псаммите» сообщает, что диаметр  видимого диска Солнца (а значит, и Луны?) составляет, по Аристарху, одну семьсот двадцатую часть круга, что, в общем, соответствует действительности. Откуда же возникла указанная ошибка? Может быть, она явилась следствием небрежности переписчика? Независимо от решения этого частного вопроса, можно считать несомненным, что  Аристарх не придавал большого значения точности наблюдательных данных, которыми он пользовался. Он подходил к решению  своих астрономических задач  скорее как математик, чем астроном, для которого прецизионность наблюдений имеет первостепенное значение.

Эти критические замечания  отнюдь не имеют целью умалить  роль Аристарха в развитии точного  естествознания. В истории математики эта роль определяется тем, что он начал пользоваться — пусть еще  в неявном виде — тригонометрическими  функциями. Что же касается астрономической  науки, то величие Аристарха выражается прежде всего в том, что он впервые  попытался по наблюдательным данным определить как относительные размеры  небесных светил (Земли, Луны и Солнца), так и относительные расстояния между ними. Это был шаг величайшего  значения, по существу, может быть, значительно  более важный, чем создание первой гелиоцентрической системы мира, что по традиции считается основным достижением Аристарха-астронома.

В самом деле, имеются  все основания думать, что гелиоцентрическая  модель космоса рассматривалась  Аристархом как естественное следствие  полученных им результатов о сравнительных  размерах Солнца и Земли. В V в. до н. э. Анаксагор допустил, что Солнце по своей величине может превышать  Пелопоннес — для того времени  очень смелое предположение. Лишь не намного дальше этого пошел, по-видимому, Аристотель. И вот оказалось, что  объем Солнца в 250 раз больше объемл Земли. Хотя и эта цифра была очень  заниженной (на самом деле, как мы теперь знаем, объем Солнца по край-ргей мере в миллион раз превышает  объем Земли), но она была достаточной  для того, чтобы вызвать сомнения в правительности традиционной геоцентрической  картины мира. Если Солнце так велико по сравнению с Землей, то не естественнее ли было бы именно его принять за центр вселенной? Тем более, что  это допущение приводило к  радикальному упрощению устройства космоса и естественным образом  разрешало трудность с колебаниями  яркости некоторых планет. А эта  трудность, как мы видели, была наиболее слабым пунктом в гомоцентрических моделях мира, создававшихся учеными IV в. до н. э.

Вероятно, таким — или  сходным — образом Аристарх обосновывал  свою гелиоцентрическую концепцию. Естественное возражение, что в случае движения Земли вокруг Солнца должны были бы меняться видимые конфигурации неподвижных звезд, Аристарх отводил  указанием на огромность радиуса  сферы неподвижных звезд. Как  свидетельствует Архимед в «Псаммите», сфера, по которой, согласно Аристарху, обращается Земля вокруг Солнца, находится  в таком же отношении к сфере  неподвижных звезд, в каком в  обычной геоцентрической модели Земля находится к тому, что  мы называем космосом.

Несмотря на все, с нашей  точки зрения, крайне убедительные аргументы в пользу гелиоцентрической  модели мира, предложенной Аристархом, модель эта не нашла поддержки  среди большинства астрономов античности; единственным известным ее сторонником  оказался Селевк из Селевкии, весьма оригинальный мыслитель, живший во II в. до н. э. Любопытно, что Селевк был первым ученым, установившим зависимость приливов и отливов от положения Луны. Селевк отстаивал также тезис о бесконечности вселенной, следуя в этом отношении атомистам и, возможно, Гераклиду Понтийскому.

Против гипотезы Аристарха  выдвигались доводы, которые по тому времени казались достаточно вескими. Так, например, Птолемей рассуждал, что  если бы Земля двигалась так быстро, как это следовало из предположения 0 ее вращении вокруг оси (и тем более  при ее вращении вокруг Сол-нца), то все, что находится на ее поверхности  и не связано с ней жестким  образом (например, облака), должно было бы отставать от ее движения и казаться улетающим в противоположную  сторону. С позиций аристотелевской  динамики, не знавшей закона инерции, этому аргументу ничего нельзя было противопоставить. Другие возражения против системы Аристарха имели  уже чисто астрономический характер. По Аристарху, все планеты, Луна и  Земля движутся равномерно по круговым орбитам вокруг Солнца. Это лишало возможности объяснить наблюдаемые  нерегулярности в движении небесных светил, которые в геоцентрической  системе мира могли быть учтены путем  добавления дополнительных круговых движений. Уже афинские астрономы V в. до н. э. Метон  и Евктемон знали, что длительность четырех времен года неодинакова  — так, как если бы Солнце двигалось  по своей орбите то быстрее, то медленнее. По-видимому, именно для объяснения этого факта Каллипп ввел четвертую  сферу для Солнца в своей модели мира. Между тем из гелиоцентрической  системы Аристарха следовало, что  длительность четырех времен года всегда остается одинаковой. Надо также учесть, что в III в. до н. э. грекам стали известны данные многовековых наблюдений вавилонских  астрономов; данные вавилонян позволили  уточнить греческие наблюдения над  движением небесных светил, причем, как, правило, эти уточнения говорили не в пользу системы Аристарха.