Зведення та групування статистичних даних

 

     Межі, у яких будуть знаходиться генеральна середня і генеральна частка, установлюються з визначеною імовірністю по формулах:

       

      Визначення  необхідної чисельності вибірки  n здійснюється на основі алгебраїчного перетворення формул граничних помилок вибірки: 
 
 
 

 

      Для визначення обсягу вибірки n використовують оцінки дисперсії δ² аналогічних пробних обстежень. Якщо такі обстеження відсутні, можна скористатися співвідношенням а для частки взяти максимальне значення дисперсії s² = 0,25. 

Рішення типових задач 

      Задача 4.1. На підприємстві в порядку випадкової вибірки було опитано 100 робітників з 1000 та отримані наступні дані про їх прибуток за жовтень: 

 

      Визначити: 1) середньомісячний розмір прибутку працівників  даного підприємства, гарантуючи результат з імовірністю 0,997; 2) частку робітників підприємства, які мають місячний доход 280 грн. і вище, гарантуючи результат з імовірністю 0,954; 3) необхідну чисельність вибірки при визначенні середнього місячного доходу працівників підприємства, щоб з імовірністю 0,954 гранична помилка вибірки не перевищувала 10 грн.; 4) необхідну чисельність вибірки при визначенні частки робітників с розміром місячного доходу 280 грн. і вище, щоб з імовірністю 0,954 гранична помилка не перевищувала 4%. 

      Рішення 

      1. Довірчий інтервал середнього  розміру місячного доходу працівників  підприємства: – + .

      Середній  місячний доход по вибірці складе: 

       ;    грн. 

      Гранична  помилка вибірки  .

      При імовірності    . 

      

 

      

 

      

 

      

 грн. 

       ;           

      Таким чином, з імовірністю 0,997 можна затверджувати, що місячний доход працівників підприємства більше 238,82 грн. і менше 273,58 грн. 

      2. Частка робітників, що мають розмір місячного доходу 280 і вище: 

                     w .

      Гранична  помилка частки

      При імовірності    . 

      

 

      Довірчі інтервали для генеральної частки: 

      

 

      

      Частка  робітників підприємства, що мають доход 280 грн. і вище, знаходиться в межах від 19,5 % до 36,5 %. 

      3. Необхідна чисельність вибірки для визначення середнього місячного доходу визначається за формулою: 

      

. 

      Із  умови задачі відомі: імовірність , грн.; (за даними попередньої вибірки). Для заданої імовірності із таблиці . Тоді необхідна чисельність вибірки складає: 

      

 чол. 

      4. Необхідна чисельність вибірки для визначення частки робітників, що мають доход 280 грн. і вище, визначається за формулою:  

      

      Із умови задачі відомі:

        чи 0,02; при імовірності Р = 0,954  t = 2; w = 0,28 (за даними попередньої вибірки). Тоді необхідна чисельність вибірки складе:

       

 чол. 

Контрольні  завдання 

      Задача 4.2. Для визначення врожайності зернових культур проведене вибіркове обстеження 100 господарств регіону різних форм власності, у результаті якого отримані зведені дані. Необхідно з імовірністю 0,954 визначити граничну помилку вибіркової середній і довірчі межі середньої врожайності зернових культур по всіх господарствах регіону. 

      Розподіл  врожайності по господарствах регіону, що має різну форму власності

 

      Рішення 

      Оскільки  обстежені господарства регіону  згруповані за формами власності, граничну помилку середньої врожайності визначаємо за формулою для типової вибірки, здійснюваної методом повторного добору (чисельність генеральної сукупності N невідома):

      

      У цій формулі невідома середня  з внутрішньогрупових дисперсій.

      Вона  обчислюється за формулою:

      

      Для заданої в умові імовірності    . Тоді гранична похибка вибірки складе, ц/га:

      

      Генеральна  середня: Для розрахунку її границь спочатку потрібно обчислити середню врожайність по вибірковій сукупності:

        ц/га.

      Гранична  відносна похибка вибірки, %:

      

      Довірчі межі генеральної середній обчислюємо, виходячи з подвійної нерівності:

      

– + ;

      

;

      

.

      Задача 4.3. По міській телефонній мережі в порядку випадкової вибірки (механічний добір) зробили 100 спостережень і установили середню тривалість однієї телефонної розмови 5 хв. при середньому квадратичному відхиленні 2 хв.

      Яка імовірність того, що помилка репрезентативності при визначенні середньої тривалості телефонної розмови не перевищить 18 сек.? 

      Рішення 

      За  умовою задачі відомі:

      обсяг вибірки – n =100

      вибіркова середня - =5 хв.;

      вибіркове середнє квадратичне відхилення –   = 2 хв.;

      гранична  похибка вибірки -  = 18 сек. =0,3 хв. 

      

= t · µ ;         µ = = =0,2 хв.; 

      t =

= =1,5. 

      Потім по таблиці на основі значення t визначається імовірність того, що помилка не перевищить заданої величини.

      При t = 1,5 імовірність P = 0,866. 

      Задача 4.4. На основі вибіркового обстеження у відділенні зв'язку міста передбачається визначити частку листів приватних осіб у загальному обсязі кореспонденції, що відправляється. Ніяких попередніх даних про питому вагу цих листів у загальній масі кореспонденції, що відправляється, не мається.

      Потрібно  визначити чисельність вибірки, якщо результати вибірки дані з точністю до 1% і гарантують це з імовірністю 0,95. 

      Рішення 

      За  умовою задачі відомі:

      розмір  припустимої (граничної) похибки - = 1% чи 0,01;

      прийнята  імовірність – P = 0,95;

      при P = 0,95  t = 1,96 .

      Необхідна чисельність вибірки: 

      n =

 

      Тому  що значення w не дане, то варто орієнтуватися  на найбільшу дисперсію, який відповідає значення w = 0,5.

      n =

=9604 

      Таким чином, щоб із заданою точністю визначити частку приватних листів у загальному обсязі кореспонденції, яка відправляється, необхідно в порядку випадкової вибірки відібрати 9604 листа. 

5. РЯДИ ДИНАМІКИ 

Основні поняття і категорії 

      Динамічний  ряд – це ряд розташованих у хронологічній послідовності значень статистичного показника. Складовими частинами ряду є періоди часу  чи моменти - t_i і числові значення показника – рівні ряду y_i.

      Розрізняють моментні і інтервальні ряди динаміки. Рівні в моментних рядах фіксують стан явища на певний момент часу, у інтервальних – результат (розмір) явища за певний проміжок часу.

      Узагальнюючою характеристикою ряду є середній рівень. В інтервальнім ряду розподілу він розраховується за формулою середньої арифметичної . У моментнім ряду з рівними інтервалами – як середня хронологічна: 

 

     У моментнім ряду з нерівними інтервалами за формулою середньої арифметичної зваженої з умовними рівнями:

      Вивчаючи  особливості розвитку соціально-економічних  явищ, визначають абсолютні і відносні характеристики динаміки: абсолютний приріст і абсолютне значення 1% приросту; темп росту і темп приросту. Розрахунок їх ґрунтується на порівнянні рівнів динамічного ряду.

       Якщо  база порівняння постійна, характеристики ряду називають базисними, якщо база порівняння перемінна – ланцюговими.