Середня геометрична  проста:

. 

Рішення типових задач 

      Задача 2.1. Витрати палива на виробничі потреби підприємства характеризуються в звітному періоді наступними даними: 

 

      Середні калорійні еквіваленти (коефіцієнти) перекладу в умовне паливо: мазут – 1,37 т; вугілля – 0,9 т; газ – 1,2 тис. м³.

      Визначити: 1) загальне споживання умовного палива за планом і фактично; 2) відсоток виконання  плану за загальною витратою палива; 3) питому вагу фактично витраченого палива. 

      Рішення 

      1. Для визначення загальних витрат палива використовується умовно-натуральний метод; витрати за планом і фактично обчислюються в одиницях умовного палива:

        умовних од.;

        умовних од.

      2. Відсоток виконання плану за загальними витратами палива:

      

      Отже, фактичні витрати палива перевищують планові на 3,27%.

      Для визначення питомої ваги витраченого палива (структури витрат палива) використовується допоміжна табл. 2.1.

      (712,4 : 1810,4)   100 = 39,4% і т.д. 
 

      Таблиця 2.1

      Фактичні витрати палива 

 
 

      Задача 2.2. Відомо, що за рік у регіоні народилося 2477 дітей. Середня чисельність населення регіону – 245300 чол. Визначити, скільки народжених доводиться на 1000 чол. населення (тобто розрахувати  відносну величину інтенсивності). 

      Рішення 

      Відносні  величини інтенсивності характеризують ступінь поширеності явища в середовищі. Ці показники розраховуються як відношення обсягу досліджуваного явища до обсягу середовища, у якій це явище розвивається.

         ‰.

      Таким чином, на 1000 чол. населення народжуваність складає 10,1. 

      Задача 2.3. За планом обсяг продукції в звітному році повинний зрости проти минулого року на 2,5%.  План випуску продукції перевиконаний на 3,0%.

        Визначити фактичний випуск продукції  в звітному році, якщо відомо, що обсяг продукції торік склав  5 600 тис. грн. 

      Рішення 

      За  умовою задачі відносна величина планового  завдання склала:

       , Q_баз.= 5 600 тис. грн.

      Тоді Q_пл. = 5 600 ∙1,025 = 5740 тис. грн.

      Відносна  величина виконання плану:

       , звідси Q_факт.= 1,03 ∙ 5740 = 5912,2 тис. грн.

      Задача 2.4. Маємо наступні дані про виробництво і собівартість продукції на двох підприємствах за два квартали:

 
 

      Визначити середню собівартість продукції  в кожному кварталі. 

      Рішення 

      Для того, щоб вибрати форму розрахунку середньої, необхідно записати логічну  формулу усередненого показника, у нашому прикладі – собівартості:

     .

      У першому кварталі відома собівартість  (ознака х)  і обсяг виробництва (частота f),  тобто наданий знаменник логічної формули, тому середня собівартість  розраховується на основі середньої арифметичної зваженої:

        

      В другому кварталі за умовою відсутній обсяг виробництва, але відомий чисельник логічної формули (М) - вартість випуску продукції. Отже, у даному випадку необхідно скористатися формулою середньої гармонійної зваженої:

       

    Таким чином, у другому кварталі за двома  підприємствами собівартість збільшилася  в середньому на 0,48 грн., незважаючи на те, що на кожному підприємстві собівартість зменшилася. На таке збільшення вплинули зміни в структурі випуску продукції підприємствами. 

      Задача 2.5. Маємо наступні дані про експорт продукції металургійного комбінату: 

 

    Визначити середню питому вагу продукції на експорт. 

    Рішення 

    Логічна формула усередненого показника: 

 

      За  умовою задачі відомий чисельник  – вартість продукції на експорт. Тому при рішенні використовується формула середньої гармонійної зваженої.

М – вартість продукції на експорт;

Х – питома вага продукції на експорт.

Середня питома вага продукції на експорт:

 
 

      Тема 3. АНАЛІЗ ВАРІАЦІЙНИХ РЯДІВ 

    Для цілей аналізу і порівняльної характеристики варіаційних рядів  розподілу застосовуються показники  центру розподілу (центру групування) і  показники ступеня варіації.  

    Для характеристики середнього значення ознаки у варіаційному ряду використовуються середня арифметична, мода і медіана.

      Середня  арифметична за даними ряду розподілу розраховується зао формулою:       

    

.

    В інтервальних рядах як варіант “x” використовують середину інтервалу.

    При цьому ширину відкритого інтервалу умовно вважають такою же, як і в сусіднього закритого інтервалу.   

     Мода – величина ознаки, що найчастіше зустрічається в даній сукупності. У дискретному ряді розподілу визначається по максимальній частоті, у інтервальному – по формулі:

      

де x_Mo і h – відповідно нижня границя і ширина модального інтервалу;

ƒ_Mпро, ƒ_{Mо – 1}, ƒ_{Mо + 1} – частоти модального, передмодального і післямодального інтервалів.

     Медіана – величина ознаки, що знаходиться в середині ранжируваного ряду і поділяє його навпіл. У дискретному ряді медіаною буде значення ознаки, для якого накопичена частота перевищує половину обсягу сукупності. В інтервальному ряді таким способом визначається медіанний інтервал, а конкретне значення медіани розраховується по формулі: 

де x_Me і h – відповідно нижня границя і ширина медіанного інтервалу;

ƒ_Me – частота медіанного інтервалу;

  S_{Me – 1}  - кумулятивна частота передмедіанного інтервалу.

      Для визначення рівня варіації ознаки в сукупності застосовуються абсолютні та відносні характеристики.

Розмах варіації R – характеризує діапазон варіації:

R = x_max - x_min                                           

 

      Виражається в тих же одиницях, що і варіанта.

      Узагальнюючою мірою варіації є середнє відхилення індивідуальних значень ознаки від  центра розподілу. Оскільки алгебраїчна сума відхилень дорівнює нулю, то в розрахунках використовують або модулі , або квадрати відхилень. Середній з модулів відхилень називають середнім лінійним відхиленням (l); середній квадрат відхилень – дисперсією ( ), корінь квадратний з дисперсії – середнім квадратичним відхиленням ( ).

       Середнє лінійне відхилення:

         б) зважене:                                                 

      Дисперсія: 

      проста                                  зважена 

      Середньоквадратичне відхилення: 

        просте                           зважене

      Перераховані  вище показники є абсолютними показниками варіації, тому що залежать від розміру варіанти, від її абсолютного значення.