Большинство статистиков решает задачу определения  параметров тренда способом наименьших квадратов, минимизируя сумму квадратов  отклонений отдельных уровней от тренда. Существуют методы построения «нормальных уравнений» способом наименьших квадратов для прямой линии, парабол второго и третьего порядка, экспоненциальной кривой. При этом целесообразно переносить начало отчета времени в середину выравниваемого динамического ряда, система нормальных уравнений заметно упрощаются, и уменьшается объем вычислительной работы.

     Другим  приемом построения систем нормальных уравнений методом наименьших квадратов  для тех типов уравнений тренда, которые приводимы к линейному виду, является замена переменных [1].

     Среднегодовые цепные и базисные показатели динамики хорошо описывают развитие явления во времени, когда динамические ряды меняются плавно. Для рядов, подверженных значительной колеблемости эти показатели могут сильно искажать действительную тенденцию, так как величина их определяется значением уровней динамического ряда, стоящих на концах изучаемого периода. Поэтому применяют другие показатели, в меньшей степени зависящие от значений, стоящих на концах ряда. Эти показатели исчисляются на основе аналитического выравнивания. Под аналитическим выравниванием понимают оптимальное в смысле заданного критерия выравнивание динамического ряда с обязательным аналитическим выражением тренда в виде некоторой кривой. Так, для выражения среднегодового прироста, полученного с помощью аналитического выравнивания и называемого выровненным приростом, применяют только линейное уравнение, а для выражения показателя среднегодового коэффициента и темпа роста служит выравнивание ряда по показательной кривой. Если развитие экономического процесса происходит с ускорением, целесообразно наряду со средней скоростью исчислять и величину среднегодового ускорения, для чего динамический ряд выравнивают по параболе второго порядка.

     Для определения параметров тренда в  сильно колеблющемся ряду применяют метод многократного аналитического выравнивания, так как чем сильнее колеблемость и чем короче динамический ряд, тем больше влияние случайного распределения отклонений от тренда искажает значения параметров, полученных при однократном аналитическом выравнивании.

     Показатели  эффективности производства и влияющие на них факторы могут находиться в стохастической или функциональной связи. В первом случае для их изучения применяются вероятностные методы, во втором – методы функционального анализа, к котором относится индексный анализ. Он изучает изменение в динамике показателей под влиянием факторов, которые являются составными частями показателя и служит для изучения односторонних причинных связей, отражая на самом деле не причинные, а структурные или объемные изменения показателя и выражая тем самым следствия действительных причин.

     2.2 Анализ колеблемости уровней динамического ряда

     При изучении динамики экономических систем необходимо четко разделить два ее основных элемента – тенденцию и колеблемость, чтобы дать каждому их них количественную характеристику с помощью специальных показателей.

     Тенденция динамики связана с действием  долговременно существующих факторов, причин и условий развития экономической системы.

     Колебания же, напротив, связаны с действием  краткосрочных или циклических факторов, влияющих на отдельные уровни динамического ряда, и отклоняющих их тенденции то в одном, то в другом направлении. Знание величины колеблемости необходимо для создания соответствующих резервов экономических систем [13]. Изучение и измерение динамики колеблемости, ее типа и связи с обуславливающими ее факторами необходимо для прогнозирования динамических процессов.

     Если  при изучении и измерении тенденции динамики колебания уровней играли лишь роль помех, «информационного шума», от которого следовало по возможности абстрагироваться, то в дальнейшем колеблемость становится предметом статистического исследования.

     Значение  изучения колебаний уровней динамического ряда очевидно: колебания урожайности, продуктивности скота, производства мяса – экономически нежелательны, так как потребность в продукции агрокомплекса постоянна. Эти колебания следует уменьшать, применяя прогрессивную технологию и другие меры. Напротив, сезонные колебания объемов производства зимней и летней обуви, одежды, мороженого, зонтов – необходимы и закономерны, так как спрос на эти товары тоже колеблется по сезонам и равномерное производство требует лишних затрат на хранение запасов. Регулирование рыночной экономики как со стороны государства, так и производителей в значительной мере состоит в регулировании колебаний экономических процессов.

     Основными задачами статистического изучения колеблемости производственных и социальных процессов являются следующие:

     -  измерение силы колебаний;

     - изучение типа колебаний, разложение сложной колеблемости на разнородные составляющие;

     - исследование изменений колеблемости во времени, динамики колебаний;

     - изучение вариации колеблемости в пространственной или иной совокупности объектов;

     - изучение факторов колеблемости и ее статистико-математическое моделирование.

     Основными абсолютными показателями, характеризующими силу колебаний, являются [4]:

     1. Амплитуда, или размах колебаний – это разность между алгебраическим наибольшим за период отклонением от тренда и наименьшим алгебраическим отклонением 

     A_R=E_max-E_min , (1) 

     где  А_R - амплитуда колебаний;

     E_max- максимальный уровень динамического ряда;

     E_min – минимальный уровень динамического ряда;

     2. Среднее линейное отклонение:

     

  ,      (2) 

     где l(t)- отклонение фактических уровней от тренда

     N- число уровней.

     3. Среднее квадратичное отклонение: 

     

 , (3) 

     где     y_i - фактический уровень;

     ỹ_i - выравненный уровень, тренд;

     n - число уровней;

     р - число параметров тренда.

     Знак времени «t» в скобках после показателя означает, что это показатель не обычной пространственной вариации, а показатель колеблемости во времени.

     Относительные показатели колеблемости вычисляются делением абсолютных показателей на средний уровень за весь изучаемый период. В число показателей колеблемости помимо абсолютных должны входить и относительные показатели, роль которых заключается в том, что лишь в них выражается сравнимая для различных рядов мера интенсивности колебательного процесса. Относительные показатели строятся как отношения  абсолютных показателей к среднему уровню ряда динамики за тот же период. Так на основе среднего квадратического отклонения можно вычислить относительный показатель – коэффициент колеблемости:  

     

     (4) 

     По  отношению к урожайности на основе опыта массового измерения колебаний  по разным культурам и территориям  при V_y(t)<0,1 колеблемость можно характеризовать как слабую; при 0,1<V_y(t)≤0,2 как умеренную; при 0,2<V_y(t)≤0,4 – как сильную; при  V_y(t)>0,4 – как очень сильную.

     Система показателей колеблемости должна быть дополнена показателями устойчивости как свойства, противоположного колеблемости.

     Коэффициентом устойчивости называют величину равную 1-V_y(t) , или дополнение коэффициента колеблемости до единицы [2]. 

     Существенной  характеристикой колеблемости является тип колебаний. Первичных, или «чистых», колебаний в динамических рядах  можно выделить три: «пилообразная», или «маятниковая», колеблемость, при  которой знаки отклонений от тренда чередуются строго поочередно; долгопериодическая, или циклическая, при которой несколько уровней подряд отклоняются от тренда в одну сторону, а затем несколько уровней – в противоположную сторону и т.д.; случайно распределенная во времени, при которой равновероятна любая последовательность знаков и величины отклонений от тренда. Графически типы колеблемости изображены в приложении 1 [13].

     Ни  один из этих типов, как правило, не встречается на практике в чистом виде, но обычно один из типов является преобладающим для определенного процесса. Знание типа преобладающие колеблемости имеет большое практическое значение для прогнозирования и для разработки мероприятий по уменьшению колебаний либо по преодолению их отрицательных последствий. Так, при преобладании «пилообразной» колеблемости требуется значительно меньший страховой запас, чем при равной по интенсивности долгопериодической колеблемости, так как недобор продукции при первой из них сразу же в следующем году компенсируется ее повышением над средним уровнем тренда, а при втором типе несколько лет с недобором продукции следуют один за другим.

     Разные  типы колеблемости объясняются, как  правило, разними причинами. Так  «пилообразная» колеблемость – автоколебательным  причинным механизмом. Долгопериодическая колеблемость обычно связана с циклами внешних факторов: солнечная активность, смена времени года, гипотетические циклы метеорологических процессов. Случайную колеблемость обычно рассматривают как наложение или «интерференцию» многих разных по характеру и длине цикла колебательных процессов.

     Для исследования типа колеблемости предложен  ряд методов. Так, М.Дж. Кондэл предложил  критерий «поворотных точек», или  локальных экстремумов, в ряду отклонений от тренда. Им доказано, что при случайном  распределении во времени колебаний число локальных экстремумов в среднем равно:

     

    (5) 

     при среднем квадратическом отклонении 

     

  (6) 

     При «пилообразной» колеблемости число  «поворотных точек» будет точно  равно N-2, а при долгопериодической – удвоенному числу циклов, уменьшающихся на длине периода N, поскольку каждый цикл содержит a экстремума. Измерив фактическое число «поворотных точек» и сравнив его с ожидаемым при различных типах колебаний можно определить преобладающий тип колеблемости.

     Другой  метод определения типа колеблемости, при котором учитывается не только порядок чередования величин  отклонений от тренда, но и сами эти  величины – автокорреляционный анализ. Он состоит в вычислении коэффициентов  автокорреляции в ряду отклонений от тренда со сдвигом на 1,2,3 и т.д. Полученная серия коэффициентов автокорреляции образует так называемую «автокорреляционную функцию». Уже по коэффициенту автокорреляции первого порядка, то есть со сдвигом на один год можно достаточно надежно судить о преобладающем типе колебаний.

     Коэффициент автокорреляции первого порядка  вычисляется по формуле: 

     

 (7) 

     При «пилообразной» колеблемости все произведения в числителе коэффициента будут  отрицательны и будет получена существенная величина коэффициента. Напротив, при долгопериодической колеблемости подавляющая часть произведений – в числителе, притом наибольшее при абсолютной величине будут положительны, и в результате коэффициент автокорреляции окажется существенно положительным. При случайно распределенной во времени колеблемости одинаково вероятно любое чередование знаков отклонений от тренда. Поэтому окажется примерно поровну положительных и отрицательных произведений, а коэффициент окажется несущественно отличным от нуля. Существенность отличия коэффициента автокорреляции проверяется по специальным таблицам.

2.3. Прогнозирование на основе динамических  рядов

     Прогнозирование возможных в будущем значений признаков изучаемого объекта –  одна из основных задач науки. В ее решении роль статистических методов очень значительна. Одним из статистических методов прогнозирования является расчет прогнозов на основе измерения тренда и колеблемости динамического ряда до настоящего времени. Если мы будем знать, как быстро и в каком направлении изменились уровни какого-то признака, то сможем узнать, какого значения достигнет уровень через известное время. Методика статистического прогноза по тренду и колеблемости основана на их экстраполяции, то есть на предположении, что параметры тренда и колебаний сохраняются до прогнозируемого периода. Такая экстраполяция справедлива, если система развивается эволюционно в достаточно стабильных условиях. Чем крупнее система, тем более вероятно сохранение параметров ее изменения, конечно, на срок не слишком большой.