Статистический анализ, статистический прогноз

 

Изобразим графически построенные  ряды распределения:

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

     2) Оценим однородность совокупности  на основе метода группировок.

     

Из вариационного  ряда таблицы 1 видно, в каких пределах колеблется выпуск продукции (нарастание выпуска продукции до 166 млн. руб.). Число предприятий постепенно увеличивается, а затем уменьшается. Наиболее часто встречается выпуск продукции в интервале от 161 до 181 млн. руб. ( группы 3 и 4) со средним значением 171 млн. руб. Из вариационного ряда таблицы 2 видно в каких пределах колеблется потеря рабочего времени и как с нарастанием потери времени до 47,8 тыс. чел. - дней увеличивается число предприятий, а затем наблюдается постепенное их уменьшение. Наиболее часто встречается потеря рабочего времени, находящаяся в пределах от 39,5 до 56 тыс. чел. - дней (группа 2).

     3) Оценим характер распределения  совокупности исходных данных  с помощью средней, моды, медианы, показателей вариации.

Определим средний выпуск продукции и среднюю  стоимость основных производственных фондов по формуле средней арифметической взвешенной:

      

где f - частота варианта, X - среднее значение вариации.

Пользуясь таблицей 1, определим среднее значение выпуска продукции:

       = 171,00 млн. руб.

Пользуясь таблицей, 2 определим среднее значение потерн рабочего времени:

       = 60,40 тыс. чел. - дней

Вывод: по данным предприятиям средний выпуск продукции равен 171 млн. руб.. а средние потери рабочего времени равны 60.4 тыс. чел.-дней

     Мода (М_о) - значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью в вариационном ряду - вариант, имеющий наибольшую частоту. В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

      

где  X_мо    - нижняя граница модального интервала:

f_мо,  f_мо-1,  f_мо+1 - частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалом (соответственно). 

     Найдём  моду для выпуска продукции:

      

        млн. руб.

     Найдём  моду для потери рабочего времени:

      

      М_о =      49.81      тыс. чел. - дней

Таким образом, наибольшее количество предприятий  имеют выпуск продукции, равный 171 млн. руб. и потери рабочего времени 49,81 тыс. чел. - дней.

     Медиана (М_е) - это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части. В интервальных рядах распределения медианное значение оказывается в интервале, который характерен тем, что его кумулятивная частота равна или превышает полусумму всех частот ряда и вычисляется по формуле:

      

где X_ме -  нижняя граница медианного интервала;

S_Ме-1 - сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала

 f_Ме – число наблюдений в медианном интервале.

    f/2 - половина от общего числа наблюдений

      Найдём  медиану по выпуску продукции:

      

     М_е =    171,0    млн. руб.

Найдём  медиану по стоимости основных производственных фондов:

      

     M_е =    56,0    тыс. чел.-дней

     Следовательно, 50% или 15 предприятий имеют выпуск продукции более чем 171 млн. руб. и потери рабочего времени более чем 56 тыс. чел. – дней, а 15 предприятий соответственно менее 171 млн. руб. и менее 56 тыс. чел. - дней.

     Вычислим  дисперсию. Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, вычислим её по формуле взвешенной дисперсии для вариационного ряда: 

      

По выпуску  продукции вычислим дисперсию, пользуясь  таблицей 1:   

      

По потере рабочего времени вычислим дисперсию, пользуясь таблицей 2: 

      

Среднее квадратическое отклонение равно корню  квадратному из дисперсии:

      

По выпуску  продукции вычислим среднее квадратическое отклонение:

       =  14,08     млн. руб. 

По потери рабочего времени вычислим среднее  квадратическое отклонение:

       =  22,01      тыс. чел-дней

Получили  обобщающую характеристику выпуска  по данной продукции, она показывает, что в среднем конкретные варианты выпуска продукции отклоняются от её средней величины (171 млн. руб.) на 14,08 млн. pyб. Значит, средний выпуск продукции колеблется в пределах от 156,92 млн. руб. до 185,08 млн. руб., а средняя потеря рабочего времени колеблется в пределах от 38,39 до 82,41 тыс. чел.-дней.

     Вычислим коэффициент вариации, который определяет сравнительную оценку вариации единиц совокупности и характеристику однородности совокупности:

      

Коэффициент вариации по выпуску продукции:

      

так как  вариация рассматриваемого признака не превосходят 33%, то данная совокупность по выпуску продукции можно считать количественно однородной. Коэффициент вариации по потери рабочего времени:

      

так как  вариация рассматриваемого признака превосходит  33%, то совокупность можно считать количественно неоднородной. 

4) Проверим  данные на основе критерия  Пирсона

     С помощью критерия Пирсона проверим гипотезу о нормальном распределении  величины X. Вычислим теоретические частоты по формуле:

       , где функция φ(u_i) - табулированная функция

      Далее сравнивая теоретические частоты  с эмпирическими используем критерии Пирсона:

                 

                 

По таблице  критических точек распределения  х_кр, при уровне значимости α= 0,05 и по числу степеней свободы К = S - 3 = 6 - 3 = 3 находим критическую точку

      х ²_кр= х_кр² (0,05;3) = 7,81

Для распределения  предприятий по выпуску продукции

     Объём выборки N = 30   длина интервала h =  10

среднее квадратическое отклонение = 14,08 млн. руб, среднее значение X = 171,00 млн. руб.

Если  учесть вычисленные величины получим  формулу:

      

Составим  расчётную таблицу для определения  теоретических частот и величины кр. Пирсона.

Таблица 3 Нахождение хи-квадрата расчётного для величины выпуска продукции

     

     Определили  наблюдаемое значение критерия x²_набл = 1 ,988

Сравниваем  полученное значение с критическим  получим, что  x²_{набл <} х_крит²     так как 1,988 _< 7,81, то нет основания отклонить гипотезу о нормальном распределении. Т.е эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно. Можно считать, что распределение предприятий по выпуску продукции является нормальным.

     Для распределения предприятий по потери рабочего времени:

Объём выборки N = 30 длина интервала h = 16,5 

Среднее квадратическое отклонение = 22,01 тыс. чел. – дней среднее значение X = 60,40 тыс. чел.-дней.

     Учитывая  вычисленные величины, получим формулу:

        

Составим  расчётную таблицу для определения  теоретических частот и величины кр. Пирсона.

Таблица 4 Нахождение хи-квадрата расчётного для  величины потери рабочего времени