Статистические методы анализа динамики численности работников

Σ∆yц

                                               ∆yц = ----------  (18)

n

где, n – число цепных абсолютных приростов (∆yц) в изучаемом периоде.

Средний абсолютный прирост определим через накопленный (базисный) абсолютный прирост (∆yб). Для случая равных интервалов применим следующую формулу:                        ∆yб

                                                ∆yб = --------  (19)

                                                            m-1

где т - число уровней ряда динамики в изучаемом периоде, включая базисный.

Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста (снижения), показывающий во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.             

Средний темп роста (снижения) - обобщенная характери­стика индивидуальных темпов роста ряда динамики. В качестве основы и критерия правильности исчисления среднего темпа роста (снижения) применяется определяющий показатель – произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Следовательно, если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, то нужно применять среднюю геометрическую.

Средние темпы прироста (сокращения) рассчитываются на основе средних темпов роста, вычитанием из последних 100 % Соответственно при исчислении средних коэффициентов прироста из значений коэффициентов роста вычитается единица:

Тпр  = Тр – 100%  (20)                              Кпр = Кр – 1 (21)

где Tпр - средний темп прироста.

Если уровни ряда динамики снижаются, то средний темп роста будет меньше 100 %, а средний темп прироста - отрицательной величиной. Отрицательный темп прироста Tпр представляет собой средний темп сокращения и характеризует среднюю относительную скорость снижения уровня.

При анализе развития явлений, отражаемых двумя динамическими рядами, представляет интерес сравнение интенсивностей изменения во времени обоих явлений. Такое сопоставление интенсивностей изменения производится при сравнении динамических рядов одинакового содержания, но относящихся к разным территориям (странам, республикам, районам и т.п.), или к различным организациям (министерствам, предприятиям, учреждениям), или при сравнении рядов разного содержания, но характеризующих один и тот же объект.

Сравнительные характеристики направления и интенсивности роста одновременно развивающихся во времени явлений определяются приведением рядов динамики к общему (единому) основанию и расчетом коэффициентов опережения (отставания).

Ряды динамики (в которых возникают, например, проблемы сопоставимости цен сравниваемых стран, методики расчета сравниваемых показателей и т.п.) обычно приводят к одному основанию, если они не могут быть решены другими методами. По исходным уровням нескольких рядов динамики определяют относительные величины — базисные темпы роста или прироста. Принятый при этом за базу сравнения период времени (дата) выступает в качестве постоянной базы расчетов темпов роста для каждого из изучаемых рядов динамики, в зависимости от целей исследования базой может быть начальный, средний или другой уровень ряда.

1.6 Прогнозирование на основе среднего абсолютного прироста

Если цепные абсолютные приросты рассматриваемого ряда ди­намики приблизительно постоянны, то развитие явления можно описать линейной функцией. В этом случае возможно примене­ние метода прогнозирования на основе среднего абсолютного прироста. Значение предсказываемого уровня (уп+1) рассчитыва­ется по формуле:

(22)

где уn — последний уровень динамического ряда;

∆ — средний абсолютный прирост ряда динамики;

t — количество периодов экстраполяции (срок прогноза).

Такой подход к прогнозированию имеет то положительное свойство, что не требует проведения громоздких расчетов, и в то же время дает возможность получить достаточно объективно прогнозную оценку показателя на ближайший период.

1.7 Прогнозирование на основе среднего темпа роста

Данный способ прогнозирования применяется, если рассчитан­ные цепные темпы роста приблизительно одинаковые при пере­ходе от одного периода времени к другому. Тогда общую тенден­цию можно описать с помощью показательной функции, а прог­нозируемое значение уровня определить следующим образом:

yn+1 = yn ∙ (Tроста/100)t, (23)

где уn - последний уровень динамического ряда;

Tроста— средний темп роста динамического ряда, выраженный в коэффициентах;

t — количество периодов экстраполяции (срок прогноза).

Подобный подход к прогнозированию также не требует про­ведения громоздких расчетов.

1.8 Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления.

В некоторых случаях закономерность изменения явления, общая тенденция его развития явно и отчетливо отражается уровнями динамического ряда (уровни на изучаемом периоде непрерывно растут или непрерывно снижаются).

Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, в которых уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают), и общая тенденция развития неясна.

На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, ряд ежесуточного   выпуска  продукции   заменяется   рядом   месячного выпуска продукции и т.д. Средняя, исчисленная по укрупненным   интервалам,   позволяет   выявлять   направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

Выявление  основной  тенденции  может осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3, 5, 7 и т.д.), первых по счёту уровней ряда, затем — из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее — начиная с третьего и т.д.

Таким образом, средняя как бы "скользит" по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следовательно - потеря информации.

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:                        ŷt = f (t),  (24)

где ŷt — уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени.

Определение теоретических (расчетных) уровней  ŷt производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).             

Например, простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:

        линейная функция - прямая ŷt = а0 + a1t  (25), где   aо + a1 – параметры уравнения; t – время;

        показательная функция ŷt  =  а0 а1 (26); 

        степенная функция - кривая второго порядка (парабола)

ŷt = а0 + a1t + a2t²  (27).

В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:                                Σ(ŷt – yi)²  →min,                (28)

где  yt - выровненные (расчетные) уровни;  yi - фактические уровни.

Параметры а, удовлетворяющие этому условию могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней - плавно изменяющимися уровнями ŷt, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой:

ŷt = а0 + a1t  (25).Параметры а0, a1.. согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений,   полученной   путем   алгебраического преобразования условия  Σ(ŷt – yi)²  →min :   а0 n + a1 Σt = Σy

         а0 Σt + a1 Σt² = Σyt,  (29)

где  у - фактические (эмпирические) уровни ряда; t - время (порядковый номер периода или момента времени).

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t = 0) принять центральный  интервал (момент).

При четном числе уровней (например, 6), значения t -условного обозначения времени будут такими (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):

2004   2005   2006   2007   2008   2009

    - 5        -3        -1      +1       +3      +5

При нечетном числе уровней (например, 7) значения устанавливаются по-другому:

2003      2004   2005   2006      2007    2008   2009

    -3           -2         -1           0         +1         +2        +3

В обоих случаях  Σt = 0,  так что система нормальных уравнений принимает вид:      Σy = n а0  (30)   

                        Σyt = a1 Σt² (31)

                                          Σy                                                       Σyt

Из первого уравнения а0     = -------- (32) Из второго уравнения:  a1  = -------- (33)

                                           n                                                        Σt2 

1.9 Методы изучения сезонных колебаний

При сравнении квартальных и месячных данных многих социально – экономических   явлений часто обнаруживаются периодические колебания, возникающие под влиянием смены времен года. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также многочисленных и разнообразных факторов, которые часто являются регулируемыми.

В широком понимании к сезонным относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодовых изменений, т.е. более или менее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней.

В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонные колебания» или «сезонные волны», а динамический ряд в этом случае называют сезонным рядом динамики.

Сезонные колебания наблюдаются в различных отраслях экономики: при производстве большинства сельскохозяйственных продуктов, их переработке, в строительстве, транспорте, торговле и т.д. Значительной колеблемости во внутригородской динамике подвержены денежное обращение и товарооборот. Наибольшие денежные доходы образуются у населения в 3 и 4 кварталах, особенно это характерно для селян. Максимальный объем розничного товарооборота приходится на конец каждого года. Спрос на многие виды услуг, производство молока, мяса, шерсти, улов рыбы колеблются по сезонам.