Корреляционный и регрессионный анализ влияния факторных признаков фотографического объектива

 

Оценка коэффициентов  в случае пяти объясняющих переменных имеет вид:

Таблица 14

 

	Коэффициенты
Y-пересечение	-25119,8836
Переменная X 1	-153,4842
Переменная X 5	2017,4050
Переменная X 8	59,9236
Переменная X 9	287,6999

 

а уравнение регрессии  имеет вид:

                  

 

Проверим на уровне α=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу  H₀: β₁=β₂=β₃=β₅₌0. Для этого в результатах «дисперсионного анализа» находим наблюдаемое значение F-статистики   F_набл=49,55.

С помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР или по таблицам F-распределения для уровня значимости α=0,05  и числа степеней свободы числителя ν₁=k=4  и знаменателя ν₁=n-k-1=99  находим критическое значение F-статистики, равное

                                           F_кр = 2,46

Так как наблюдаемое значение F-статистики превосходит ее критическое значение 49,55> 2,46, то гипотеза о равенстве вектора коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05.  Следовательно, хотя бы один элемент вектора β=(β₁,β₂,β_3,β₅)^T  значимо отличается от нуля.

Проверим значимость отдельных  коэффициентов уравнения регрессии, т.е. гипотезу .

Наблюдаемые значения t-статистик указаны в таблице результатов в столбце «t-статистика».

Таблица 15

	Коэффициенты	t-статистика
Y-пересечение	-25119,8836	-3,2654
Переменная X 1	-153,4842	-6,7815
Переменная X 5	2017,4050	2,0797
Переменная X 8	59,9236	11,1276
Переменная X 9	287,6999	5,5554

Их  необходимо сравнить с критическим  значением  t_кр, найденным для уровня значимости  α=0,05  и числа степеней свободы ν=n – k - 1.

Для этого используем встроенную статистическую функцию Excel СТЬЮДРАСПОБР,  введя в предложенное меню вероятность  α=0,05 и число степеней свободы   ν= n–k-1=99.   (Можно найти значения t_кр  по таблицам математической статистики ).

Получаем   t_кр=1,984.

Для рассматриваемых коэффициентов β_1, β₅, β₈, β₉ наблюдаемое значение t-статистики  больше критического по модулю:

Следовательно, гипотеза о равенстве нулю данных коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05, то есть β_1, β₅, β₈, β₉ значимы.

Также для  всех этих коэффициентов   p-значения  не превышают 0,05 и доверительные интервалы не включают ноль, то есть по всем проверочным критериям эти коэффициенты являются значимыми.

Поскольку в  данном случае все коэффициенты оказались  значимыми, процесс исключения переменных прекращается.

Окончательная оценка регрессии со значимыми коэффициентами имеет вид:

              

 

Для значимых коэффициентов регрессии можно  найти с заданной доверительной  вероятностью γ интервальные оценки.

Доверительные интервалы для регрессионных  коэффициентов выдаются Excel в последних столбцах таблицы результатов – «нижние 95%» и «верхние 95%» - с заданным уровнем надёжности  для γ=0,95.

Таблица 16

	Коэффициенты	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-25119,8836	-40383,8320	-9855,9351
Переменная X 1	-153,4842	-198,3926	-108,5758
Переменная X 5	2017,4050	92,5791	3942,2310
Переменная X 8	59,9236	49,2383	70,6088
Переменная X 9	287,6999	184,9415	390,4583

 

Таким образом, интервальные оценки значимых генеральных  коэффициентов регрессии имеют  вид:

 

 

 

 

 

 

Величина R² характеризует долю общей дисперсии зависимой переменной, обусловленную воздействием объясняющих переменных.  Около 66,69% вариации стоимости объектива (Y) объясняется вариацией фокусных расстояний (X₁), числа лепестков диафрагмы (X₅), веса (X₈), значения репутации фирмы-производителя (X₉), а  33,31% вариации вызвано воздействием неучтенных в модели и случайных факторов. Таким образом, можно сделать вывод, что модель достаточно адекватно отражает исследуемый процесс.

Коэффициент регрессии показывает среднюю величину изменения зависимой переменной Y при изменении объясняющей переменной X на единицу собственного изменения. Знак при коэффициенте указывает направление этого изменения.

Коэффициент регрессии при X₅ показывает, что при росте числа лепестков диафагмы на единицу - стоимость объектива Y в среднем увеличивается на 2017 рублей. Построенная выше интервальная оценка показывает, что с вероятностью 0,95 увеличение стоимости будет в пределах от 92  до 3942 рублей.

Коэффициент при X₈ свидетельствует о том, что при росте веса объектива на 1 грамм стоимость в среднем увеличивается на 60 рублей, а с вероятностью 0,95 при росте веса на грамм увеличение стоимости будет в пределах от 50 до 70 рублей.

Коэффициент при X₉ свидетельствует о том, что при росте значимости фирмы производителя на единицу стоимость объектива в среднем увеличивается на 288 рублей, а с вероятностью 0,95 при росте значимости на единицу увеличение стоимости будет в пределах от 185 до 390 рублей.

Расчет стоимости  при коэффициенте X1 считается немного сложнее.

 

 

 

Заключение

Из расчетов проведенных в данной курсовой работе следует сделать вывод, что очень большую роль в калькулировании стоимости объектива играет фирма-производитель объектива. Т.е. проще говоря, если вы хотите купить объектив подешевле, то исключайте из выбора такие фирмы как Carl Zeiss а также Canon и Nikon.

То, что я  включил в расчеты такой факторный  признак как «вес объектива», дало нам возможность совсем шутливо, но вполне достоверно заявить, что, чем  тяжелее объектив – тем он дороже стоит! Вот такой вроде бы парадокс, но в то же время факт. Хотя корреляционный анализ показал, что связь эта – совсем слабая.

Такая сильная  зависимость стоимости объектива от числа лепестков диафрагмы возможно просто случайность, потому что цена изготовления лепестков диафрагмы в отношении к цене объектива очень мала.

Построенная модель, в принципе, хорошая и  при расчетах выдает достаточно похожие  на правду результаты с погрешностью примерно 10-30%.

Это позволяет  сделать вывод, что в данную модель следует включить еще несколько  факторных признаков, которые не были учтены при построении данной модели, и, возможно, уровень достоверности  модели станет намного выше, а пока положена первая ступень в изучении данного вопроса.

 

 

 

 

 

 

Список  использованной литературы и источников

1. В.С.Мхитарян, Ю.Н.Миронкина, Е.В.Астафьева. Корреляционный и регрессионный анализ с использованием ППП MICROSOFT EXCEL.  Учебное пособие. – М: Издательство МЭСИ, 2008 – с.68.
2. Теория вероятностей и математическая статистика. Под ред. В.С. Мхитаряна. – М., Market DS, 2007 г.
3. С.А.Айвазян, В.С.Мхитарян. Практикум по прикладной статистике. – М.: МЭСИ, 2002.
4. Н.Ш.Кремер. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. М.:ЮНИТИ-ДАНА,2007.
5. Сергей Дубильер. Объективно об объективах, статья. www.photoweb.ru 2003
6. http://market.yandex.ru/

¹ Аберрация оптической системы — ошибка или погрешность изображения в оптической системе, вызываемая отклонением луча от того направления, по которому он должен был бы идти в идеальной оптической системе.