Корреляционный и регрессионный анализ влияния факторных признаков фотографического объектива

 

Т.к. значение парного коэффициента корреляции то это означает, что факторный признак X1 (фокусное расстояние) очень сильно зависим от другого факторного признака X4 (минимальное расстояние фокусировки). В таком случае придется исключить один из этих факторных признаков.

Т.к. при корреляционном анализе факторный  признак X1 оказался более значимым, чем X4, то мы исключаем последний.

 

Построение  регрессионной модели  и её интерпретация

 

Будем использовать алгоритм пошагового регрессионного анализа  с последовательным исключением  незначимых регрессоров, пока все входящие в регрессионную модель факторы  не будут иметь значимые коэффициенты. Построение и оценка регрессионной модели осуществляется в Excel с помощью модуля регрессии пакета анализа данных.

Приступим к  анализу.

 

I ЭТАП РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА.

В модель включены следующие факторные признаки:

X₁ – фокусное расстояние;

X₂ – максимальная диафрагма;

X₃ -  минимальная диафрагма;

X₅ – число лепестков диафрагмы;

X₆ – число групп элементов;

X₇ -  число элементов;

X₈ – вес;

X₉ – значимость бреда (репутация);

X₁₀ – автофокус (цена технологии).

 

Результаты  регрессионного анализа:

Таблица 9

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,818596391
R-квадрат	0,670100051
Нормированный R-квадрат	0,638513886
Стандартная ошибка	9851,020646
Наблюдения	104
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	9	18528817961	2058757551	21,21498586	4,25244E-19
Остаток	94	9122005130	97042607,77
Итого	103	27650823091
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-30417,7758	11250,8352	-2,7036	0,0081	-52756,5724	-8078,9792
Переменная X 1	-166,2403	31,6846	-5,2467	0,0000	-229,1507	-103,3298
Переменная X 2	1537,2748	1847,8764	0,8319	0,4076	-2131,7269	5206,2766
Переменная X 3	-18,4305	224,5063	-0,0821	0,9347	-464,1931	427,3321
Переменная X 5	2446,0792	1114,7908	2,1942	0,0307	232,6360	4659,5225
Переменная X 6	154,2720	1234,8150	0,1249	0,9008	-2297,4820	2606,0260
Переменная X 7	-269,8568	973,9775	-0,2771	0,7823	-2203,7119	1663,9983
Переменная X 8	60,6703	7,6277	7,9540	0,0000	45,5254	75,8153
Переменная X 9	287,2872	54,3217	5,2886	0,0000	179,4301	395,1443
Переменная X 10	13,5838	32,1643	0,4223	0,6738	-50,2792	77,4468

 

В регрессионной  статистике указываются множественный  коэффициент корреляции (Множественный R) и детерминации (R-квадрат)  между Y и массивом факторных признаков, что совпадает с полученными ранее значениями в корреляционном анализе.

Средняя часть  таблицы (Дисперсионный анализ) необходима для проверки значимости уравнения регрессии.

Нижняя часть  таблицы – точечные оценки b_i генеральных коэффициентов регрессии β_i, проверка их значимости и интервальная оценка.

Оценка  вектора коэффициентов b (столбец  «Коэффициенты»):

Таблица 10

	Коэффициенты
Y-пересечение	-30417,7758
Переменная X 1	-166,2403
Переменная X 2	1537,2748
Переменная X 3	-18,4305
Переменная X 5	2446,0792
Переменная X 6	154,2720
Переменная X 7	-269,8568
Переменная X 8	60,6703
Переменная X 9	287,2872
Переменная X 10	13,5838

 

Тогда оценка уравнения регрессии имеет вид:

 

Необходимо  проверить значимость уравнения  регрессии и полученных коэффициентов  регрессии.

Проверим  на уровне α=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу  H₀: β₁=β₂=β₃=…=β_k=0. Для этого рассчитывается  наблюдаемое значение F-статистики:

                                            

Excel выдаёт это в результатах дисперсионного анализа:

 В столбце  F  указывается значение F_набл.

F

21,21

 

По таблицам F-распределения или с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР для уровня значимости α=0,05  и числа степеней свободы числителя ν₁=k=9  и знаменателя ν₂=n-k-1=94  находим критическое значение F-статистики, равное

                                           F_кр = 1,98

Так как наблюдаемое  значение F-статистики превосходит ее критическое значение 21,21  > 1,98, то гипотеза о равенстве вектора коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05.  Следовательно, хотя бы один элемент вектора  β=(β₁,β₂,β₃,β₅,β₆,β₇,β_8, β₉,β₁₀)^T  значимо отличается от нуля.

Проверим  значимость отдельных коэффициентов  уравнения регрессии, т.е. гипотезу .

Проверку  значимости регрессионных коэффициентов  проводят на основе t-статистики     для уровня значимости .

Наблюдаемые значения t-статистик указаны в таблице результатов в столбце «t-статистика».

Таблица 11

	Коэффициенты	t-статистика
Y-пересечение	-30417,7758	-2,7036
Переменная X 1	-166,2403	-5,2467
Переменная X 2	1537,2748	0,8319
Переменная X 3	-18,4305	-0,0821
Переменная X 5	2446,0792	2,1942
Переменная X 6	154,2720	0,1249
Переменная X 7	-269,8568	-0,2771
Переменная X 8	60,6703	7,9540
Переменная X 9	287,2872	5,2886
Переменная X 10	13,5838	0,4223

 

Их необходимо сравнить с критическим значением  t_кр, найденным для уровня значимости  α=0,05  и числа степеней свободы ν=n – k - 1.

Для этого  используем встроенную статистическую функцию Excel СТЬЮДРАСПОБР,  введя в предложенное меню вероятность  α=0,05 и число степеней свободы   ν= n–k-1=94

Получаем   t_кр=1,985

Для β₅,β_8,β₉ наблюдаемое значение t-статистики больше критического по модулю.

Следовательно, гипотеза о равенстве нулю этих коэффициентов  отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05, т.е. соответствующие коэффициенты значимы.

Для  β₁,β₂,β₃,β₆,β₇,β₁₀ наблюдаемое значение t-статистики меньше критического значения по модулю, следовательно, гипотеза H₀ не отвергается, т.е. - незначимы.

Значимость  регрессионных коэффициентов проверяют  и следующие столбцы результирующей таблицы:

Столбец  «p-значение»  показывает значимость параметров модели граничным 5%-ым уровнем, т.е. если p≤0,05, то соответствующий коэффициент считается значимым, если p>0,05, то незначимым.

И последние  столбцы – «нижние 95%» и «верхние 95%» - это интервальные оценки регрессионных коэффициентов с заданными уровнями надёжности  для γ=0,95.

Если нижние и верхние границы имеют одинаковый знак (ноль не входит в доверительный  интервал), то соответствующий коэффициент  регрессии считается значимым, в  противном случае – незначимым.

Согласно  алгоритму пошагового регрессионного анализа с исключением незначимых регрессоров, на следующем этапе  необходимо исключить из рассмотрения:

Те, что не выделены – исключаются.

Таблица 12

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-30417,7758	11250,8352	-2,7036	0,0081	-52756,5724	-8078,9792
Переменная X 1	-166,2403	31,6846	-5,2467	0,0000	-229,1507	-103,3298
Переменная X 2	1537,2748	1847,8764	0,8319	0,4076	-2131,7269	5206,2766
Переменная X 3	-18,4305	224,5063	-0,0821	0,9347	-464,1931	427,3321
Переменная X 5	2446,0792	1114,7908	2,1942	0,0307	232,6360	4659,5225
Переменная X 6	154,2720	1234,8150	0,1249	0,9008	-2297,4820	2606,0260
Переменная X 7	-269,8568	973,9775	-0,2771	0,7823	-2203,7119	1663,9983
Переменная X 8	60,6703	7,6277	7,9540	0,0000	45,5254	75,8153
Переменная X 9	287,2872	54,3217	5,2886	0,0000	179,4301	395,1443
Переменная X 10	13,5838	32,1643	0,4223	0,6738	-50,2792	77,4468

 

 

Исходя из таблицы мы исключаем следующие переменные:

1. Переменную X2, т.к. знаки нижних и верхних 95% разные и P-значение значительно больше 0,05, а также t-статистика меньше t-кр
2. Переменную X3, т.к. знаки нижних и верхних 95% разные и P-значение значительно больше 0,05, а также t-статистика меньше t-кр
3. Переменную X6, т.к. знаки нижних и верхних 95% разные и P-значение значительно больше 0,05, а также t-статистика меньше t-кр
4. Переменную X7, т.к. знаки нижних и верхних 95% разные и P-значение значительно больше 0,05, а также t-статистика меньше t-кр
5. Переменную X10, т.к. знаки нижних и верхних 95% разные и P-значение значительно больше 0,05, а также t-статистика меньше t-кр

 

Переменную X1 мы оставляем, т.к. знаки нижних и верхних 95% одинаковые и P-значение меньше 0,05, хотя t-статистика меньше t-кр.

 

II ЭТАП РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА.

В модель включены факторные  признаки  X₁, X₅, X₈, X_{9 ,} исключены X₂, X_3, X₆, X₇, X_10.

Таблица 13

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,8167
R-квадрат	0,6669
Нормированный R-квадрат	0,6535
Стандартная ошибка	9645,0589
Наблюдения	104,0000
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4	18441134047,2622	4610283511,8155	49,5585	0,0000
Остаток	99	9209689043,6225	93027162,0568
Итого	103	27650823090,8846
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-25119,8836	7692,6814	-3,2654	0,0015	-40383,8320	-9855,9351
Переменная X 1	-153,4842	22,6328	-6,7815	0,0000	-198,3926	-108,5758
Переменная X 5	2017,4050	970,0683	2,0797	0,0401	92,5791	3942,2310
Переменная X 8	59,9236	5,3851	11,1276	0,0000	49,2383	70,6088
Переменная X 9	287,6999	51,7879	5,5554	0,0000	184,9415	390,4583