Корреляционный и регрессионный анализ влияния факторных признаков фотографического объектива

 

Теперь  необходимо проверить значимость полученных коэффициентов корреляции, то есть гипотезу H₀: ρ=0. Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистик для всех коэффициентов по формуле:

                                        

и построим матрицу наблюдаемыx значений t-статистик для всех коэффициентов r_ij   (таблица 5).

Наблюдаемые значения t-статистик необходимо сравнить с критическим значением t_кр, найденным для уровня значимости  α=0,05  и числа степеней свободы ν=n-2. Для этого используем встроенную функцию Excel СТЬЮДРАСПОБР, введя в предложенное меню вероятность  α=0,05 и число степеней свободы   ν=n-2=100-2=48.

Можно найти значения t_кр  по таблицам математической статистики. Получаем   t_кр= 1,983495205.

 

 

 

 

 

 

Таблица 5

Матрица наблюдаемыx значений t-статистик парных коэффициентов корреляции исследуемых показателей

	Y	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
Y		2,0620	0,3069	-0,2817	1,8938	4,2870	4,0221	4,4887	8,3447	3,2485	1,0209
X1	2,0620		4,6482	4,0547	15,6865	3,6222	0,7026	1,1701	10,5904	0,3065	1,5147
X2	0,3069	4,6482		8,9078	1,7844	-2,2333	3,0048	3,2924	2,7313	0,0385	0,1074
X3	-0,2817	4,0547	8,9078		0,6271	-1,2308	3,3576	3,4992	2,2786	-1,0413	0,5309
X4	1,8938	15,6865	1,7844	0,6271		2,9298	-1,7575	-1,4291	6,6312	0,6466	-0,1518
X5	4,2870	3,6222	-2,2333	-1,2308	2,9298		0,5531	0,6643	5,1370	0,0000	-0,3933
X6	4,0221	0,7026	3,0048	3,3576	-1,7575	0,5531		24,1075	5,1031	-1,6389	3,1495
X7	4,4887	1,1701	3,2924	3,4992	-1,4291	0,6643	24,1075		6,0503	-1,5458	3,1857
X8	8,3447	10,5904	2,7313	2,2786	6,6312	5,1370	5,1031	6,0503		0,0100	2,2047
X9	3,2485	0,3065	0,0385	-1,0413	0,6466	0,0000	-1,6389	-1,5458	0,0100		-1,0925
X10	1,0209	1,5147	0,1074	0,5309	-0,1518	-0,3933	3,1495	3,1857	2,2047	-1,0925

 

По  результатам, представленным в таблице 3, наблюдаемое значение   t-статистики больше критического t_кр по модулю для парных коэффициентов корреляции

 

 

Следовательно, гипотеза о равенстве нулю этих коэффициентов  отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05,  то есть соответствующие  коэффициенты значимы.

Для остальных коэффициентов наблюдаемое  значение t-статистики меньше критического значения по модулю, следовательно, гипотеза H₀ не отвергается, и это значит, что все остальные коэффициенты незначимы.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 6

Матрица парных коэффициентов корреляции исследуемых  показателей с выделением значимых коэффициентов (при α=0,05)

	Y	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
Y		0,2000	0,0304	-0,0279	0,1843	0,3907	0,3700	0,4061	0,6370	0,3062	0,1006
X1	0,2000		0,4181	0,3726	0,8408	0,3376	0,0694	0,1151	0,7237	0,0303	0,1483
X2	0,0304	0,4181		0,6615	0,1740	-0,2159	0,2852	0,3099	0,2611	0,0038	0,0106
X3	-0,0279	0,3726	0,6615		0,0620	-0,1210	0,3155	0,3274	0,2201	-0,1026	0,0525
X4	0,1843	0,8408	0,1740	0,0620		0,2786	-0,1714	-0,1401	0,5489	0,0639	-0,0150
X5	0,3907	0,3376	-0,2159	-0,1210	0,2786		0,0547	0,0656	0,4534	0,0000	-0,0389
X6	0,3700	0,0694	0,2852	0,3155	-0,1714	0,0547		0,9223	0,4510	-0,1602	0,2977
X7	0,4061	0,1151	0,3099	0,3274	-0,1401	0,0656	0,9223		0,5139	-0,1513	0,3008
X8	0,6370	0,7237	0,2611	0,2201	0,5489	0,4534	0,4510	0,5139		0,0010	0,2133
X9	0,3062	0,0303	0,0038	-0,1026	0,0639	0,0000	-0,1602	-0,1513	0,0010		-0,1075
X10	0,1006	0,1483	0,0106	0,0525	-0,0150	-0,0389	0,2977	0,3008	0,2133	-0,1075

 

Алгоритм  построения интервальной оценки для  генерального коэффициента корреляции следующий:

1). Z_r По найденному выборочному коэффициенту корреляции r с     помощью Z-преобразования Фишера находят соответствующее значение Z_r ,   являющееся гиперболическим арктангенсом r :

                                             

Для этого  в Excel есть встроенная функция ATANH, где в качестве аргумента вводится значение соответствующего выборочного коэффициента корреляции r. Следует учитывать, что Z-функция – нечетная, т.е.    Z(-r)= - Z(r). Можно найти значение Z_r и по таблице Z-преобразования Фишера .

2). ΔZ Найдём значение t_γ, соответствующее заданной надёжности γ=0,95. - значение функции Лапласа.

Для нахождения значения t_γ можно использовать встроенную функцию Excel НОРМСТОБР. Необходимо заметить, что Excel с помощью функции НОРМСТОБР выдаёт не значения функции Лапласа, а значение функции распределения стандартного нормального закона F(t):  

.

Поэтому при  расчёте всех интервальных оценок нужно  пересчитывать γ=0,95 в , а по этому значению уже вычислять t.

В нашем случае для надёжности γ=0,95:   F(t)=0,975;    t_γ =1,959964.

Находим   

3). Z_min и Z_max   Теперь можно найти Z_min и Z_max:

Z_min = Z_r  – ΔZ;      Z_max= Z_r  + ΔZ

4). ρ_min и ρ_max   Наконец, использовав обратное преобразование Фишера, находят нижнюю и верхнюю границы для генерального коэффициента корреляции   ρ_min и ρ_max   , соответствующие Z_min и Z_max.

Соответствующие значения ρ_min и ρ_max являются гиперболическими тангенсами Z_min и Z_max :        

.

 Для их  нахождения в Excel используем встроенную функцию TANH, введя в качестве аргумента значения соответствующих Z_min и Z_max. Можно найти значения ρ_min и ρ_max и по таблице Z-преобразования Фишера.

Построим  с надёжностью  γ=0,95 и с учётом найденного доверительные интервалы для всех значимых парных коэффициентов корреляции, полученных нами.  Расчёты представим в виде таблицы.

Таблица 7

Расчёт  доверительных интервалов для парных генеральных коэффициентов с  надёжностью γ=0,95

	r	Zr	∆Z	Zmin	Zmax	ρmin	ρmax
YX1	0,2000	0,20278	0,19502	0,00776	0,39780	0,00776	0,37807
YX5	0,3907	0,41267		0,41267	0,60769	0,39073	0,54250
YX6	0,3700	0,38841		0,38841	0,58343	0,36999	0,52516
YX7	0,4061	0,43098		0,43098	0,62601	0,40614	0,55530
YX8	0,6370	0,75304		0,75304	0,94806	0,63696	0,73890
YX9	0,3062	0,31634		0,31634	0,51137	0,30620	0,47101

 

Таким образом, доверительные интервалы с надёжностью γ=0,95 для всех значимых парных генеральных коэффициентов корреляции выглядят следующим образом:    

P(0,00776≤ ρ_YX1 ≤0,37807)=0,95 (разница 0,3703)

P(0,39073≤ ρ_YX5 ≤0,54250)=0,95 (разница 0,1518)

P(0,36999≤ ρ_YX6 ≤0,52516)=0,95 (разница 0,1552)

P(0,40614≤ ρ_YX7 ≤0,55530)=0,95 (разница 0,1492)

P(0,63696≤ ρ_YX8 ≤0,73890)=0,95 (разница 0,1019)

P(0,30620≤ ρ_YX9 ≤0,47101)=0,95 (разница 0,1648)

По полученным данным можно сделать следующие  выводы:

Между исследуемыми показателями выявлены значимые корреляционные зависимости.

1) Значимая  корреляционная прямая  взаимосвязь  обнаружена между изучаемым признаком Y – ценой объектива и X₁ – фокусным расстоянием.

2) Более умеренная прямая связь существует между изучаемым признаком Y – ценой объектива и X₅ – числом лепестков диафрагмы, X₆ – числом групп элементов, X₇ -  числом элементов, X₉ – значимостью бреда (репутацией).

3) Менее значимая прямая связь существует между изучаемым признаком Y – ценой объектива и X₈ – весом.

2.3 Регрессионный анализ показателей

После того как с помощью корреляционного  анализа выявлено наличие статистически  значимых связей между переменными и оценена степень их тесноты, переходят к математическому описанию конкретного вида зависимостей с использованием регрессионного анализа. Для этого подбирают класс функций, связывающий результативный показатель Y и аргументы X₁, X₂, X_{3 ,...} X_k, отбирают наиболее информативные аргументы, вычисляют оценки неизвестных значений параметров уравнения связи и анализируют точность полученного уравнения.

Наиболее  часто используется множественная  линейная модель регрессионного анализа,  уравнение которой имеет вид:

                          

для всех i=1,2,…n, или в матричной форме:

                                                ,                 

где

   

                 

 

Исследуем на основе линейной регрессионной модели зависимость цены объектива Y от:

X₁ – фокусное расстояние;

X₂ – максимальная диафрагма;

X₃ -  минимальная диафрагма;

X₄ – минимальное расстояние фокусировки;

X₅ – число лепестков диафрагмы;

X₆ – число групп элементов;

X₇ -  число элементов;

X₈ – вес;

X₉ – значимость бреда (репутация);

X₁₀ – автофокус (цена технологии).

 

Проверка  исходных данных на мультиколлинеарность.

Одним из основных препятствий эффективного применения множественного регрессионного анализа является мультиколлинеарность. Она возникает в случаях существования  достаточно тесных линейных статистических связей между объясняющими переменными X₁, X₂, X_{3 ,...} X_k. В результате мультиколлинеарности матрица парных коэффициентов корреляции становится слабообусловленной, близкой к вырожденной.

Точных  количественных критериев для определения  наличия или отсутствия мультиколлинеарности не существует. Однако на практике о наличии мультиколлинеарности обычно судят по матрице парных коэффициентов корреляции. Если один из элементов матрицы R больше 0,8 , т.е.  | r_ij | > 0,8 , то считают, что имеет место мультиколлинеарность и в уравнение регрессии следует включать только один из показателей X_i или X_j  (как правило, тот, который имеет наибольшую связь с Y).

Прежде, чем переходить к построению регрессионной  модели, необходимо проверить объясняющие  переменные на наличие мультиколлинеарности. Для этого рассмотрим матрицу  парных коэффициентов корреляции между  факторными признаками X_i.

Таблица 8

Матрица парных коэффициентов корреляции факторных  признаков

	Y	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
Y		0,2000	0,0304	-0,0279	0,1843	0,3907	0,3700	0,4061	0,6370	0,3062	0,1006
X1	0,2000		0,4181	0,3726	0,8408	0,3376	0,0694	0,1151	0,7237	0,0303	0,1483
X2	0,0304	0,4181		0,6615	0,1740	-0,2159	0,2852	0,3099	0,2611	0,0038	0,0106
X3	-0,0279	0,3726	0,6615		0,0620	-0,1210	0,3155	0,3274	0,2201	-0,1026	0,0525
X4	0,1843	0,8408	0,1740	0,0620		0,2786	-0,1714	-0,1401	0,5489	0,0639	-0,0150
X5	0,3907	0,3376	-0,2159	-0,1210	0,2786		0,0547	0,0656	0,4534	0,0000	-0,0389
X6	0,3700	0,0694	0,2852	0,3155	-0,1714	0,0547		0,9223	0,4510	-0,1602	0,2977
X7	0,4061	0,1151	0,3099	0,3274	-0,1401	0,0656	0,9223		0,5139	-0,1513	0,3008
X8	0,6370	0,7237	0,2611	0,2201	0,5489	0,4534	0,4510	0,5139		0,0010	0,2133
X9	0,3062	0,0303	0,0038	-0,1026	0,0639	0,0000	-0,1602	-0,1513	0,0010		-0,1075
X10	0,1006	0,1483	0,0106	0,0525	-0,0150	-0,0389	0,2977	0,3008	0,2133	-0,1075