Так, для рассмотренного случая получаем:

                      а₁ = (nåxy - åxåy)/(nåx² - åxåx) ,

                      а₀ = y_c – a₁x_c.

     Для нашего примера:

                      а₁ = (7*592 – 58*70,8)/(7*492 – 58*58) = 0,47

                      а₀ = 10,1 – 0,47*8,3 = 6,22.

     Найденный в уравнении линейной регрессии  коэффициент а₁ при x именуют коэффициентом регрессии. Коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется результативный признак y при изменении факторного признака x на единицу. В нашем случае, при изменении количества внесенных удобрений на 1 кг, урожайность изменяется на 0,47 ц/га.

В случае линейной зависимости между двумя коррелируемыми величинами тесноту связи измеряют линейным коэффициентом корреляции (r), который может быть рассчитан по формуле:

     r = a_i(d_x/d_y), где

     a_i – коэффициент регрессии в уравнении связи,

     d_x – среднее квадратическое отклонение факторного признака,

     d_y – среднее квадратическое отклонение результативного признака.

     значения d_x и d_y рассчитаем по формулам:

     d_x = Öx_c² – (x_c)²  d_y =Ö y_c² – (y_c)² , для чего воспользуемся суммами, рассчитанными для исчисления параметров связи. Перепишем эти суммы:

                      åх=58; åу=70,8; åх²=492; n=7.

     Недостающую сумму квадратов åу² определим дополнительно:

                      åу²=11,2²+13²+11,2²+9,3²+3²+10,6²+12,5²=783,98.

     Отсюда  х_с=8,3; у_с=10,1; х_с²=70,3; у_с²=112;

 d_х=Ö70,3 – 8,3² = 1,2,

 d_у=Ö112 – 10,1²= 3,2,

 r = 0,47*(1,2/3,2)=0,18,

     т.е. теснота связи между внесением  удобрений и изменением урожайности  небольшая, что подтверждает сделанный в пункте 3.2. вывод (где расчет производился по коэффициенту Фехнера).

Корреляционный  анализ. 

    Рис. 2. Корреляционный анализ урожайности зерновых.  
 

     3.5. Корреляционно-регрессионный  анализ для определения  степени влияния  метеоусловий на урожайность. 

     При анализе урожайности, являющейся функцией очень многих факторов, часто возникает  потребность количественно определить роль, степень влияния различных  факторов. Одним из статистических методов, соответствующих поставленной задаче, является метод корреляционного анализа.

     Для нахождения параметров а₀ и а₁ при линейной зависимости воспользуемся формулами из пункта 3.4.

                      а₁ = (nåxy - åxåy)/(nåx² - åxåx) ,

                      а₀ = y_c – a₁x_c.

     Для нашего примера:

                      а₁ = (6*43064 – 3488*74,5)/(6*2072762 – 3488²) = 0,005

                      а₀ = 12,4 + 0,005*581,3 = 15,3.

     Отсюда  уравнение регрессии будет иметь  вид:

                      у =15,3 + 0,005х,

      т.е. при изменении количества осадков  на единицу, показатель урожайности  изменится на 0,005.

      Найдем  коэффициент корреляции (r), который рассчитывается по формуле:

     r = a_i(d_x/d_y), где

     a_i – коэффициент регрессии в уравнении связи,

     d_x – среднее квадратическое отклонение факторного признака,

     d_y – среднее квадратическое отклонение результативного признака. 

     Значения d_x и d_y рассчитаем по формулам, приведенным в предыдущем пункте, для чего воспользуемся суммами, рассчитанными для исчисления параметров связи. Перепишем эти суммы: 

                      åх=3488; åу=74,5; åх²=2072762; åу² =932,13; n=6. 

     Отсюда  х_с=581,3; у_с=12,4; х_с²=345460,3; у_с²=155,4;

 d_х=Ö345460,3 – 337909,7 = 87,

 d_у=Ö155,4 – 153,76 = 1,28,

 r = 0,005*(87/1,28)=  0,34, 

     т.е. теснота связи между количеством  выпавших осадков и изменением урожайности  небольшая. Что подтверждает расчеты, сделанные ранее в пункте 3.3.

     Таблица 12

     Расчетная таблица за 6 лет.

 
 
 
 
 
 
 
 

      3.6. Исчисление показателей колеблемости (устойчивости) урожайности во времени. 

     Ценные  выводы об имеющихся резервах дальнейшего  повышения урожайности дает сравнение  урожайности хозяйств во времени, т.е. исчисление показателей колеблемости (устойчивости) урожайности.

     Для этого необходимо определить средние уровни и показатели общей вариации урожайности зерновых (необходимые суммы и суммы квадратов определим по исходным данным таблицы 10).

     Таблица 13

     Динамика  урожайности зерновых в Тверской области за 1992 – 2009 годы, ц с 1 га

                                                              

     Средняя урожайность, ц с 1 га Y=åY/n                                                        

                                                              

     Дисперсия урожайности d²=  (åU²/ n) - (åU)²/ n²           

                                                                   

     Среднее квадратическое отклонение урожайности, ц с 1 га 

      d=Öd²                                                       

     Коэффициент вариации урожайности, %   V₀=(d*100)/y_ср                                                             

 

     По  вышеприведенным формулам производим расчет показателей:

     Средняя урожайность, ц с 1 га Y_ср=11,8

     Дисперсия урожайности d²=(2523,99/17) – (40200,25/289)=148,5 – 139=9,5

     Среднее квадратическое отклонение урожайности, ц с 1 га d=3,1

     Коэффициент вариации урожайности, % V₀=(3,1*100)/11,8=26,3.

     Судя  по коэффициентам вариации колеблемость урожайности зерновых в хозяйствах Тверской области довольно высока. Однако сделать вывод об устойчивости урожайности по этим данным нельзя, поскольку колеблемость определяется двумя группами причин: 1) тенденцией роста урожайности в динамике; 2) случайной колеблемостью урожайности около тенденции, определяющей саму урожайность.

     Определим колеблемость урожайности зерновых по указанным двум источникам. Для этого проведем выравнивание урожайности по прямой линии и определим отклонения от выравненных уровней.

     Построим  таблицу: