Методика изучения геометрических построений в курсе планиметрии

Задача. Постройте треугольник по стороне, углу, прилежащему к его стороне, и биссектрисе треугольника, исходящей из вершины данного угла. 

 

4. Подведение итога  (3мин)

1. В ходе урока  мы решили две задачи на  построение. Учились: 

а) строить угол, равный данному;

б) строить биссектрису  угла.

2. В ходе решения  этих задач:

а) вспомнили  признаки равенства треугольников;

б) использовали построения окружностей, отрезков, лучей.

5. Задание на дом (2мин). 
 

Урок№2

Тема: Построение середины отрезка. Построение перпендикулярных прямых

Цели:

обучающая: научить учащихся с помощью циркуля и линейки выполнять деление отрезка пополам; сформировать умения и навыки построения перпендикулярных прямых;

развивающая: развитие пространственного мышления, внимания;

воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности.

Ход урока:

1.Актуализация основных теоретических понятий (5мин).

Сначала можно  провести фронтальный опрос по следующим  вопросам:

1.Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?

2.Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны?

3.Какой треугольник называется равносторонним?

4.Что называют серединой отрезка?

Далее предложить задание: с помощью циркуля и линейки построить биссектрису, выходящую из вершины равнобедренного треугольника. Перечислить ее свойства.

2.Изучение  нового материала  (практическая работа)(20мин) 

Построение  середины отрезка 

Задача. Построить середину данного отрезка (объясняет учитель с помощью учащихся).

Решение. Пусть АВ – данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ (рис.5).  

 

Рис.5. 

Они пересекаются в точках Р и Q. Проведем прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и искомая середина отрезка АВ.

В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трем сторонам, поэтому Ð1=Ð2.   

Следовательно, отрезок РО – биссектриса равнобедренного  треугольника АРВ, а значит, и медиана, т.е. точка О – середина отрезка  АВ. 

Построение  перпендикулярных прямых 

Здесь необходимо обратить внимание, что возможны два  случая:

1.Точка принадлежит прямой;

2.Точка не принадлежит прямой.

После повторения учитель формулирует задачу и  объясняет построение для первого  случая, при этом может быть использована таблица№3 приложения 4.

При рассмотрении второго случая учащиеся при помощи таблицы 4 проводят построение и доказательство самостоятельно. 

  Задача. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а (объясняет учитель, после обсуждения с учениками). 

Решение. Возможны два случая:1) точка О лежит на прямой а; 2) точка О не лежит на прямой а.

Рассмотрим первый случай (рис.6). Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках: А и В. из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С – точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки О и С.

Рис.6. 

Перпендикулярность  прямых ОС и АВ следует из равенства  углов при вершине О треугольников АСО и ВСО.  

Эти треугольники равны по третьему признаку равенства  треугольников.

Рассмотрим построение и доказательство для второго случая (рис.7).  

 

Рис.7. 

Из точки О  проводим окружность, пересекающую прямую а. Пусть А и В – точки  ее пересечения с прямой а. Из точек  А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Искомая прямая проходит через точки О и О . Докажем это. 

Обозначим через  С точку пересечения прямых АВ и ОО . Треугольники АОВ и АО В равны по третьему признаку. Поэтому угол ОАС равен углу О АС. А тогда треугольники ОАС и О АС равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСО равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС – перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а.  

3.Закрепление(10 мин)

Задача. Постройте прямоугольный треугольник по его катетам.

Данную задачу ученик решает у доски, предварительно проведя ее анализ.

        1. Анализ. 

 

Рис.8. 

Выполним чертёж -  набросок (рис.8).

СА=b, CB=a, АСВ=

2. Построение (рис.9). 

 

Рис.9. 

1.На прямой  отметим точку С и отложим  отрезок СВ=а.

2.Построим прямую, проходящую через точку С перпендикулярную  СВ.

3.Отложим отрезок  СА=b

4.  АВС – искомый.

3. Доказательство.

В АВС ВС=а, СА= b, ВD АС, следовательно, угол ВСА равен 90º . Значит треугольник АВС – искомый.

4. Подведение итога (3мин)

1. В ходе урока  мы решили две задачи на  построение. Учились: 

а) строить середину отрезка;

б) строить перпендикулярные прямые.

2. В ходе решения  этих задач:

а) вспомнили  признаки равенства треугольников;

б) использовали построения окружностей, отрезков, лучей.

5.Задание  на дом (2мин). 
 
 

В теме: «Соотношения между сторонами и углами треугольника» рассматриваются построения треугольников по трем заданным элементам с помощью циркуля и линейки. 

Решаются следующие  задачи:

1.Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

2.Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3.Построение треугольника по трём сторонам.

Для успешного  решения  данных задач необходимо повторить: откладывание на прямой отрезка данной длины; построение угла, равного данному; признаки равенства треугольников; неравенство треугольника.

Повторение можно  организовать в форме практической работы и фронтального опроса. 

В результате изучения темы ученики должны научиться строить треугольники по трём данным элементам с помощью циркуля и линейки.  
 

      Урок№3 

Тема: Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Построение  треугольника по стороне  и двум прилежащим к ней углам

      Цели:

 обучающая: познакомить учащихся с алгоритмом построения треугольника по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим к ней углам; формирование умений и навыков по применению данного алгоритма к решению задач;

развивающая: развитие математического мышления, творчества, внимания;

воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности.

Ход урока:

1.Актуализация  базовых знаний  (5мин)

      Необходимо  повторить: откладывание на прямой отрезка  данной длины, построение угла, равного данному, признаки равенства треугольников.

      Организовать  повторение можно в форме практической работы, с комментариями учащихся:

1.Дан произвольный отрезок. На прямой а от заданной точки отложить отрезок, равный данному.

2.Дан произвольный угол. Построить с помощью циркуля и линейки угол, равный данному. 

2.Изучение  нового материала (15мин)

Объяснение нового материала проводит сам учитель.

Задача. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Решение. Прежде всего уточним, как можно понимать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно построить.

Даны отрезки  Р Q , Р Q и угол hk (рис.10,а).

Требуется с  помощью циркуля и линейки (без  масштабных делений) построить такой  треугольник АВС, у которого две  стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам Р Q и Р Q , а угол А между этими сторонами равен данному углу hk.

Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля  отложим отрезок АВ, равный отрезку  Р Q (рис.10,б). Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hk. На луче АМ отложим отрезок АС, равный отрезку Р Q , и проведем отрезок ВС. Треугольник АВС – искомый.

В самом деле, по построению АВ= Р Q , АС= Р Q , А= hk. описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках Р Q , Р Q и неразвернутом угле hk искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение. 

 

Рис.10. 
 

Задача. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Решение. Дан отрезок КМ и углы mp и rs (рис.11,а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить такой треугольник АВС, у которого сторона АВ, равна отрезку КМ, а углы А и В равны соответственно углам mp и rs. 

Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля  отложим отрезок АВ, равный отрезку КМ (рис.11,б). Затем построим угол ВАN, равный данному углу mp. Построим угол АВН равный углу rs. Обозначим точку пересечения АN и BH как С. Треугольник АВС – искомый. 

 

Рис.11. 

В самом деле, по построению КМ=АВ, ВАN= mp, АВН= rs.

Описанный ход  построения показывает, что при любом  данном отрезке КМ и условии  mp+ rs<180º данный треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники раны друг другу (по второму признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Учитель проводит анализ  данных задач используя решение приведенное в учебнике, а учащиеся у доски выполняют построение и доказательство.

3.Закрепление  (15 мин)

Учащиеся решают у доски.

4. Подведение итога  (3мин)

Объясните, как  построить треугольник: а) по двум сторонам и углу между ними; б) по стороне и двум прилежащим к ней углам.