Методика изучения геометрических построений в курсе планиметрии

Решение. 

 Анализ. Пусть АВС – данный треугольник, - его стороны (АВ=c, ВС=a, СА=b), а - радиусы искомых окружностей (рис.25). 

Рис.25. 

Задача будет  решена, если мы сможем построить отрезок по известным отрезкам .

Имеем: x+y=c, x+z=b, y+z=a. (*)

Отсюда получаем: . Построив отрезок по этой формуле, проводим окружность (А,x), а затем две другие окружности: (В, c-x) и

(С, b-x).

Построение и  доказательство опустим. 

Исследование. Из формул (*) находим:

. (**)

Из этих формул видно, что задача всегда разрешима, так как в треугольнике АВС  и отрезки могут быть построены по формулам (**).

Формулы (**) дают единственные значения радиусов искомых  окружностей, поэтому задача имеет единственное решение. 
 

§4.Задачи, неразрешимые циркулем и линейкой 

Материал данного  параграфа может использоваться на факультативных занятиях. Он может  быть представлен ученикам, как в  форме лекции, так и в форме  докладов учеников. 

Большое внимание привлекали к себе в течение многих столетий зада-чи, которые с давних времен известны как «знаменитые задачи древности». Под этим названием обычно фигурировали три знаменитые задачи:

1) квадратура  круга, 

2) трисекция  угла,

3) удвоение куба. 

Все эти задачи возникли в глубокой древности из практических потребностей людей. На первом этапе своего существования они выступали как вычислительные задачи: по некоторым «рецептам» вычислялись приближенные значения искомых величин (площадь круга, длина окружности и др.). На втором этапе истории этих задач происходят существенные изменения их характера: они становятся геометрическими (конструктивными) задачами. 

В Древней Греции в этот период им придали классические формулировки:

1) построить  квадрат, равновеликий данному  кругу;

2) разделить  данный угол на три равные  части; 

3) построить  ребро нового куба, объем которого  был бы в два раза больше данного куба. 

Все эти геометрические построения предлагалось выполнять с помощью циркуля и линейки.  

Простота формулировок этих задач и «непреодолимые трудности », встретившиеся на пути их решения, способствовали росту их популярности. Стремясь дать строгие решения указанных задач, древнегреческие ученые «попутно» получали многие важные результаты для математики, что способствовало превращению разрозненных математических знаний в самостоятельную дедуктивную науку (особенно заметный след в то время оставили пифагорейцы, Гиппократ Хиосский и Архимед). 
 
 
 

§5.Планы уроков и методические комментарии к изучению задач на построение 

Изучение темы «Задачи на построение» целесообразно начать с напоминания об известных учащимся способах построения геометрических фигур с помощью различных инструментов. При этом можно отметить, что при построении отрезка заданной длины использовалась линейка с миллиметровыми делениями, а при построении угла заданной градусной меры - транспортир. Но, оказывается, многие построения в геометрии могут быть выполнены с помощью только циркуля и линейки без делений. В дальнейшем, говоря о задачах на построение, мы будем иметь в виду именно такие построения. 

Задачи на построение циркулем и линейкой являются традиционным материалом, изучаемым в курсе  планиметрии. Обычно эти задачи решаются по схеме, состоящей из четырёх частей: 

1. Отыскивание  способа решения задачи путём установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Эта часть называется анализом. Анализ даёт возможность составить план решения задачи.

2. Построение  циркулем и линейкой по намеченному  плану.

3. Доказательство  того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4. Исследование, то есть выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько. 

В тех случаях, когда задача достаточно простая, отдельные части, например анализ или исследование, можно опустить. 

Учителю следует учесть, что при решении задач на построение циркулем и линейкой рекомендуется ограничиться только выполнением построения. В отдельных случаях проводятся устно анализ и доказательство, элементы исследования присутствуют лишь тогда, когда это оговорено условием задачи. Учащимся, проявляющим повышенный интерес к предмету, полезно решать задачи на построение по полной схеме.   

Набор простейших задач на построение в различных  пособиях для школы примерно одинаков, хотя порядок рассмотрения этих задач может быть различным.

К простейшим обычно относятся следующие задачи на построение:

1)Построение угла, равного данному;

2)Построение биссектрисы угла;

3)Деление отрезка пополам;

4)Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой. 

Эти задачи изучаются в  главе «Треугольники». В результате изучения темы ученики должны научиться решать задачи на построение с помощью циркуля и линейки, уметь доказывать правильность выполняемых операций. 

Первоначально учителю необходимо выявить систему условий, на которую должен опираться ученик для успешного овладения практическим действием. 

Для того чтобы  научиться производить построения с помощью циркуля и линейки, ученикам необходимо иметь знания о  следующих фактах: о данных геометрических фигурах – полупрямой, полуплоскости и угле, отрезке, биссектрисе, перпендикуляре (определения, представления об их изображении и обозначении); о цели действия; об инструментах построения; о каждой из конструктивных операций и о последовательности их выполнения. Учащиеся должны быть также подготовлены к обоснованиям возможности каждого шага построения и доказательству правильности построения (аксиомы откладывания отрезков и углов, определение равных треугольников, признаки равенства треугольников). Нельзя обойтись и без навыков в выполнении элементарных конструктивных операций: построение окружности произвольного или указанного радиуса с центром в некоторой точке, построение полупрямой, имеющей данное начало и проходящей через данную точку. 

Рассмотрим несколько уроков изучения нового материала темы «Задачи на построение». 
 

Урок№1 

Тема: Построение угла, равного данному. Построение биссектрисы угла

Цели:

  обучающая: познакомить учащихся с задачами на построение, при решении которых, используются только циркуль и линейка; научить выполнять построение угла, равного данному, строить биссектрису угла;

развивающая: развитие пространственного мышления, внимания;

воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности.

Оборудование: таблицы с порядком решения задач на построение; циркуль и линейка.

Ход урока:

1.Актуализация основных теоретических понятий (5мин).

Сначала можно  провести фронтальный опрос по следующим  вопросам:

1.Какая фигура называется треугольником?

2.Какие треугольники называются равными?

3.Сформулируйте признаки равенства треугольников.

4.Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?

5.Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности? 

Для повторения признаков равенства треугольников можно предложить задание: укажите на каком из рисунков (рис.1) есть равные треугольники. 

 

Рис.1. 

Повторение понятия  окружности и ее элементов можно  организовать, предложив классу следующее  задание, с выполнением его одним учеником на доске: дана прямая а и точка А, лежащая на прямой и точка В, не лежащая на прямой.  

Провести окружность с центром в точке А, проходящую через точку В. Отметьте точки  пересечения окружности с прямой а. Назовите радиусы окружности.

2.Изучение  нового материала (практическая работа)(20мин) 

Построение  угла, равного данному 

Задача. Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 2. 

 

Рис.2. 

 Требуется  построить угол, равный углу А,  так, чтобы одна из сторон совпала с лучом ОМ. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С (рис.3,а). Затем проведем окружность того же радиуса с центром в начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D (Рис.3,б). После этого построим окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ – искомый.

      Рассмотрим  треугольники АВС и ОDЕ. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром А, а ОD и ОЕ – радиусами окружности с центром О. Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то АВ=ОD , АС=ОЕ. Также по построению ВС= DЕ. Следовательно, DАВС=D ОDЕ по трем сторонам. Поэтому Ð DОЕ=ÐВАС, т.е. построенный угол МОЕ равен данному углу А. 

Рис.3. 

  Построение биссектрисы  данного угла 

Задача. Построить биссектрису данного угла.

      Решение. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Она пересечет стороны угла в точках В и С. Затем проведем две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рисунке 4 изображены лишь части этих окружностей). Они пересекутся в двух точках. Ту из этих точек, которая лежит внутри угла ВАС, обозначим буквой Е. Докажем, что луч АЕ является биссектрисой данного угла.

      Рассмотрим  треугольники АСЕ и АВЕ. Они равны  по трем сторонам. В самом деле, АЕ – общая сторона; АС и АВ равны, как радиусы одной и той

окружности; СЕ=ВЕ по построению. Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ следует, что ÐСАЕ=ÐВАЕ, т.е. луч АЕ – биссектриса данного угла.

                        Рис.4. 

Учитель может  предложить учащимся по данной  таблице (таблица№2 приложения 4) построить  биссектрису угла. 

Ученик у доски выполняет построение, обосновывая каждый шаг выполняемых действий.

      Доказательство  показывает учитель, необходимо подробно остановиться на доказательстве того факта, что в результате построения действительно получатся равные углы. 

3.Закрепление(10 мин)

Полезно предложить учащимся следующее задание для  закрепления пройденного материала: 

Задача. Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.

Задача. Построить с помощью циркуля и линейки углы в 30º и 60º .