Методика изучения геометрических построений в курсе планиметрии

§2.Классификация методов решения задач на построение. 

Как известно, в  школьных программах рассматриваются метод геометрических мест, метод преобразования фигур (метод подобия, параллельный перенос, поворот, симметрия). Но нигде не упоминается метод спрямления , который применяется при решении задач, связанных со спрямлением ломанных линий, в частности задач, содержащих в качестве данных сумму или разность звеньев ломанной.  

Правильное осмысление решение задач на построение состоит из четырех частей:

1.Анализ.

2.Построение.

3.Доказательство (синтез).

4.Исследование. 

1. Анализ. Составляется план решения. Для этого поступают так: предполагают задачу решенной и делают от руки примерный чертеж искомой фигуры (не обязательно соответствующий построению размерам). Нужно найти такую зависимость между данным и искомыми величинами, которая позволила бы определить положение искомой точки, или отрезка, или угла, на нахождение которых нацелено решение задачи.  

При этом приходится проводить различные вспомогательные  прямые, окружности, нередко даже наудачу, не зная заранее, принесет ли проведенная  линия пользу или нет. Когда при  помощи различных рассуждений и  догадок зависимость между данными  и искомыми величинами определена, переходят ко второй части решения – построению. 

2. Построение – механическое выполнение тех приемов, которые были выведены из плана решения задачи, т.е. анализа. 

3. Доказательство. Когда искомая фигура построена, необходимо доказать, что она удовлетворяет всем требованиям задачи. При этом ход рассуждений будет обратный тому, который применялся при анализе. Поэтому иногда доказательство называют синтезом. 

4. Исследование имеет целью выяснить, всегда ли задача разрешима, сколько решений допускается (одно или несколько). Необходимо рассмотреть всевозможные частные случаи, причем нужно выяснить, меняется ли ход решения в этих случаях и как именно. 
 
 
 
 
 

§3.Использование различных методов при решении задач на построение циркулем и линейкой 

3.1.Метод спрямления при решении задач на построение 

Рассмотрим несколько  задач, решаемых методом спрямления. 

Задача 1. Построить треугольник по данной стороне, углу, к ней прилежащему, и сумме двух других сторон. 

     Решение.

         
 

Рис.1.

1. Анализ. Пусть DАВС – искомый (рис.1).  Продолжим сторону ВА и на ее продолжении отложим АD=СА. Соединим точки C и D.

В DСВD имеем: BD=b+c, BC =a, ÐСВD=ÐB.

Треугольник ВСD можно построить по двум сторонам и углу между ними.

Треугольник САD – равнобедренный, в котором АН – высота и медиана. Проведя серединный перпендикуляр (АН ^СD), определим вершину А. 

2. Построение.

1) DСВD, где ВС=а; ÐВ и ВD=b+c;

2) НА^СD и СН=НD.

3. Доказательство. DАВС – искомый, так как он удовлетворяет всем требованиям задачи: ВС=а; ВС+АС=b+c; ÐВ равен данному. 

4. Исследование. Условие, необходимое для решения задачи, b+c>а. Докажем, что это условие и достаточно, т.е. если оно выполнено, то задача разрешима. 

Если b+c>a, то в DВСD ÐС<ÐD, а поэтому возможно провести прямую линию АС по ÐАСD к стороне СD, чтобы ÐАСD=ÐАDC, что позволяет восстановить серединный перпендикуляр к СD.

Задача разрешима  при b+с>a и имеет одно решение. 
 

Задача 2. Построить треугольник по разности сторон а и b, стороне с и ÐВ. 

Рис.2. 

 Анализ. Пусть DАВС построен (рис.2). Отложим на стороне ВС отрезок СВ =АС, тогда В В=а-b. 

DАВ В возможно построить по двум сторонам и углу между ними: АВ=с, В В=а-b и ÐВ. 

Для определения  вершины С необходимо восстановить серединный перпендикуляр к стороне АВ (DАСВ - равнобедренный) до пересечения с продолжением стороны ВВ (луч ВВ ). 

Задача 3. Построить треугольник по двум углам и периметру. 

Рис.3. 

 Анализ. Пусть DАВС – искомый (рис.3). На продолжении стороны АВ в обоих направлениях отложим отрезки DA=AC и ВЕ=СВ и соединим D с С и Е с С, получим DDСЕ, в котором DЕ=Р. 

Треугольники  DАС и ВЕС – равнобедренные, и АК^DС, где DK=KC и ВF ^ СЕ, и СF=FЕ, что позволит определить вершины А и В. ÐD= ÐА, ÐЕ= ÐВ (свойство внешнего угли треугольника). Значит задача сводится к построению DDCE по стороне Р и двум углам: ÐD и ÐЕ. Здесь произведено спрямление сторон АС и СВ со стороной АВ. 

Задача 4. Построить треугольник по данной стороне, углу, ей противолежащему, и разности двух других сторон. 

Рис.4. 

Анализ. Пусть DАВС построен (рис.4). На АС отложим АВ и получим точку D. DВАD – равнобедренный. 

В DВDС известны две стороны: ВС=а и DC=b-c. Определим ÐВDС. Он внешний по отношению к DВАD и равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных, т.е. ÐВDС=ÐА+ÐDВА.

Но ÐDВА=ÐАDВ=(180° - ÐА):2.

Таким образом, ÐВDC=ÐА+ÐАВD=ÐА+ .

Итак, задача свелась  к построению DВDC по двум сторонам а и b-с и ÐВDС. Построение ЕА ^ ВD, причем ВЕ=ЕD, до пересечения луча СD с ЕА дает положение вершины А. 

3.2.Решение задач на построение с использованием свойств движения

Тема «Движение», представленная в учебниках по геометрии для основной школы, содержит немного задач на применение преобразований фигур. Однако по данной теме можно найти интересные геометрические задачи. Они могут быть разнообразны и по уровню сложности, и по учебному материалу, необходимому для решения. Это разнообразие можно с успехом использовать в ходе повторения темы «Движение». Опишем один урок повторения. Он начинается с того, что учащиеся повторяют определения и построения, относящиеся к центральной симметрии, осевой симметрии, повороту, параллельному переносу. Для этого предлагаются следующие задания; которые выполняются у доски:

1)Построить отрезок, симметричный относительно прямой; точки.

2)Выполнить параллельный перенос треугольника на заданный вектор.

3)Построить прямую, которая получается из заданной прямой поворотом вокруг точки О на угол 80º по часовой стрелке. 

Задача. Построить параллелограмм по двум противоположным вершинам, лежащим на сторонах данного четырехугольника, причем остальные вершины параллелограмма также должны принадлежать сторонам данного четырехугольника. 

Решение. 

1.Анализ.

Пусть искомый  параллелограмм построен. На рис.5,а - это параллелограмм АВСD, который вписан в данный четырехугольник LMNK, точки В и D – данные. 

Рис.5. 

Проанализируем, что можно предпринять, чтобы  стала видна возможность построения. Пока видно только одно: можно провести диагонали. Проводим диагонали BD и СА ( рис.5,б) и тут же замечаем, что точка О их пересечения является центром симметрии параллелограмма. А это значит, что она лежит на пересечении отрезка ML с образом отрезка KN при симметрии относительно точки О. Таким образом, мы нашли способ построения третьей вершины искомого параллелограмма. А четвертую его вершину можно найти, исходя из свойств этой фигуры. 

2. Построение. Проведем отрезок BD и разделим его пополам точкой О.

Строим точки  K и N , симметричные относительно О точкам K и N соответственно.  

Обозначим через  А точку пересечения отрезков ML и K N . Строим точку С, симметричную относительно О точке А. Искомая фигура – АВСD (рис.6). 

3. Доказательство. Точки А и С, В и D – симметричны относительно точки О по построению. А это значит, что диагонали BD и АС четырехугольника АВСD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует (по определению), что построенный четырехугольник - параллелограмм.  

4. Исследование. Успех построения зависит от возможности найти точку А. 

Рис.6 

Если прямые KN и LM пересекаются, то пересекаются и прямые K N , LM. Тогда задача имеет единственное решение. Это значит, что данный четырехугольник не должен быть ни параллелограммом, ни трапецией с основаниями KN и ML. 

Есть и еще  одно ограничение. Стороны KN и ML должны быть такими, чтобы пересекались отрезки K N и ML. Иначе пересечение прямых ML и K N вне отрезка ML привело бы к видоизменению задачи. 

Если KN÷ïLM, то задача имеет либо множество решений (когда прямые MN и K N оказываются параллельными). 

Задача. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой d. Постройте на ней такую точку Х, чтобы биссектриса угла АХВ лежала на прямой d. 

Решение. 

1. Анализ. Предположим, что точка Х найдена (рис.7). Тогда ÐАХЕ=ÐЕХВ. А это значит, что лучи АХ и ВХ симметричны относительно луча ХЕ. Проведем перпендикуляры к прямой d из точек А и В. они пересекут лучи угла АХВ в точках А и В соответственно. Причем точки А и А , В и В симметричны друг другу относительно прямой d. 

2. Построение. Строим точку А , симметричную точке А относительно прямой d. Строим точку В , симметричную точке В относительно прямой d.

Точки А и В (А , В) оказались в одной полуплоскости, а прямые В А и ВА пересекаются в искомой точке Х.

Рис.7.