Методика изучения геометрических построений в курсе планиметрии

3. Доказательство. Углы АХЕ и ВХЕ равны по построению, следовательно, ХЕ – биссектриса, но луч ХЕ принадлежит прямой d. Значит, точка Х искомая. 

4. Исследование. Если точка А не совпадает с точкой В, то возможно только одно решение.  

Если точка  А совпадает с точкой В, то задача имеет бесконечно много решений, так как любая точка прямой d удовлетворяет условию. 

Если отрезок  А В оказывается параллельным прямой d, то решений нет.

Задача. Постройте такой равносторонний треугольник, чтобы одна его вершина совпадала с данной точкой О, а две другие принадлежали двум данным окружностям. 

Рис.8.

Решение.

1. Анализ. Предположим, что требуемый треугольник построен. Угол при данной вершине О равен 60°, причем ОА=ОВ. Это значит, что при повороте на 60° вокруг точки О против часовой стрелки вершина А перейдет в вершину В. значит, вторая искомая вершина треугольника является точкой пересечения образа окружности с центром О (при повороте на 60° вокруг точки О) с данной окружностью, имеющей центр О (рис.8). 

2. Построение. Построим образ одной из окружностей при повороте на угол 60° с центром в данной точке О. Точка пересечения полученной окружности и второй из данных окружностей является второй вершиной треугольника. На рис.8 это точка В.  

3.3.Решение задач на построение методом подобия 

      При решении многих задач на построение применяется метод подобия, суть которого заключается в следующем: сначала строится фигура подобная данной, затем эта фигура увеличивается (уменьшается) в нужном отношении (т.е. строится подобная фигура), удовлетворяющая условию задачи.

Процесс обучения применению подобия к решению  задач на построение целесообразно разбить на четыре этапа: подготовительный, ознакомительный, формирующий умение, совершенствующий умение. Каждый этап имеет свою дидактическую цель, которая достигается, когда учащиеся выполняют специально составленные задания.

      Дидактическая цель подготовительного этапа –  сформировать у учащихся умения: выделять данные, определяющие форму фигуры, множество пар подобных между собой фигур; строить фигуру по данным, определяющим форму; переходить от построенной фигуры к искомой. 

Рис.9. 

После изучения первого признака подобия треугольников можно предложить следующий набор заданий: 

      Постройте треугольник по двум углам. Сколько  решений имеет задача? Какие элементы определяют форму построенных треугольников?

      Назовите подобные треугольники на рис 9.  

Известны следующие  элементы треугольника: а) углы в 75°и 25°;  б) высота 1,5 см; в) углы в 75° и 25°, высота 1,5 см. какие из этих данных определяют единственную фигуру на рис.9?

Какие углы определяют форму треугольников на рис.9?

Можно ли будет  определить размеры одного из треугольников на рис.9, если станут известны следующие данные: а) углы при основании треугольника; б) высоты треугольника; в) сторона и углы при основании? 

Подобны ли треугольники АВС и А ВС на рис.10, если АС÷ïА С ? если они подобны, то каков их коэффициент подобия?

Рис.10. 

Набор заданий, предъявляемых учащимся после изучения 2 и 3 признаков подобия треугольников, составляются аналогично. Однако при переходе от данного признака к следующему вопросы несколько усложняются, а именно: расположение треугольников на рисунках меняется, удаляясь от стандартного, варьируется набор элемента, определяющего единственную фигуру. Задания, например, могут быть такими:

1.Подобны ли треугольники АВС и А В С , если:

а) АВ=5см, ВС=7см, В=30º, А В =10см, В С =14см, В =60º;

б) АВ=5см, ВС=7см, В=30º, А В =10см, В С =14см, В =30º;

в) АВ=3см, ВС=5см, СА=7см, А В =4,5см, В С =7,5см, С А =10,5см;

г) АВ=1,7см, ВС=3см, СА=4,2см, А В =34дм, В С =60дм, С А =84дм. 

2.В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и ВD (рис.11). Докажите, что АВС подобен ЕDC. 

Рис.11. 

3.Докажите, что  у подобных треугольников периметры  относятся как соответствующие  стороны. 

Дидактическая цель ознакомительного этапа в том, чтобы разъяснить учащимся структуру  процесса построения методом подобия.

Объяснение начинается с задачи. 

Задача. Построить треугольник по двум данным углам и и биссектрисе длины d, проведенной из вершины третьего угла. 

Анализируя задачу с учащимися, учитель предлагает задания – вопросы, ответы на которые кратко фиксируются на доске. Вопросы могут быть такими:

1.Какие данные определяют форму искомого треугольника?

2.Какие данные определяют размеры искомого треугольника?

3.Сколько треугольников можно построить по двум углам? Какими будут по форме все построенные треугольники?

4.Какой отрезок нужно провести в треугольнике, подобном искомому?

5.Как построить искомый треугольник? 

Ответы на вопросы  сопровождаются выполнением на доске  чертежа от руки (рис.12).

Рис.12. 

Далее составляется план построения и выполняется само построение. Запись построения у учащихся в тетрадях может быть такой:

а) D А В С : ÐА = , ÐВ = ;

б) построить  биссектрису угла С в треугольнике А В С ,

в) построить  С N=d, N C D ;   

г) через точку  N провести прямую , ÷ï А В ;   

д) А C =А, В С =В;

е) DАВС – искомый: ÐА= , ÐВ= (так как DАВС¥D А В С по 1 признаку) и С N=d по построению.         Дидактическая цель этапа, формирующего умение решать задачи рассматриваемого вида, ясна уже из его названия. Основная форма деятельности на этом  этапе – индивидуально-поисковая. Она завершается обобщающей беседой.

Приведем несколько  примеров задач, которые можно предложить на данном этапе. 

Задача. Внутри угла АОВ задана точка F. Построить на стороне ОА точку М, одинаково удаленную от F и от стороны ОВ 

Решение. 

1. Анализ. Обратимся к рисунку 13. Пусть точка М построена, тогда MF=MP. Это означает, что искомая точка М – есть центр окружности g радиуса МF с центром М, касающуюся стороны ОВ в точке Р.

Рис.13. 

Если мы возьмем  на ОА произвольную точку М и опустим ^М Р на СВ и найдем F пересечения окружности g с центром М радиуса М Р с прямой ОF, то DМ F P будет подобен DМFР. Отсюда вытекает требуемое построение. 

2. Построение. Проводим ОF, берем на СА произвольную точку М и опускаем ^М Р на СВ. Проводим окружность g радиуса М Р с центром в точке М . Пусть F - точка пересечения этой окружности с ОF. Проводим F M и затем проводим прямую через точку F÷ïF M . Точка М пересечения этой прямой с ОА – искомая.

3. Доказательство. Очевидно из проведенного анализа. 

4. Исследование. Задача имеет 2 решения. Это следует из того, что окружность пересекается с ОF в 2-х точках.  

Задача. Построить треугольник по 2 углам и периметру. 

Решение. 

1. Анализ. Пусть и y - данные углы и Р – периметр искомого треугольника (рис.14). Допустим, что искомый треугольник построен, тогда, если мы рассмотрим какой-либо DАВ С , подобный искомому, отношение периметра Р DАВС к периметру Р DАВ С равно отношению сторон АС и АС .  

Рис.14. 

2. Построение. Построим DАВС подобный искомому. На луче АВ, отложим отрезки АD=Р и АD =Р , затем соединим точку D и С , и через точку D проведем прямую ÷ï D C . Пусть С – точка пересечения прямой с лучом АС . Через точку С проведем прямую ÷ï С В и обозначим В точку пересечения этой прямой с AD, тогда DАВС – искомый.

3. Доказательство. Очевидно, что DAС D подобен DАСD, поэтому . По соотношению сторон равно отношению периметров подобных DАВС и DАВ С , поэтому периметр DАВС=Р, следовательно, DАВС – искомый. 

4. Исследование. Так как сумма любых двух углов треугольника <180°, то условие +y<180° является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый DАВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны. 

Задача. Дан ÐАОВ и точка М, расположенная во внутренней области этого угла. Построить окружность g, проходящую через точку А касающуюся сторон угла АОВ. 

Решение.

1. Анализ. Пусть ÐАОВ – данный и точка М, расположена во внутренней области угла (рис.15). 

Рис.15. 

Проведем еще  одну окружность g, касающуюся сторон ÐАОВ. Обозначим, М - точку пересечения окружности g с прямой ОМ и рассмотрим DОМN и ОМ N (N и N центры окружности g и g ).