Задача транспорта

 

Обозначим через х_ij количество тонн груза, предназначенного к отправке из пункта А_i в пункт В_j. Тогда количество груза, планируемое к доставке в пункт В_j из всех пунктов отправления, составит

х_1j + х_2j +…+ x_mj = Х_ij .                                                       (1)

Так как  потребность пункта назначения В_j составляет b_j, то при планировании перевозок должно соблюдаться равенство

X_ij = b_j .

Сказанное справедливо для любого пункта В_j. Поэтому получаем n уравнений

                                                 (2)

С другой стороны, общее количество груза, отправляемого  из пункта А_i во все пункты назначения В_j составит

 х_i1+х_i2+...+x_in= Х _ij.  (3)

По условиям задачи эта сумма должна быть равна  количеству груза в пункте равно А_i, т.е.

Х _ij=a_i .

Так как  приведённое рассуждение относится  к любому пункту отправления, имеем m уравнений

(4)

 

Более компактно уравнения (1) - (4) можно записать следующим образом:

Х _ij= b_j, j = 1, 2, …, n;                                                        (5)

Х _ij= a_i, i = 1, 2, …, m;                                                       (6)

P = 1₁₁x₁₁ +1₁₂ x₁₂+…+1_ij x_ij +…+1_mn x_mn = l_ij X _ij.                        (7)

Очевидно, что объем каждой поставки не может быть отрицательным числом, т.е.

                                               x_ij >0, i=1,2, ..., m; j=1,2,..., n.                                      (8)

Таким образом, в математической форме транспортная задача формулируется следующим  образом: определить значения переменных x_ij минимизирующих линейную форму

 l_ij X _ij, j = 1, 2, …, n, i = 1, 2, …, m  (9)

при условиях

X _ij= b_j, j = 1, 2, …, n;                                      (10)

X_ij= a_i, i = 1, 2, …, m;                                       (11)

                                                  x_ij>0, i =1, 2, ..., m; j=1, 2,..., n.                            (12)

Соблюдение  равенства (10) обеспечивает полное удовлетворение запросов всех потребителей. Уравнения (11) гарантируют полный вывоз из пунктов отправления, а уравнения (9) - неотрицательность переменных. Для совместности системы уравнений (9 - 12) необходимо, чтобы

                                                   a_i = b_j .                                                        (13)

Равенство (13) является не только необходимым, но и достаточным условием для совместности системы уравнений (9 – 12).

Поскольку уравнения (10 - 12) содержат неизвестные только в первой степени, а показатель L_ij в формуле (9) не зависит от x_ij, сформулированная задача является задачей линейного программирования. Формулировка задачи, в которой спрос и предложение равны, получила название закрытой модели.

Модель  транспортной задачи имеет следующие  особенности:

1. Модель выражается неопределённой системой линейных уравнений и, следовательно, имеет бесчисленное множество возможных решений.

2. Модель  совместна, т.е. имеет решение.

3. Элементами  матрицы системы являются единицы  и нули.

4. Система  является линейно-зависимой, так  как любое её уравнение можно  представить в виде линейной  комбинации остальных уравнений.

5. Число  линейно независимых уравнений  всегда на одно меньше общего  количества уравнений в системе,  так как без любого одного  уравнения каждое оставшееся  уравнение нельзя представить  как линейную комбинацию из  других уравнений. Следовательно,  базис системы равен количеству  уравнений минус единица.

6. Целевая  функция выражается линейной  формой. Матрица целевой функции  — это матрица-строка, элементами  которой могут быть расстояния, время или стоимость перевозки.

Для решения  транспортной задачи разработаны специальные  методы, позволяющие из бесчисленного  множества решений найти оптимальное. Одним из таких методов является распределительный, имеющий несколько  разновидностей, которые отличаются в основном способом выявления оптимального решения.

Общая схема метода следующая. Вначале  составляют допустимый исходный план задачи, который затем исследуется  на оптимальность. Если при проверке окажется, что составленный план оптимален, то решение закончено. В противном  случае при помощи специального приёма осуществляется переход к новому, лучшему плану. Этот план снова исследуется на оптимальность и в случае неоптимальности опять улучшается. Указанный процесс вычислений повторяется до получения оптимального решения.

Разновидности распределительного метода отличаются в основном способом выявления оптимального решения.

 

8. Способы составления первого допустимого плана перевозок

В основе математических методов, применяемых  при решении транспортных задач, лежит принцип последовательного  улучшения плана, когда на первом этапе определяется первоначальное допустимое решение, т.е. план, удовлетворяющий  условиям задачи, а затем этот план проверяется на оптимальность, если необходимо, улучшается; полученный новый  план сначала проверяется на оптимальность  и т.д. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение. От того, насколько  эффективно составлено распределение  перевозок в начальном плане, насколько близко начальное решение  к оптимальному, зависит количество промежуточных итераций, необходимых  для достижения оптимального решения.

Таблица 2

Первоначальное распределение  перевозок может быть получено несколькими  способами. Рассмотрим на конкретном примере  сущность и эффективность некоторых  из них. От четырех кирпичных заводов  кирпич автомобильным транспортом  доставляется на пять строительных площадок. Необходимо определить план перевозок  кирпича, при котором объем транспортной работы будет минимальной. Исходные данные задачи приведены в табл. 2.

 

9. Способ северо-западного угла

Построение допустимого плана  этим способом начинается с верхней  левой клетки и заканчивается  в нижней правой клетке матрицы. В  клетки заносят максимально возможную  поставку, учитывая соотношение ресурсов поставщика и спрос потребителя. Груз первого поставщика распределяется так, что вначале удовлетворяются потребности первого потребителя, затем второго и так до полного распределения всего объема грузов данного поставщика. Затем переходят к распределению грузов второго поставщика и так до полного распределения объема грузов всех поставщиков. Если спрос какого-либо потребителя превышает количество груза у поставщика, то недостающий спрос удовлетворяется за счет следующего поставщика, т.е. расчет в этом случае ведется по столбцу. Допустимый план перевозки кирпича на строительные площадки, составленный способом северо-западного угла, приведен в табл. 3. В плане полностью соблюдается условие по ввозу и вывозу кирпича, количество заполненных клеток соответствует m + n - 1. Суммарная транспортная работа по плану распределения, составленному способом северо-западного угла, будет

L( x ) = 15 • 25 +12 • 75 +22 • 75 +22 • 100+14 • 125+ 6 • 50 + 10 • 25+ 18• 125 = 9675т• км.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3