Шпаргалка по "Математическое моделирование"

 Тогда уравнение (1) перепишется в виде: (3)

 интегрируем:

 интегрируем ещё раз:

  , т.к. r-r₀=0 (3')

 Таким образом  в этом случае в окрестности точки r = 0, шарик движется с постоянным ускорением, вызванным силой сопротивления среды, сила упругости пружины в этом случае равна нулю, при этом изменение координаты шарика описывается уравнением (3').

 При r≠0 и v≠0 ускорение движения шарика будет обусловлено взаимодействием двух сил: силы упругости пружины и силы сопротивления среды. За исключением особого положения, когда в некоторых момент времени t₀ правая часть уравнения (1) обратится в нуль, т.е., когда при выполнении равенства: , ускорение шарика

 Изменение координаты шарика в этом случае можно найти путём разложения функции r(t) в ряд Тейлора в окрестности точки t=t₀. Получится:

  , где  , учтём это и окончательно получим:

   таким соотношением описывается  изменение координаты.

 Существует другой тип нелинейных колебаний, который обуславливается механическими свойствами пружины.

 При больших  деформациях закон упругости  пружины может зависеть от r, т.е. k=k(r). Тогда уравнение движения системы шарик-пружина имеет вид:    (4)

 Уравнение (4) также как и уравнение (1) является нелинейным, однако оно имеет два существенных отличия от уравнения (1):

1. Решение уравнения (1) может быть получено в аналитическом виде с двукратным использованием квадратуры (решение 2/3 интеграл)
2. Уравнение (4) имеет 1-ый интеграл, найдём его, для этого левую и правую части умножим на . Получим:

  , т.к.  - это скорость, то =>

  , где  - кинетическая энергия, а - потенциальная => (5) полная энергия  = E = Т + П =

 В данном случае система пружина-шарик является консервативной, её полная энергия постоянна.

 Движение  данной системы является колебательным, покажем это:

 действительно, из равенства (5) следует, что функции r(t) и v(t) являются ограниченными для любого t, а решение не имеет предела, покажем это:

 Если  при , то из этого не следует ограниченность r(t)

 Если  при , то из (5) следует при    из уравнения (4) то при из этого не следует ограниченность v(t)

 Если же одновременно не следует (5), причём решение системы неограниченное количество раз проходит 2/3 точку r = 0, действительно если бы это было не так, то правая часть уравнения  (4) была бы знакоопределена, тогда бы имела и определённый знак вторая производная , но тогда из этого не следовала бы ограниченность функции v(t).

 Заключение: приведённые построения демонстрируют цепочку моделей системы шарик-пружина, получающихся одна из другой при последовательном отказе от предположений идеализирующих данных объект, в одних усложнение не вносит ничего нового в поведение системы (постоянная внешняя сила, шарик с двумя пружинами), в других случаях её свойства меняются существенным образом.

 Таким образом, путь от простого к сложному даёт возможность изучать всё более реалистичные модели и сравнивать их свойства. Существует и другой путь изучения моделей – от сложного к простому, например, достаточно общее уравнение движения системы пружина-шарик может быть записано в следующем виде:

 

 Опираясь  на эту общую модель можно проводя  соответствующие конкретизации изучить и более простые модели, данный подход широко применяется ещё и потому, что позволяет сразу установить некоторые общие свойства объекта, конкретизируя и уточняя их для частных случаев. 

 26.

 Универсальность математических моделей.

 1. Электрический колебательный контур.

 Это устройство представляет собой конденсатор, соединённый проводами с индуктивной катушкой.

 В момент времени  t = 0 цепь замыкается и заряд с обкладок конденсатора начинает распространяться по цепи.

 

 Сопротивление будем считать равным нулю, индуктивность катушки равной L, а ёмкость конденсатора равной C. Для изменяющейся со временем величины q(t), где q(t) – заряд на обкладках конденсатора, необходимо получить соответствующее уравнение. Очевидно, что ток i(t) и напряжение v(t) будут так же являться функциями, зависящими от времени. По физическому смыслу величины C в каждый момент времени имеем равенство:

 v(t) = q(t)·C

 (ёмкость  = величина заряда, который необходимо поместить на обкладки конденсатора для увеличения разность потенциалов между  ними на единицу)

 Т.к. сопротивление  в цепи отсутствует, то падения напряжения на проводах нет и разность потенциалов v(t), существующая на конденсаторе тотчас же подаётся на катушку; при переменном токе на катушке возникает электро-движущая сила самоиндукции, равная:

 Закон Ома  для цепи в отсутствии сопротивления имеет вид:

 v(t) = -ε(t) или q(t)·C = -ε(t) =

 т.к. по определению , то (1)

 Уравнение (1) описывает процесс колебаний заряда q(t) в цепи, а следовательно в данном электрическом контуре.

 Можно получить законы, описывающие колебания функции тока i(t) и напряжения v(t).

 Отметим, что  уравнение (1) полностью идентично уравнению системы прожина – шарик и точно так же как и для той системы здесь может быть построена иерархическая цепочка, усложняющая данную модель.

 2. Малые колебания  при взаимодействии двух биологических популяций.

 Пусть на одной  и той же территории проживает 2 биологические популяции с численностями N(t) и M(t), причём первая популяция является растительноядной, а вторая популяция употребляет в пищу представителей первой популяции.

 В том и  другом случае изменения численности этих популяций подчиняется ранее полученному закону .

 α(t) - коэффициент рождаемости

 β(t) - коэффициент смертности

 Конкретизируем  этот закон для каждой из популяций:

 Первая популяция:

    (1),где α₁>0 и β₁>0

 Скорость  прироста численности популяции  увеличивается с рождаемостью и уменьшается благодаря соседству со второй популяцией (коэффициент насыщения не учитывается)

 Вторая популяция: , (2)где α₁>0 и β₁>0

 Прирост численности  второй популяции увеличивается благодаря соседству с первой популяцией и уменьшается при отсутствии представителей первой популяции со скоростью пропорциональной M(t). Данная система имеет положение равновесия, определяемое равенствами: (3) (4)

 Рассмотрим  изменение численности популяций при малом отклонении от равновесного положения, то есть представим решение в виде:

 N = N₀ + n, где n << N₀  (5)

 M = M₀ + m, где m << M₀   (6)

 подставим уравнение (5) в уравнение (1):

 

 в данном уравнении отброшен член второго порядка малости. Воспользуемся соотношением (3): =>    (7)

 Аналогично  подставим (6) в уравнение (2) и воспользуемся равенством (4). Тогда, отбрасывая слагаемое второго порядка малости, получим:

  , где 

 Получаем:    (8)

 Продифференцируем уравнение (7) и подставим в него уравнение (8):

  => подставим (3) и (4): =>

     (9),

 то есть получили, что изменение численности первой популяции происходит по закону аналогичному в системе пружина-шарик, то есть в системе происходят малые колебания с частотой , уравнение для изменения численности второй популяции получается из (9) при замене , т.е. имеет тот же самый вид.

 Если отклонение m(t) = 0 в некоторый момент времени t, то n(t) в этот момент времени имеет максимальную амплитуду и наоборот (смотри уравнение (7), (8)). Эта ситуация, когда численности n(t) и m(t) находятся в противофазе воспроизводится для всех моментов времени , где T – период колебаний, и отражает запаздывание реакций численности одной популяции на изменение численности другой популяции.

 3. Простейшая модель изменения заработной платы и занятости.

 Рынок труда, на котором взаимодействуют работодатели, наёмные рабочие, характеризуется заработной платой P(t) и числом занятых N(t). Пусть на нём существует равновесие, то есть ситуация когда за зарплату P₀ > 0 согласны работать N₀ > 0 человек.

 Если по каким-то причинам это равновесие нарушается. Например, по возрасту часть работников уходит на пенсию или у предпринимателей возникают финансовые трудности, то функции P(t) и N(t) отклоняются от своих равновесных положений P₀ и N₀. Будем считать, что предприниматели изменяют зарплату пропорционально отклонению численности занятых от равновесного значения , где α₁ > 0   (1)

 Аналогично  предположим, что число работников увеличивается или уменьшается так же пропорционально росту или уменьшению зарплаты относительно равновесного положения P₀. , где α₂ > 0   (2).

 Дифференцируя уравнения (1) и подставляя в него (2) получим:

  =>

     (3)

 То есть уравнение (3) – это стандартная запись модели колебаний, в данном случае она отражает колебания заработной платы около равновесного положения.

 Уравнения (1) и (2) запишем в виде:

 

 разделим  одно уравнение на другое и в результате получим:

 

  =>

     (4)

 то есть система  уравнений (1) и (2) имеет первый интеграл вида (4)

 при P = P₀ (зарплата равновесна) => при N = N₀ =>

 Вывод: в эти  моменты времени ход зарплаты равной PN превышает равновесное положение P₀N₀ или меньше его, если при подходе к моменту времени t_i  P > P₀ или N > N₀ (и наоборот), но в среднем за период колебаний величина PN = P₀N₀.

 Заключение: Построенные модели в одних случаях  основаны на точно известных законах (пример 1), в других - на наблюдаемых фактах и либо на аналогиях (пример 2), либо на правдоподобных представлениях о характере объекта (пример 3). Хотя и сущность рассматриваемых явлений и подходы к получению соответствующих им моделей совершенно различны, построенные модели оказались совершенно идентичны друг другу – это свидетельствует о важнейшем свойстве математических моделей – их универсальности, которая используется достаточно широко при изучении объектов различной природы.