Шпаргалка по "Математическое моделирование"

 R!-м преломление лучей на границе 2-х сред.

 

  в 1-й  среде со скоростью  во 2-й среде со скоростью

   

 Как и в  предыдущей задаче расстояние м/у проекциями точек на ось С постоянно, то справедлива формула (2). Подставим (2) в (4):

 

    получили закон преломления  света.

 Вариационные  принципы позволяют единообразно строить  соответствующие мат. модели. Их универсальность заключается в том, что используя их, можно отвлекаться от конкретной природы процесса. 

  Так водитель, следуя принципу мин-го времени,  желающий попасть из точки  А на песчаной почве в точку  В на травянистом лугу, обязан ехать не по прямой линии, а по ломаной , сделав соответствующее преломление по (5). 

 20.

 2. Модель системы  шарик-пружина.

 Выведем ур-е  движ-я этой системы используя  вар. принцип Гамильтона. введем понятие  действие по Гамильтону.

    - обобщенные координата и скорость, функция Лагранжа. вар. принцип действия по Гамильтону для мех-й системы в потенциальном поле сил гласит: действит-е движение выполняемое из заданного положения отличается от других кинемат. возможных движений тем, что действие по Г. принимает стационарное значение, т.е. первая вариация

    - пробная ( произвольная) ф-я, удовлетворяющая условию

 Иногда этот принцип называют пр-ом наименьшего  действия, т.к. при опред-х усл-х ф-л принимает наименьшее значение. Применим принцип. Найдем кин. и потенц. энергии с-мы ш.-п.

      

 Найдем действие по Г. S в качестве обобщенной координаты q примем r :

   

 

 

 Учтем , r не зависят от

   найдем первую вариацию:

 Отдельно  найдем т.к. по опр-ю введения пр-па Г. гладкая, но .

 

 В силу произв-и  ф-и       т.е. получили точно такое же Ур-е движ-я с-мы ш.-п., кот-е было получено ранее с помощью з-на сохр-я энергии(I-й способ) и 2-го з-на Ньютона (II-й способ). 

 21.

 Применение  аналогии при построении мат моделей

 В огромном большинстве случаев при попытке построить модель какого-либо объекта либо невозможно прямо указать фундам-е законы и вар.принципы, которым он подчиняется, либо с точки зрения сегодняшних знаний нет уверенности,что такие законы сущ-ют. Одним из плодотворных подходов к изучению таких объектов явл исп-ние аналогий с уже изуч-м.

 Установим м\у  радиоактивным распадом и модели популяции,которая описывает, в частности, изменение народонаселение Земли. Простейшая из этих моделей наз моделью Мальтуса. В основу модели Мальтуса положено простое утв: ск-ть изменения числ-ти населения Земли со временем t пропорциональна его текущей численности N(t), умноженной на сумму k-ов рождаемости и смертности . (1).

 При a и b–const и a<b данная модель, описываемая урав-ем (1) совпадает с уравнением распада радиоактивного в-ва.

 Проинтегрируем  ур-е(1) с учетом нач условий: (2)

 Где N(0)-численность населения в нач момент времени.

 Графики изменения чимлен-ти популяции со временем

  -разл нач изменения отчета времени. При :N(t)=N(0); : при ; : при .

 Состояние равновесия неустойчиво в том смысле,что  даже небольшое изменение N(t) ведет к существ-му изменению числ-ти населения,в частн-ти при происходит неограниченный рост населения. Отсюда Мальтус сделал вывод о грядущем перенаселении Земли. Основное преимущество метода аналогии заключается в его универсальности,т.е. приложимости к объектам принципиально разной природы. Так изм-ние скорости величины пропорц-на знач самой величины. Широко исп-ся в далеких друг от друга областях знаний. 
 

 22.

 1. иерархическая модель  многоступенчатой ракеты

  Как было  установлено ранее одноступ модель ракеты не способна развить 1-ю космическую скорость. Причина этого затраты горючего на разгон не нужной  отработавшей струкрурн массы ракеты. Следовательно, при движении необходимо период-ки избавляться от балласта. В практич конструкции это означает, что ракета должна состоять из нескольких ступеней,которые отбрасываются по мере их использования.Пусть –масса i-ой ступени, -ее структурная масса, -масса топлива, -полезная масса.Предполагается,что величины (ск-ть истечения газа) одни и те же для всех ступеней. Возьмем для определенности число ступеней n=3. Нач масса ракеты .После того,как выгорело все топливо 1-ой ступени эта масса стала равна .По формуле (1) получим, что ск-ть ракеты будет равна: .После того,как будет отброшена 1-ая ступень,масса ракеты будет равной ;а после того,как выгорит все топливо,масса ракеты станет .Для вычисления ск-ти можно восп-ся формулой(1),но нач ск-ть будет равняться не 0,а .

 Аналогично:

 Введем обозначение: ; ; .

 Тогда:

 Исследуем эту  ф-цию на max, при этом учтем

 Составим  ф-ю Лагранжа: , , , .+усл связи

 а) «Нерон»б) .В силу ассиметр получ-ой системы имеем .Т.к =>abs max и он достигается при . =>

 Обозначим ч\з  величину => .Тогда . (2)=> => (4).Совершенно аналогично, если ракета имеет n-ступеней,показывается: ,где . Р! 2-х,3-х,4-х,-ступенчатые ракеты.Положим , 10.5км/с, =0.1.Тогда при n=2:m0=149mp ,n=3: m0=77mp, n=4: m0=65mp.Т.о. из полученных рез-тов следует,что 2-хступ-тая ракета м\т вывезти полезный груз на орбиту,однако при этом для того,чтобы доставить на орбиту полезный груз весом 1т масса ракеты д.б. 149т. Использование 3-хступ-той ракеты уменьшает ее исходную массу почти в 2 раза; применение же 4-хступ-й ракеты дает несуществ изм-ние нач массы ракеты.Т.о. применение иерарх модели ракеты позволило сделать такие важные выводы. 

 23.

 2. Иерархическая модель системы “шарик-пружина”

 Для дв-ния  шарика,соед-ого с пружиной,построим иерарх цепочку модели по принципу “снизу-вверх”. Послед-но введем усложн факторы и дадим их мат описание.

 1)учет воздействия внешней силы. Ур-ние дв-я шарика,прикрепл к пружине, было получено ранее и имело след вид  (1).

 Пусть теперь на шар действ внеш сила,к-рая м-т  зав-ть от t и текущ полож r.F=F(t,r).Тогда исп-я з-н Ньютона, получ, что ур-ние (1)преобр-ся к виду (2)В частности, е! внеш сила const,т.е F=F₀,то ур-ние (2) примет вид: (3). Введем новую переем . Тогда из (3) мы получ: (4)Вид,что ур-ние полностью совпад с ур-нием (1), т.е.пост сила не оказ-ет никакого влияния на з-н дв-ния шар, за иск. Того, что что полож равновесия сдвинется на величину, равную

 Гораздо более  слож-ая картина дв-ния шарика б/т получ,е!внеш сила зав от t-ни.В частности р!-ся случай, когда F явл период-ой,т.е. . Тогда (2) зап-ся в след виде: (5). Данное ур-ние явл лин неодн-ым ДУ 2-ого порядка.Его реш склад-ся из общ реш однор ур-ния и част-ого реш неоднор ур-ния , , , => . Учтем, что .Тогда , . Т.о. вз-ие внеш период силы приводит не только к появл доп колебаний с частотой , но и к возник резонанса, т.е. неогр возраст амплитуды при  

 2.Учет дв-ния в точке креплений пружины.

 Резонанс  в сис-ме м/б вызван также благодаря  действию сил инерц происхожд. Пусть точка крепления пружины дв-ся по з-ну . Тогда на шарик помимо силы инерции, рав-ая .Тогда ур-ние дв-ние зап-ся так: ,где .Т.о. приходим к р!-ому случ.В частности,е! явл период силой, то в сис-ме «шарик-пружина» снова м-т воз-ть резонансы.

 3.Шарик  с 2-мя пружинами

 Пусть шар  имеет массу  ,скреп его с 2-мя пружинами, имеющ жесткость .Начало СК поместили в точке, в к-рой силы упругости уравнов-ли друг друга.Обе силы напр-ы в 1 стор-ну, т.к.,е! левая пр-на растяг, то правая сжим.Восп-ся 2-ым з-ном Ньютона и сос-им ур-ние дв-ния шарика .Обознач ч/з .Приходим к ур-нию (1).Т.е. шарик с 2-мя пружинами дв-ся точно также как и с1-ой пруж-ой, но с увелич-ой жесткостью, склад из жестк 2-х пружин.Этот пример показ,что услож самой сис-мы невсегда ведет к услож мат модели р!-ого обьекта. 

 24.

 4.Учет  сил трения

 Силы трения м-т возн-ть из-за неидеал-ти поверхн шарика и пл-ти.В этом случае сила трения пропорцион весу. ,к1-коэф трения, а - вес шарика.Сила трения всегда напр в сторону, против напр-нию дв-ния шарика,т.е. ее знак против ск-ти дв-ния шарика, т.е. , .Ур-ние дв-ния шарика примет вид: (1).Т.о. на шарик действует пост-ая сила.Однако ввиду того,что это сила знакопеременна, качеств поведение пр-ны б-т сущ-но отлич от р!-ого в п1 случая, а именно кол-ия в такой сис-ме б-т затух.Перепишем ур0ние (1) в след виде: (2).(2)*V,тогда .Учтем,что ,тогда , (3). полная энергия сис-мы.Из (3) => и ,при V=0. Т.о полная эн-ия сис-мы убывает с течением t.Когда ск-ть шарика =0,то его кинет-ая эн-ия =0,а амплитуда достиг своего max зн-ния .При V=0 E(t)=П(t)= .Т.к. E(t) убыв-ая ф-ция, то и амплитуда также уб-ет.Т.о колебания с течением t убывает.

 5.Учет  сопротивления среды

 Р1-им силу трения иного происхожд в рез-те сопрот среды, в к-рой дв-ся шарик.Эта сила зависит от ск-ти шарика и опред по ф-ле Стокса , где μ-коэф вязкости среды, зав-ая от массы шарика.Тогда ур-ние дв-ния шарика зап-ся: , где .След-но , (1).Получ лин однор ДУ. -его хар-ое ур-ние. . а) -затух колеб-ые дв-ния.Обознач ч/з . В рез-те общ реш ур-ния (1) прим вид: (2).A,a-произв постоян, к-рые опред ч/з нач данные .Т.к ф-ция ограничена, то r(t) ->0 при t->¥.На фазовой пл-ти траектория пред-ет собой закруч спираль, к-рая стяг к нач координат, т.е. точка (0,0) явл устойчивым фокусом. Б) -апериод(неколеб) дв-ние.Введем обознач -> .Тогда общ реш ур-ния (1)м-о зап-ть в виде: , , , (5). ,(5)->r(t)->0 при t->¥.График из-ния коорд-ты r(t) имеет один из трех видов:

 В) -апериод, предельн дв-ние.Общ реш ур-ния (1): .С1,С2 опред ч\з нач данные.Т.к экспонец ф-ция из-ся быстрее,то r(t)->0 при t->¥.Траектория дв-ия в этом случае б-т иметь вид, что и в Б) 

 25.

 Два типа нелинейных моделей системы шарик-пружина

 Возможны  ситуации, когда при малых скоростях сила сопротивления меньше, а при больших скоростях больше силы сопротивления, вычисляемой по формуле Стокса. В этом случае пользуются уточнённой формулой силы сопротивления среды.

  , где μ>0, α> -1 – заданная const

 Тогда уравнение  движения шарика, прикреплённого к  пружине примет вид: (1)

 Уравнение (1) в отличие от ранее рассмотренных уравнений движения шарика является нелинейным и в аналитическом виде решение получиться невозможно. Поэтому найдём лишь приближенное решение данного уравнения в 2-х предельных положениях: r=0 и v=0.

 Одновременно  r=0 и v=0 выполняться не могут, так как это означало бы, что система покоится.

 Пусть v(t₀)=0, t₀ – момент времени, в который скорость обращается в ноль, при этом амплитуда достигает своего максимального значения.

 Рассмотрим  поведение системы в окрестности этого предельного положения, тогда в правой части уравнения (1) можно пренебречь вторым слагаемым.

 Так же при  достаточно малом изменении времени Δt можно пренебречь отклонением координаты r от её значения r₀ в момент времени t=t₀, тогда уравнение (1)  перепишется в следующем виде: (2)

 Проинтегрируем  от начального момента времени до текущего, т.е. получим: , т.к. при t=t₀

 проинтегрируем  ещё раз:

    (2')

 таким образом  в первом приближении шарик движется с постоянным ускорением под действием только силы упругости пружины, сила сопротивления в этом случае равна нулю, текущая координата шарика описывается соотношением (2'). 

 Теперь рассмотрим другое предельное положение шарика; r(t₀) = 0, t₀ – момент времени, когда шарик проходит через положение равновесия (начало координат).

 Тогда в первом приближении можно пренебречь первым слагаемым, можно также пренебречь при малом изменении времени Δt отклонением скорости от её значения v₀ в момент времени t=t₀.