Шпаргалка по "Математическое моделирование"

 Напр., в задаче о баскетболисте траектория полета баскетбольного мяча определяется не как непрерывная ф-ия времени, а как табличная (дискретная) ф-ия координат от времени.

 После дискретизации исходной задачи выполняется построение вычислительного алгоритма, позволяющего за конечное число шагов получить решение дискретной задачи. Найденное дискретное решение и принимается за приближенное решение задачи.

 Применение  любого численного метода приводит к  погрешности результатов вычисления задачи.

 Выделяют 3 основных составляющих возникающей погрешности при численном решении задачи:

 ** Неустранимая погрешность  - связана с неточным заданием исходных данных (начальные и граничные условия, коэффициенты в правых частях диф-ых ур-ий)

 ** Погрешность метода – связана с переходом к дискретному аналогу исходной задачи (напр., заменяя на дискретный аналог получаем при погрешность порядка )

 ** Ошибка округления – связана с конечной разрядностью представления чисел в памяти ЭВМ

 Основным  требованием к вычислительному алгоритму является необходимость получения решения задачи с заданной точностью за конечное число шагов.

 Если  при численном подходе дискретизации подвергались полученные мат-ие выражения, то при имитационном подходе на отдельные элементы разбивается сам объект моделирования.

 В этом случае система мат-их соотношений для объекта-системы не записывается, а заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим ее поведением, и учитывающим взаимодействие друг с другом модели отдельных элементов системы.

   Алгоритмические модели, использующие как численный, так и имитационный подход не позволяют получить решение в аналитической форме, что затрудняет и усложняет процесс анализа результатов моделирования.

 С другой стороны, несомненным преимуществом  алгоритмических методов является отсутствие принципиальных ограничений на сложность модели, что позволяет применять их для исследования систем произвольной сложности. 
 

 10.

 Аналитическое решение задачи о баскетболисте.

   

 Примем  некоторые допустимые предположения:

 

 Найдем  дальность полета L баскетбольного мяча – расстояние, которое пролетит мяч, двигаясь из начала координат до пересечения его траектории с плоскостью кольца корзины.

  - время полета баскетбольного мяча

 

 

 Подставим в выражение для 

 Дальность полета

 Пусть бросок осуществляется со штрафной линии: . Возьмем

 

 Точность броска: . 
 

 11.

 Проверка  адекватности модели.

 Под адекватностью мат-ой модели понимается степень соответствия результатов, полученных по разработанной модели к данным эксперимента или тестовой задаче.

 Проверка  адекватности модели преследует 2 цели:

1. убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформулированных на этапах концептуальной и мат-ой постановок. Переходить к проверке гипотез следует лишь после проверки используемых методов решения, устранения всех ошибок, связанных с программным обеспечением;
2. установить, что точность полученных результатов соответствует точности оговоренной в техническом задании.

       Проверка  разработанной мат-ой модели выполняется  путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными о реальном объекте и с результатами других, созданных ранее и хорошо зарекомендовавших моделей.

 В первом случае говорят о сравнении с экспериментом; во втором – о сравнении с результатом решения тестовой задачи. 
 

 12.

 Пример: «анализ задачи о  баскетболисте»

 Задача о  баскетболисте была решена в 2 постановках:

1. без учета сопротивления среды
2. с учетом сопротивления

 Достоинством  первого решения является его  простота, а недостатком меньшая по сравнению со вторым точность. Невозможность получения аналитических оценок для дальности броска является недостатком решения 2, т.к.это обстоятельство затрудняет аналитический анализ данного решения.

 С другой стороны, как следует из приведенных выше оценок изменение решения при невысоких значениях скорости баскетбольного мяча составляет всего несколько процентов, что позволяет не отбрасывать решение №1, а провести его анализ.

 В первом решении  было получено: , из данного выражения следует, что заданную величину броска мяча можно определить при двух углах бросания, обеспечивающих настильную (при ) и навесную (при ) траектории движения мяча, при указанные траектории совпадают.

 Для получения  одинаковой точности при отсутствии сил сопротивления начальные скорости мяча для навесной и настильной траектории должны быть одинаковыми.

 Для оценки точности попадания мяча в кольцо рассмотрим ситуации, возникающие при подлете мяча к корзине со скоростью v под углом j к плоскости корзины. Отрезок AB=2d определяет ширину коридора так называемого чистого попадания мяча в корзину.

 Задачу определения  d можно свести к чисто геометрической, для этого достаточно из прямоугольного треугольника ACD определить гипотенузу AC и вычесть ее из радиуса корзины , т.о. d зависит от j, d=d(j).

 При d=0 можно найти минимальное значение угла , при котором еще возможно чистое попадание мяча в корзину.

 

 пусть радиус корзины 

 проведенный анализ позволяет ввести ограничения на точность броска ,

 Подставляем данное L в формулу и определим среднее значение начальной скорости , данное соотношение определяет интервал начальных скоростей, обеспечивающих чистое попадание мяча в корзину при заданном угле бросания.

 Используя численные  методы можно получить аналогичный результат, при решении задачи о баскетболисте с учетом сопротивления воздуха. 
 

 13.

 Практическое  использование построений модели и анализ рез-в моделирования.

 Дискрептивные модели R!-ные выше, предназначены для описания исследуемых пар-в объекта, а так же для изучения закономерности изменения этих пар-в. Эти модели могут использоваться:

1. Для изучения свойств и особенностей исследуемого объекта при различных сочетаниях исходных данных.
2. Как моделирующие блоки  в АСУ
3. При построении оптимизационных моделей и моделей-имитаторов, сложных моделей и комплексов.

 Модели разрабатываемые  для исследоват-х целей, как правило, не доводятся до уровня программных комплексов предназначенных  сторонним пользователям, эти модели отличает поисковый хар-р, применение новых выч-х процедур и алгоритмов, неразвитый интерфейс.

 Модели и  построенные на них программные комплексы предназначенные для последующей передачи сторонним пользователям или коммерческого распространения имеют развитый дружественный интерфейс. Программные комплексы имеют подробные и качественно составленные описания и руководство для пользователя, по всем неясным вопросам разработчики проводят консультации. Независимо от области применения созданной модели группа разработчиков обязана провести всесторонний качественный и количественный анализ результатов моделирования, который позволяет:

1. выполнить модификацию R!-го объекта, найти его оптимальные характеристики
2. выделить область применения моделей
3. проверить обоснованность гипотез, принятых на этапе мат. постановки задачи.
4. оценить возможность упрощения модели, с целью повышения ее эффективности при сохранении требуемой точности
5. показать в каком направлении следует развивать модель в дальнейшем.

 

 14.

 Пример: «анализ задачи о  баскетболисте»

 Задача о  баскетболисте была решена в 2 постановках:

1. без учета сопротивления среды
2. с учетом сопротивления

 Достоинством  первого решения является его простота, а недостатком меньшая по сравнению со вторым точность. Невозможность получения аналитических оценок для дальности броска является недостатком решения 2, т.к.это обстоятельство затрудняет аналитический анализ данного решения.

 С другой стороны, как следует из приведенных выше оценок изменение решения при невысоких значениях скорости баскетбольного мяча составляет всего несколько процентов, что позволяет не отбрасывать решение №1, а провести его анализ.

 В первом решении  было получено: , из данного выражения следует, что заданную величину броска мяча можно определить при двух углах бросания, обеспечивающих настильную (при ) и навесную (при ) траектории движения мяча, при указанные траектории совпадают.

 Для получения  одинаковой точности при отсутствии сил сопротивления начальные скорости мяча для навесной и настильной траектории должны быть одинаковыми.

 Для оценки точности попадания мяча в кольцо рассмотрим ситуации, возникающие при подлете мяча к корзине со скоростью v под углом j к плоскости корзины. Отрезок AB=2d определяет ширину коридора так называемого чистого попадания мяча в корзину.

 Задачу определения d можно свести к чисто геометрической, для этого достаточно из прямоугольного треугольника ACD определить гипотенузу AC и вычесть ее из радиуса корзины , т.о. d зависит от j, d=d(j).

 При d=0 можно найти минимальное значение угла , при котором еще возможно чистое попадание мяча в корзину.

 

 пусть радиус корзины 

 проведенный анализ позволяет ввести ограничения на точность броска ,

 Подставляем данное L в формулу и определим среднее значение начальной скорости , данное соотношение определяет интервал начальных скоростей, обеспечивающих чистое попадание мяча в корзину при заданном угле бросания.

 Используя численные методы можно получить аналогичный результат, при решении задачи о баскетболисте с учетом сопротивления воздуха. 

 15.

 Элементарные  мат. модели.

 Рассмотрим  некоторые подходы к настроению простейших мат. моделей, иллюстрирующих применение фундаментальных законов природы, вариационных принципов, аналогий и иерархических цепочек.

 Примеры моделей, получаемых из фундаментальных  законов природы.

 Наиболее  распространенный  метод построения математических моделей состоит в применении фундаментальных законов природы к конкретной ситуации.

 Эти законы общепризнанны, многократно подтверждены опытом и служат основной многих научно-технических достижений.

 Наиболее  распространенные законы природы это:

• закон сохранения энергии
• закон сохранения материи
• закон сохранения импульса.

 Пример1: «движение шарика, присоединенного к пружине с жесткозакрепленным концом»

 Для описания движения шарика воспользуемся законом сохранения энергии.

 Пусть r – координаты шарика вдоль оси пружины, лежащей в горизонтальной плоскости, и направление движения шарика совпадает с осью х.