Шпаргалка по "Математическое моделирование"

 Напр., если задача свелась к отысканию n неизвестных из некоторой системы алгебраических уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того факта, сто число независимых алгебраических уравнений = n.

 Математическая  модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости. 
 

 7.

 Задача  о баскетболисте.

 Содержательная  постановка задачи.

 Разработать мат.модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в корзину. Модель должна позволять вычислять положение мяча в любой момент времени определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.

 Исходные  данные.

 - масса  и радиус мяча;

 - начальные  координаты, начальная скорость и угол броска;

 - координаты  центра кольца корзины и радиус кольца корзины.

 Концептуальная  постановка.

 Движение  баскетбольного мяча может быть описано в соответствии с законом Ньютона классической механики.

 

 Примем  следующие гипотезы:

  - объектом  моделирования является баскетбольный мяч радиуса R;

  - мяч  будем считать материальной точкой, массой m, положение которой совпадает с центром масс мяча;

  - движение  происходит в поле сил тяжести  с постоянным ускорением свободного падения и описывается уравнениями классической механики Ньютона;

  - движения  мяча происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности земли и проходящей через точку броска и центр корзины;

  - пренебрегаем  сопротивлением воздуха и возмущениями, вызванными вращением мяча вокруг его центра масс.

 В соответствии с принятыми гипотезами в качестве параметров, описывающих движение баскетбольного мяча можно использовать координаты центра масс мяча x и y, скорость (проекции v_x и v_y на оси x и y) центра масс мяча. Тогда для определения положения мяча в произвольный момент времени достаточно найти закон движения ц.м.мяча, т.е. зависимость x, y, v_x, v_y от времени. В качестве оценки точности броска D будем рассматривать величину расстояния по горизонтали (вдоль оси х) до центра кольца корзины, т.е. будем рассматривать разность данных расстояний в тот момент времени, когда мяч пересечет горизонтальную плоскость корзины. Т.о. концептуальную постановку задачи можно сформулировать в следующем виде.

 Определить  закон движения мат.точки массой m под влиянием силы тяжести, если известны начальные координаты точки x₀, y₀ ее начальная скорость v₀ и начальный угол броска a₀. Центр кольца корзины имеет координаты x_k, y_k. Тогда точность броска D определяется следующим равенством: , где - момент полета мяча, .

 Рассмотрим  особенности концептуальной постановки задачи о баскетболисте.

 Первая  из перечисленных гипотез особенно важна, т.к. она выделяет объект моделирования. В данном случае объектом моделирования является баскетбольный мяч, однако можно было бы в качестве объекта моделирования рассматривать систему «игрок-мяч-корзина». Модель, описывающая эту систему, будет уже достаточно сложной, т.к. игрок в свою очередь представляет собой сложную биомеханическую систему. В данном случае выбор в качестве объекта моделирования только мяча обоснован, т.к. именно его движение требуется исследовать, а влияние игрока можно достаточно просто учесть через начальные условия.

 Гипотеза  о том, что баскетбольный мяч является материальной точкой широко используется в классической механике для исследования движения твердых тел. В данном случае эта гипотеза оправдана в силу симметрии баскетбольного мяча и малости его радиуса по сравнению с характеристиками перемещения данного мяча.

 Гипотеза  о применимости законов классической механики Ньютона можно обосновать огромным экспериментальным материалом, связанных с изучением движения тел вблизи поверхности земли.

 Гипотеза  о постоянстве ускорения свободного падения также оправдана, т.к высота полета будет меняется в пределах 2-10м, а дальность изменяется в пределах 5-20м.

 Гипотеза  о движении мяча в вертикальной плоскости ограничивает класс рассматриваемых траекторий и существенно упрощает модель. Траектория мяча может не лежат в одной плоскости, если при броске он сильно подкручивается вокруг вертикальной оси. В этом случае скорости точек на поверхности мяча относительно воздуха на различных сторонах мяча будут различны. Для точек, движущихся навстречу потоку относительная скорость будет выше, чем скорость центра масс мяча, а для точек, движущихся по потоку относительная скорость будет ниже, чем скорость центра масс мяча.

 

 По  закону Бернулли давление газа больше там, где его относительная скорость меньше, поэтому на мяч будет действовать дополнительная Сида. Этот эффект будет проявляться тем больше, чем больше скорость центра масс мяча и скорость его вращения. Для баскетбола характерны низкие скорости полета мяча – до 10 м/с, и очень редко используется подкрутка мяча рукой. Поэтому гипотеза о движении баскетбольного мяча в одной плоскости вполне оправдана. Ее использование позволяет отказаться от более сложной трехмерной модели движения мяча.

 Гипотеза  об отсутствии влияния сил сопротивления наименее обоснована. При движении тела в воздухе сопротивление увеличивается с увеличением скорости движения. Учитывая невысокие скорости баскетбольного мяча, его правильную обтекаемую форму и малые дальности бросков данную гипотезу можно принять в качестве первого приближения. Отметим, что концептуальная постановка задачи, в отличие от содержательной постановки использует термины конкретной дисциплины, в данном случае классической механики. При этом моделируемый объект (баскетбольный мяч) заменяется его механической моделью (материальная точка) и постановка задачи сводится к классической постановке о движении материальной точки в поле силы тяжести.

 Концептуальная  постановка более абстрактна по сравнению с содержательной постановкой, т.к. материальной точке можно сопоставить произвольный материальный объект, брошенный под углом к горизонту (это м.б. камень, снаряд, футбольный мяч) 
 

 8.

 Задача  о баскетболисте.

 Математическая  постановка задачи.

 Данную  постановку можно представить в векторной или в координатной формах.

1. Векторная форма

 

 Найти зависимости векторных параметров и от времени из СДУ

 

 Начальные условия: , .

 Вычислить параметр D по формуле: , где , проекция .

 2. Координатная  форма

 Найти зависимости x(t), y(t), v_x(t), v_y(t) от времени из СДУ:

   (1)

 Начальные условия: (2) , точность броска (3), где , (4).

 Т.о. математическая постановка задачи свелась  к задаче Коши для ОДУ первого порядка с заданными начальными условиями. Данная СУ является замкнутой, т.к. число независимых уравнений (4 в (1), алг.ур-я (3),(4)) равно числу неизвестных параметров задачи (x, y, v_x, v_y, t_k, D).

 Осуществим  контроль размерностей задачи:

  , [кг][м/с]/[с]=[Н]®[кг*м/с²]=[кг*м/с²], т.е. размерность левой части совпадает с размерностью правой.

  , [м/с]=[м]/[с]

 (3) или  (4): [м]=[м]

 Существование и единственность задачи Коши доказана в теории ОДУ, поэтому данную мат.модель можно считать корректной. Математическая постановка задачи еще более абстрактна, чем концептуальная, т.к. сводит задачу о движении баскетбольного мяча к чисто математической задаче коши, методы решения которой хорошо разработаны. 
 

 9.

 Выбор и обоснование  выбора метода решения состава.

 Методы  решения задач моделирования.

 

 аналитические     алгоритмические

 

 алгебраические         численные

 приближённые        имитационные 

 Метод исследования относят к аналитическим, если он позволяет получить выходные параметры в виде аналитических выражений, т. е. выражений, в которых используется не более чем счётная совокупность арифметических операций и переходов к пределу.

 Примеры аналитических выражений:

         

 Частным случаем аналитических выражений является алгебраические выражения, в которых используется конечное или счетное число арифметических операций, операций возведения в целочисленную степень и извлечение корня.

 Примеры алг-их выр-ий:

        

 Часто аналитическое выражение представляют в элементарных или специальных функциях: показательных, логарифмических, тригонометрических, эллиптических, гиперболических и т.д.

 Для получения значения этих функций при конкретных значениях входных параметров используют ряды (ряд Тейлора).

 Пример:

   

 Учитывая  число членов ряда, можно вычислить значение функции с различной степенью точностью.

 Например, в ряде для e^x учет 6 членов дает точность    10^-4 , учет 10 членов – 10^-8.

 Т.о., значение функции при каждом значении аргумента определяется приближенно. Методы, использующие данный прием, наз. приближенными.

 К приближенным аналитическим методам относят: метод малого параметра, асимптотические методы усреднения.

 Аналитические методы являются более ценными, т.к. позволяют с меньшими вычислительными затратами изучить св-ва моделируемого объекта, применяя традиционные, хорошо изученные мат.- ие методы исследования мат-их функций.

 Знание  аналитических выражений для искомых параметров позволяет исследовать фундаментальные св-ва, проводить качественные исследования объекта, строить новые гипотезы о его внутренней структуре.

 В настоящее время усилился интерес к аналитическим методам исследования, т.к. появились пакеты с системой аналитических вычислений.

 К сожалению, существующие в настоящее время аналитические методы позволяют получить аналитическое решение только для относительно несложных мат-их моделей в узком диапазоне значений параметров, поэтому приходится использовать алгоритмические подходы, позволяющие получить лишь приближенные значения параметров.

 При численном подходе совокупность мат-их соотношений моделей заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента.