Шпаргалка по "Математическое моделирование"

 Будем считать  плоскость идеально гладкой, т.е. движение происходит без трения.

 Пренебрегаем  также сопротивлением воздуха и учтем, что вес шарика уравновешивается реакцией плоскости, тогда единственной силой, действующей на шарик, будет сила упругости пружины, которая действует в сторону, противоположную движению шарика. Эта сила определяется в соответствии с законом Гука: , где k>0 – характеризует упругие свойства пружины, r  -величина растяжения (сжатия) пружины относительно нейтрального, ненагруженного положения r=0.

 Для вывода уравнений  движения воспользоваться законом сохранения энергии, при этом учтем, что т.к. пружина жестко закреплена, то сила реакции стены не совершает работы над системой «шарик-пружина» и следовательно полная механическая энергия Е остается постоянной. Вычислим ее:

 Кинетическая  энергия:

 Потенциальная энергия:

   продифференцируем по t (1) - уравнение простого асцилятора.

 Его общ решение  описывает гармонические колебания, которые осуществляются по следующему  закону.

  , где - частота собственных колебаний, А,В – произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий: .

 В частности  .

 Замечание: подходы  с помощью которых строятся модели не должны противоречить фундаментальным законам природы. Соответствующая проверка непротиворечивости полезна для установления правильности модели.

 Например, для  этой задачи воспользуемся вторым законами Ньютона, а не законом сохранения энергии:

   
 

 16.

 Пример 2: «распад радиоактивного вещества»

 При построении мат. моделей часто используется закон сохранения материи.

 Пусть имеется  небольшое количество радиоактивного вещества (урана), окруженного толстым слоем материала (свинца) – ситуация типичная при хранении радиоактивных материалов либо при их использовании в энергетике.

 Под словом небольшой подразумевается упрощающие обстоятельства, а именно то, что все продукты распада не испытывая столкновений с атомами вещества беспрепятственно покидают область 1, другими словами длина свободного пробега продуктов распада в первом веществе значительно больше характерных размеров самого материала L₁.

 Слова «толстый слой» означают, что согласно технике хранения, продукты деления полностью поглощаются в слое 2, т.е.

 Все что вылетает из области 1 поглощается в области 2 и суммарная масса обоих веществ не меняется со временем – это и есть закон сохранения материи, применяемый к данной ситуации.

 Если в  начальный момент времени t=0 массы этих веществ были соответственно равны М₁(0) и М₂(0), то в произвольный момент времени t справедлив баланс

 М₁(0)+М₂(0) = М₁(t)+М₂(t)  (3)

 Однако уравнения (3) недостаточно для определения текущих значений масс М₁(t) и М₂(t), для замыкания математических соотношений необходимо привлечь дополнительные соотношения о характере распада, оно гласит, что скорость распада (число атомов, распадающихся в единицу времени) пропорционально общему числу атомов радиоактивного вещества (4)

  - постоянная распада, которая определяется конкретным веществом.

  , где m₁ – атомный вес вещества 1

 перепишем (4)

   (5) =(его решение)Þ (6)

 из (6) следует, что при t®¥, M₁®0, т.е. при t®¥ вещество в области 1 полностью исчезает, т.к. суммарная масса в соответствии с законом (3) остается постоянной, то в области (2) количество вещества растет , т.е.при t®¥, , т.е. продукты распада полностью переходят из области 1 в область 2. 

 17.

 Пример 3. «Движение ракеты.».

 Неподвижностоящая лодка на поверхности озера начинает двигаться вперед при передвижении от носа к корме. Такое движение происходит в соответствии с законом сохранения импульса, который утверждает, что полный импульс системы, не испытывающей воздействия внешних сил сохраняется.

 Принцип реактивного  движения положен в основу многих технических устройств, в частности, ракеты, которая выводит на орбиту спутник. Для этого ракете требуется развить первую космическую скорость »8 км/с.

 Простейшая  мат.модель движения ракеты получается из закона сохранения импульса в пренебрежении гравитационными силами, силами сопротивления и др., исключая конечно силу тяги реактивных двигателей.

 Пусть продукты сгорания ракетного топлива покидают расположенные в кормовой части  выхлопные сопла со скоростью u (для современного топлива u»3 км/с).

 За промежуток времени dt масса ракеты изменится на dm, за счет сгорания топлива.

 Импульс ракеты в момент времени t равен m(t)v(t). В момент времени t+dt импульс ракеты изменится, однако суммарный импульс системы «ракета + продукты сгорания» останется неизменным: - средняя скорость, с которой продукты сгорания покидают ракету.

 Все скорости, входящие в это ур-е вычисляются  относительно неподвижной земли.

  Þ подставим , разделим на dt при dt®0 (1)

 в уравнении (1) величина -это сила тяги реактивного двигателя

  Þ Þ Þ (2)

 (2) называется  равнением Цеалковского, оно позволяет сделать важный вывод о конструкции ракеты.

 В уравнении (2) v₀ и m₀ – начальные скорость и масса ракеты.

 Найдем при v₀=0 предельную скорость, которую может достичь ракета

  , где m_p – полезная масса ракеты (спутник), m_s – структурная масса ракеты (масса собственно ракетной конструкции – топливных баков, системуправления, топлива и т.д.).

 Введем коэффициент .

 Этот коэффициент  при m_p=0 характеризует отношение структурной массы к начальной массе ракеты. Для реальных ракет при m_p=0 l»0,1 u»3км/с.

 Тогда при  m_p=0 предельная скорость - это означает, что даже в идеальных условиях, когда полезная масса отсутствует, не учитываются силы гравитации и сопротивления, ракета все равно не может достичь первой космической скорости. Этот факт привел к мысли об изменении конструкции ракеты.

 Замечание: данный пример иллюстрирует своего рода принцип наибольшего благоприятствования, который часто используется на начальных стадиях моделирования сложных объектов: если объект, поставленный в наилучшие условия, не в состоянии достичь требуемых характеристик, то необходимо изменить либо сам объект, либо смягчить требования к нему. Если же требования в принципе достижимы, то следующие шаги связанны с влиянием на объект дополнительных осложняющих факторов. 

 18.

 Пример 4. «Колебания колец  Сатурна».

 Рассмотрим  движение точечной массы m₀ в поле сил тяготения, создаваемых материальным кольцом с радиусом R₀ и линейной плотностью r₀. кольцо считается бесконечно тонким, движение происходит вдоль оси кольца.

 Данная схема  может рассматриваться, как идеализация процесса колебания колец Сатурна.

 Тем не менее, несмотря на существенные упрощения, непосредственно применение закона всемирного тяготения: , где m₀, m₁ – массы двух тел, r – расстояние между ними, g - гравитационная постоянная, невозможно, т.к. массы m₀, m₁ должны быть точечными. 

 Вычислим  сначала силу притяжения массы М₀ и массой dm элемента dl кольца, dm можно считать точечной массой

 r, R – расстояния от т.М₀ до центра кольца и до самого кольца соответственно.

  R₀ – радиус кольца.

   

 спроектируем  силу dF на ось y, которая перпендикулярна плоскости кольца. Именно эта сила будет определять интересующее нас движение.

   проинтегрируем от 0 до 2p , при этом учли, что горизонтальная проекция результирующей силы равна 0 из-за симметричного расположения кольца относительно массы М₀.

 Введем обозначение  М₁ – масса кольца Сатурна, Þ Þ

 Данная сила отличается от силы притяжения между  двумя материальными т., только при r>>R₀ получаем формулу всемирного тяготения, т.к. в этом предельном случае в виду большого значения r массу кольца можно считать точечной.

 Если же r<<R₀ , то , т.е. сила притяжения, в противоположность случаю точечных масс, убывает с уменьшением расстояния между объектами.

 Применим  второй закон Ньютона к движению точечной массы M₀ вдоль оси у Þ (3). (3) – нелинейное диф. уравнение 2 порядка.

 В предельном случае r<<R₀ получаем линейное диф. уравнение 2 порядка: (4)

 С точностью  до обозначений это уравнение имеет тот же самый вид, что и уравнение для шарика, присоединенного к пружине.

 Замечание1: даже в простейших моделях может  потребоваться использование не одного, а нескольких фундаментальных законов.

 Замечание2: прямое, формальное применение фундаментальных законов к объекту рассматриваемому, как целое не всегда возможно. В этих случаях требуется просуммировать элементарные акты взаимодействия между его частями, принимая во внимание свойства объекта, например, его геометрию.

 Замечание3: одними и теми же моделями могут описываться совершенно разные по своей природе объекты, подчиняющиеся разным фундаментальным законам (примеры 1 и 4), с др. стороны одному закону могут отвечать принципиально разные модели (линейные – нелинейные модели в примере 4).

 Замечание4: необходимо использовать все возможности для проверки правильности построения модели (предельные переходы – пр.4, др. фундаментальные законы – пр.1 и т.д.).  

 19.

 Примеры моделей получаемых из вариационных принципов

 Еще один подход к построению модели по своей широте и универсальности сопоставимый с возможностями даваемыми фунд-ми з-нами состоит в применении так называемых вариац принц-в. Они представляют собой весьма общее утверждение о R!-мом объекте и гласят что из всех возможных вар-в его поведения, движения, эволюции выбираются лишь те кот-е удовл-т опред-м условиям. Обычно согласно этому условию нек-е связанная с объектом величина достигает своего экстремального знач-я при переходе из одного сост-я в другое.

 I Оптимальное движение автомобиля

 Из А в  В движется автомобиль с пост-й скоростью , при этом он должен коснуться линии С и попасть в точку В за наименьшее время. Расстояние между проекциями А и В постоянно и равно с. Посчитаем время движения из А в В.

 

 

 Т.к. продиф-м по

 

 Подставим (2) в (1)

 Т.о. автомобиль должен двигаться по правилу: угол падения равен углу отражения, (т.е. по закону оптики). Именно этому закону подчиняется и ход светового луча попадающего на поверхность.

 Возникает вопрос, что может быть и в общем  случае лучи света движутся  по траектории , обеспечивающей быстрейшее попадание сигнала из одной точки в другую. Именно так и происходит согласно известному вар. Принципу Ферма, опираясь на который можно получить все основные законы геометрической оптики.