Шпаргалка по "Математическое моделирование"

 1.Математическое  моделирование – это моделирование при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование моделей производится с использованием тех или иных математических методов.

 Преимущества  математического моделирования в сравнении  с натурным экспериментом..

1. экономичность (в частности сбережение ресурсов реальной системы);
2. возможность моделирования гипотетических, т.е. не реализованных в природе объектов;
3. возможность реализации режимов опасных или трудно воспроизводимых в природе (критический режим ядерного реактора, система противоракетной обороны);
4. возможность изменения масштаба времени;
5. простота многоаспектного анализа;
6. большая прогностическая сила вследствие возможности выявления общих закономерностей;
7. универсальность технического и программного обеспечения проводимой работы (ЭВМ, системы программирования, пакеты прикладных программ широкого назначения).

 Любая математическая модель, предназначенная  для научных исследований, позволяет по заданным исходным данным найти значения интересующих исследователя параметров моделируемого объекта или явлений. Поэтому можно предполагать, что суть подобной модели заключается в отображении некоторого заданного множества Ω_х входных параметров Х на множество Ω_у выходных параметров Y. Данное обстоятельство позволяет рассматривать математическую модель как некоторый математический оператор А и дает возможность сформулировать следующее определение.

 Под математической моделью будем понимать любой оператор А, позволяющий по соответствующим значениям входных параметров Х установить выходные значения параметров Y объекта моделирования:   A: X®Y,XÎΩ_x,YÎΩ_y, где Ω_x, Ω_y – множества допустимых значений входных и выходных параметров моделируемого явления (объекта).

 В зависимости  от природы моделируемого объекта элементами множеств Ω_x и Ω_y могут быть любые математические объекты (числа, векторы, тензоры, функции, множества и т.д.) Понятие оператора в этом определении может трактоваться достаточно широко. Это может быть некоторая функция, связывающая входные и выходные параметры, или отображение, представляющее собой символическую запись алгебраических уравнений, системы ДУ, интегро-дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, наконец это может быть некоторый алгоритм, совокупность правил или таблиц, обеспечивающих нахождение выходных параметров по заданным исходным параметрам.

 Можно дать различные классификации математических моделей:

1. в зависимости от сложности объекта моделирования (простая модель, структурная модель, имитационная модель);
2. в зависимости от оператора модели (линейный, нелинейный, алгебраический, СОДУ, ДУЧП,ИДУ);
3. в зависимости от параметров системы (детерминированная, неопределенная (стохастические, случайные, интервальные, нечеткие), одномерные, 2-мерные, 3-хмерные, многомерные, динамические, статические, стационарные, нестационарные, дискретные, непрерывные, смешанные);
4. в зависимости от цели моделирования (дескриптивные, оптимизационные, управленческие);
5. в зависимости от методов исследования (аналитические (алгебраические приближенные), алгоритмические (численные имитационные)).

 

 2.Основные  этапы математического моделирования.

 Процесс построения и исследования математической модели можно представить  в виде следующей последовательности этапов.

 1. Построение  математической модели (формализация задачи)

     1.1. Обследование объекта моделирования (содержательная постановка задачи);

     1.2. Концептуальная постановка задачи;

     1.3. Математическая постановка задачи.

     1.4. Качественный анализ и проверка корректности моделей.

 2. Выбор  и обоснование методов решения задачи

 1) аналитические  методы ®поиск решения

 2) численные  методы ® Разработка алгоритма решения и исследование его свойств, реализация алгоритма в виде программы на ЭВМ

 3. Проверка  адекватности модели

 4. Практическое  использование построенной модели. 
 

 3.Обследование  объекта моделирования

 С этого начинается построение математической модели, обследование объекта моделирования включает в себя следующие работы:

 1) тщательное  обследование собственно объекта моделирования с целью выявления основных факторов, механизмов, влияющих на его поведение, определения соответствующих параметров, позволяющих описывать моделируемый объект;

 2) сбор и  проверка экспериментальных данных об объектах-аналогах. Проведение при необходимости дополнительных экспериментов;

 3) аналитический  обзор литературных источников. Анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного объекта или подобных рассматриваемому объекту;

 4) анализ  и обобщение всего накопленного материала. Разработка общего плана создания математической модели. На основе собранной информации об объекте моделирования постановщики вместе с заказчиком формулируют содержательную постановку задачи моделирования, которая, как правило, не бывает окончательной и может конкретизироваться и уточняться в процессе разработки модели.

 Если объектом моделирования является технологический процесс, конструкция, машина или деталь, то содержательную постановку задачи очень часто называют технической постановкой задачи.

 Весь собранный  в результате обследования материал, содержательная постановка задачи моделирования, дополнительные требования к реализации модели и представлению результатов формируются в виде технического задания на проектирование и разработку модели. Техническое задание является итоговым докуме7нтом, заканчивающим этап обследования, который является очень важным и ответственным. Грамотно сформулированное ТЗ позволяет избежать многих сложностей на последующих этапах разработки модели. Особенно строго необходимо формулировать требование к будущей модели. Неконкретные и нечеткие требования могут серьезно затруднить процесс сдачи модели заказчику, вызвать бесконечные доработки и улучшения. В целом этап проработки ТЗ составляют до 30% времени, отпущенного на создание всей модели. 
 

 4. Концептуальная постановка задачи математического моделирования.

 На  основании содержательной модели (технического задания) разрабатывается концептуальная или естественно-научная (физическая, химическая, экономическая, биологическая и т.д.) постановка задачи моделирования.

 Концептуальная постановка задачи моделирования – это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, экономики, биологии и т. д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.

 Как правило, эти гипотезы правдоподобны в том смысле, что для их обоснования м.б. приведены некоторые теоретические некоторые теоретические доводы и использованные экспериментальные данные, основанные на собранной ранее информации об объекте.

 В выборе и обосновании принимаемых гипотез в значительной мере проявляется искусство, опыт и знания, накопленные членами рабочей группы.

 Согласно  принятым гипотезам определяется множество параметров, описывающих состояние объекта, а также дается перечень законов, управляющих изменением и взаимосвязью этих параметров между собой. 
 

 5.Математическая  постановка задачи моделирования.

 Это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования. Как было отмечено ранее, совокупность математических соотношений определяет вид оператора модели.

 Наиболее  простым будет оператор модели в случае, если он представляется в виде системы алгебраических уравнений. Подобные модели называются модели аппроксимационного типа, т. к. для их построения часто используют различные методы аппроксимации имеющихся экспериментальных данных о поведении выходных параметров объекта в зависимости от входных параметров, от воздействия внешней среды, а также от значения внутренних параметров. Однако, область применения данных моделей ограничена. Для создания математических моделей сложных систем и широкого класса реальных задач требуется привлечение большего объема знаний, накопленных в рассматриваемой дисциплине. Эти знания, как правило, сконцентрированы в аксиомах, теоремах, имеющих четкую математическую формулировку.

 Во  многих областях знаний (механики, физики, биологии и т. д.) принято выделять:

1. законы, справедливые для всех объектов исследования данной области;
2. соотношения, описывающие поведение отдельных объектов или их совокупности.

 К числу  первых в механике относятся: уравнения баланса массы, количества движения, энергии.

 Соотношения второго класса в физике и механике называют определяющими или физическими или уравнениями состояния. (Закон Гука в теории упругости, закон Клапейрона для идеальных газов).

 Соотношения второго класса менее изучены, а в ряде случаев их приходится устанавливать самому исследователю, особенно при анализе объектов, состоящих из новых материалов.

 Определяющие  соотношения – основной элемент, «сердцевина» любой математической модели физико-механических процессов. Именно ошибки в выборе или установление определяющих соотношений приводят к неверным результатам моделирования.

 Совокупность  математических соотношений, указанных в двух классах определяет оператор модели. В большинстве случаев оператор модели включает в себя систему обыкновенных диф.-ых уравнений, диф.-ых ур.-ий в частных производных, интегро-дифференциальных уравнений или интегральных уравнений.

 Для обеспечения корректности постановки данной задачи к добавлениям ОДУ и др. добавляются граничные и начальные условия, которые, в свою очередь, м. б. алгебраическими или диф.-ми. 
 

 6. Проверка корректности  модели.

 Для контроля правильности полученной системы математических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок:

1. контроль размерностей, включающий правило, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности
2. контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнительных порядков складываемых величин и исключения мало значимых параметров.

 Напр., если для  выражения  в результате оценки установлено, что и , то третьим слагаемым в выражении можно пренебречь.

3. контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных параметров модели, которые получаются в результате выписанных математических соотношений такие, как это следует непосредственно из физического смысла изучаемой модели.
4. Контроль экспериментальных ситуаций – проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а такие результаты моделирования, если параметры системы или их комбинации приближаются к предельно допустимым для них значениям, чаще всего к 0 или к .

 В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, математические соотношения приобретают наглядный смысл, упрощается их проверка.

5. контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они использованы в процессе построения искового решения и что значения выходных параметров на самом деле удовлетворяет граничным условиям.
6. контроль физического смысла – проверка физического или иного, в зависимости от характера задачи смысла исходных или промежуточных соотношений.
7. контроль математической замкнутости, состоящий в проверке того, что система математических соотношений дает возможность, притом однозначно, решить поставленную задачу.