Автор: Пользователь скрыл имя, 23 Апреля 2012 в 17:52, научная работа
Засвоєння поняття нерівностей з модулями потрібне не лише для оволодіння алгоритмами арифметичних дій з додатними та від’ємними числами. Воно сприяє формуванню в учнів різних видів мислення при використанні алгебраїчного змісту модуля, геометричної інтерпретації модуля, при пошуку раціональних способів розв’язування. Саме для перевірки наявності відповідних типів мислення абітурієнтів до завдань вступних іспитів у вищих навчальних закладах, як правило, включають задачі на нерівності з модулями.
Вступ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Означення модуля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Найпростіші лінійні нерівності, що містять модуль. . . . . . . . . . . . . . . . 6
Розв’язання нерівностей, що містять модуль під знаком модуля. . . . . .9
Нерівності, що містять суму модулів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Нерівності, що містять різницю модулів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Квадратні нерівності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Висновки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
9. Література. . . . . . . . . . .
Рівність АХ = ВХ означає, що Х = = 2,5. Це означає, що х < 2,5.
14
Відповідь: х < 2,5.
Отже, можна зробити такий висновок:
1) ½x - a½ ½x - b½+c i c >½a - b½Û х Î Ø
2) ½x - a½<½x - b½+c i c >½a - b½Û х Î R
3) ½x - a½>½x - b½+c i c = ½a - b½Û х Î Ø
4) ½x - a½ ½x - b½+c i c = ½a - b½Û½x - a½=½x - b½+c i c = ½a - b½Û (x - b)(b – a) 0.
5) ½x - a½ ½x - b½+c i c = ½a - b½Û х Î R.
Доведемо ці співвідношення, виходячи з таких властивостей модуля:
1) ½а + b½ = ½а½ + ½b½, якщо аb 0;
2) ½а + b½ ½а½ + ½b½.
Дійсно, згідно умові першого співвідношення та другої властивості маємо
½x
- a½>½x
- b½
+ ½b
- a½
чого бути не може. Тобто х Î Ø, і перше співвідношення доведено.
Доведемо друге співвідношення. За умовою c >½a - b½. Тоді, враховуючи другу властивість,
с +½x
- b½>½b
- а½
+½x
- b½
для всіх х Î R. Тобто друге співвідношення виконується.
За умовою третього
½x
- a½>½x
- b½+c
=½x
- b½+ ½b
- а½
чого не може бути, х Î Ø, і третє співвідношення доведено.
Доведемо четверте
½x - a½>½x - b½+c i c = ½a - b½
½x - a½ ½x - b½+c i c = ½a - b½Û або
½x - a½=½x - b½+c i c = ½a - b½.
Згідно третьому
х b приb а
(x – b)(b
– а)
або
х b приb а,
тобто четверте співвідношення доведено.
Приклад 1:
Розв’язати нерівність:
½х – 1½ ½х – 2½+2.
Розв’язання:
½х – 1½ ½х – 2½+2 Û ½х – 1½ ½х – 2½+2 і ½х – 1½>½х – 2½+½2 –1½ ½(х – 2) + (2 – 1)½= ½х – 1½Û х Î Ø .
Приклад 2:
15
Розв’язати нерівність:
½х – 1½<½х – 2½+2.
Розв’язання:
½х – 1½<½х – 2½+2 Û ½х – 1½<½х – 2½+2 і ½х – 1½+ 2 >½х – 2½+½2 – 1½ ½(х – 2) + (2 – 1)½= ½х – 1½Û х Î R.
І, нарешті, доведення п’ятого співвідношення. Його можна довести, спираючись на таку властивість модуля:
½½a½
- ½b½½
Згідно умові п’ятого співвідношення і поданої властивості маємо
½x
- a½
½x
– b – а +b½
½x
- a½
Ця нерівність виконується.
Приклад 3:
Розв’язати нерівність:
½х + 1½ ½х – 1½+2.
Розв’язання:
Згідно умові п’ятого
Оскільки ця умова виконується,
Нерівність доведено.
7. Квадратні нерівності
Переходимо до розгляду квадратних нерівностей з модулями. Звичайно, розв’язування таких нерівностей зводиться до розв’язування квадратних нерівностей або систем нерівностей.
Приклад 1:
Розв’язати нерівність:
3х²+½х½- 4 > 0.
Розв’язання:
Розглядаючи цю нерівність, як нерівність відносно ½х½, дістаємо:
Перша з цих нерівностей не має розв’язків; з другої виходить, що х>1 або x<-1.
Відповідь: х Î (-∞; -1) ∪ (1; ∞).
Приклад 2:
Розв’язати нерівність:
2х²- 5½х½+ 2 < 0.
Розв’язання:
16