Розв’язування нерівностей з модулями

8

якщо  k>0, і

 < х < ,

якщо  k<0.

   Приклад:

    Розв’язати нерівність:

    2½1-4х½-10 < 0.

    Розв’язання:

Маємо:

½1 - 4х½ < 5  або

½4х - 1½< 5,

звідки

-5 < 4х - 1< 5,

-4 < 4х < 6

-1< х < 1,5.

    Відповідь: х Î (-1; 1,5).

4. Розв’язання нерівностей , що містять модуль під знаком модуля

    Способи розв’язання нерівностей, які містять модуль під знаком модуля аналогічні способам розв’язання рівнянь, що містять модуль під знаком модуля. А саме: можна розпочати з знаку виразу під зовнішнім модулем (можливо він визначений внаслідок невід’ємності внутрішнього модуля або виразу, з яким порівнюється зовнішній модуль); можна скористатись алгебраїчним змістом модуля; можна спиратись на геометричний зміст модуля: можна використати властивості:

1. Якщо ½а½= b, то b ³ 0 i a = ± b.

2. Якщо ½а½£ b, то b ³ 0 i -b£ a£ b.

3. Якщо ½а½< b, то b ³ 0 i –b< a< b.

4. Якщо ½а½³ b, то b ³ 0 i aÎ (-∞;-b] [b; + ∞) або b<0.

5. Якщо ½а½> b, то b ³ 0 i aÎ (-∞;-b) (b;+ ∞) або b<0.

    Можна просто піднести обидві частини нерівності до квадрату. У цьому випадку потрібно не забути обумовити невід’ємність того, що підноситься до квадрату.

    Для розв’язання деяких задач даної тематики інколи достатньо використати означення модуля числа та елементарних навичок розв’язування лінійних нерівностей з модулем.

    Не завжди потрібно йти шляхом  формального розкриття модуля, згідно  його означення. Перш, ніж починати  розв’язування, треба уважно подивитись, може знак виразу під якимось з модулів визначається однозначно і тоді нерівність спрощується.

9

    Якщо “звільнятись” від знаків абсолютної величини, спираючись на алгебраїчний зміст модуля, то зручно “звільнитись” спочатку від внутрішніх модулів, а потім “відкрити” ті модулі, що залишились (бажаючи можуть робити навпаки).

    Зручно розв’язувати нерівності, використовуючи геометричний зміст модуля.

    Приклад:

   Розв’язати нерівність, використовуючи геометричний зміст модуля:

½½х -2½-2½³ 3.

    Розв’язання:

½½х -2½-2½³ 3

якщо 

½х – 2½= t ³ 0,

то 

½t - 2½ ³ 3,

звідси

½х -2½³ 5

Þ

х ³ 7

або

х £ -3

    Відповідь: хÎ (-∞;-3] ∪ [7;+ ∞).

    Деякі завдання можна розв’язувати, підносячи обидві частини нерівності до квадрату. Але потрібно пам’ятати, що підносячи рівність чи нерівність до квадрату, треба переконатись, що ліва і права частини співвідношення невід’ємні.

    Приклад:

   Розв’язати нерівність, підносячи обидві частини нерівності до квадрату:

½½х + 1½- 6½>х.

     Розв’язання:

½½х + 1½- 6½< х,

звідси

 Þ   Þ

 Þ Þ х >2,5.

    Відповідь: х Î (2,5; + ∞).

    Геометрична інтерпретація модуля  “працює” не тільки при порівнянні модуля з відомим числом. Наприклад, останній приклад можна розв’язати наступним чином:

10

½½х + 1½- 6½< х Þ

Þ

   

  Þ Þ х >2,5.

Відповідь: х Î (2,5; + ∞).

    Можна розв’язувати нерівності також, використовуючи властивості, які були наведені раніше. Наприклад, за допомогою властивості: якщо ½а½< b, то b ³ 0 і –b< a< b.

½½2х + 1½-2½< 1 Þ

              Þ     Þ   Þ Þ 

 хÎ (-2;-1) ∪ [0; 1).                                     

   Відповідь: хÎ (-2;-1) ∪ [0; 1).

    Який спосіб розв’язання вибирати – це справа того, хто розв’язує задачу, але потрібно “бачити” всі можливі способи, тоді можна знайти дійсно раціональний у даному конкретному випадку спосіб розв’язання.

5. Нерівності, що містять суму модулів

    Рівняння та нерівності вигляду

а₁½¦₁(х) ½+ а₂½¦₂(х) ½+ . . . + а_n½¦_n (х) ½> g(x) або < g(x)

розв’язуються, як правило, методом інтервалів. Тобто знаходять точки, в яких ¦₁(х), ¦₂(х), . . . , ¦_n (х) змінюють знак. Ці точки поділяють область визначення на проміжки, на кожному з яких всі ¦_і(х), і Î {1, . . ., n} зберігають знак. Потім, використовуючи означення абсолютної величини, на кожному з цих проміжків розкривають модулі, що стоять у лівій частині. Таким чином переходять до розв’язання рівносильної сукупності систем, що не містять знак модуля.

    Приклад:

    Знайти розв’язки нерівності:

    ½х - 1½+½2 - х½>х.

    Розв’язання:

    Вирази під знаком модуля змінюють знак при переході через точки х = 1 та х = 2, відповідно. Знаки (х – 1) і (х – 2) зберігаються  на інтервалах х £ 1, 1 < х £ 2 та х > 2. Для їх визначення інтервалів можна взяти будь-яке число з даних проміжків:

(х –  1)½_х=0< 0, (2 – x)½_x=0 > 0; (x - 1)½_x=1,5 > 0, (2 - x)½_x=1,5 > 0; (x - 1)½_x=10 > 0,

11

(2 - x)½_x=10 <0. 

    Маємо:

  Þ Þ                                                                                       

    Відповідь: х Î (-∞; 1) ∪ (3; + ∞).

    У деяких випадках послідовність точок на числовій осі співпадає з послідовністю доданків, нулями яких були відповідні значення х. Якщо порядок доданків не влаштовує, то його можна змінити. Більш того, якщо під знаком модуля невідоме стоїть на другому місці – можна поставити його на перше й, навіть, змінити знак виразу, що міститься під знаком модуля.

    Метод інтервалів стає в нагоді і тоді, коли під модулем стоїть нелінійний вираз.

    Непотрібно поспішати відразу  розв’язувати нерівність. Інколи розв’язання стає легким і прозорим , якщо спочатку проаналізувати область визначення нерівності, або той факт, що сума модулів не може бути від’ємною.

    В випадках, коли співвідношення, що розглядається має вигляд ½х - а½+½х - b½>c або <c розв’язок можна спростити, якщо використати геометричну інтерпретацію модуля. Розглянемо нерівність ½х - 1½+ ½х + 2½> 3.

    Маємо: ½х – 1½ – відстань між точками Х (х) та А(1), ½х + 2½ – відстань між точками Х(х) та В(-2). Тоді умова означає, що АХ + ВХ > 3. Потрібно на числовій осі розмістити Х(х), щоб нерівність виконувалась. Спочатку на числовій осі позначаємо точки А(1) та В(-2). Відстань між цими точками АВ = 3. Тобто маємо АХ +ВХ = АВ. Отже, х може бути будь-яким числом, крім х Î [-2; 1].

    Відповідь: х Î (-∞; -2) ∪ (1; ∞).