Розв’язування нерівностей з модулями

 Луцьке міське управління освіти

Міське  учнівське товариство “Ерудит”

Наукова філія “Інтелект” 
 
 

                                                                                                     Секція математики  
 
 
 
 
 

Розв’язування

нерівностей з модулями  
 
 
 

                   Робота учениці 5-Б класу

    НВК”Гімназія № 14”

   м. Луцька

       М’якуш Мар’яни

  Євгенівни 

Науковий  керівник

  вчитель математики

Тітова  Світлана

Петрівна 
 
 
 
 
 
 
 

Луцьк - 2006

План 
 

   

1.   Вступ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
2. Означення модуля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4                      
3. Найпростіші лінійні нерівності, що містять модуль. . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Розв’язання нерівностей, що містять модуль під знаком модуля. . . . . .9
5. Нерівності, що містять суму модулів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6. Нерівності, що містять різницю модулів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
7. Квадратні нерівності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8. Висновки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 

      9.  Література. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2

1. Вступ

    Поняття “модуль числа” вперше вводиться у шкільному курсі математики у шостому класі. Але уваги до розв’язання завдань даної тематики приділяється занадто мало. Підручники містять лише окремі задачі на модуль числа.

  Засвоєння поняття нерівностей з модулями потрібне не лише для оволодіння алгоритмами арифметичних дій з додатними та від’ємними числами. Воно сприяє формуванню в учнів різних видів мислення при використанні алгебраїчного змісту модуля, геометричної інтерпретації модуля, при пошуку раціональних способів розв’язування. Саме для перевірки наявності відповідних типів мислення абітурієнтів до завдань вступних іспитів у вищих навчальних закладах, як правило, включають задачі на нерівності з модулями.

    Оволодіння навичками розв’язання задач на нерівності з модулями є умовою не тільки успішного складання вступного іспиту з математики, але необхідно і для подальшого вивчення курсу вищої математики.

    Для досконалого вміння розв’язування завдань на нерівності з модулями потрібно розпочинати їх вивчення від найпростіших завдань на поняття про модуль числа до завдань рівня вступних іспитів до вищих навчальних закладів та олімпіад з математики.

    Нерівності з модулями потрібно  вивчати у системі до вузівської  підготовки, школах (класах) з поглибленим теоретичним та практичним вивченням математики, ліцеях та гімназіях природничо-математичного профілю та самостійно для підготовки до вступних іспитів. Саме тому я вирішила присвятити свою наукову роботу цій темі. 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3

2. Означення  модуля

    Модулем невід’ємного числа називається саме це число, а модулем від’ємного числа називається протилежне йому додатне число.

    Наприклад, модулем числа 5 є  5, модулем числа 0 є 0, модулем  числа -4 є 4. Все це записують  так:

                                    |5| = 5, |0| = 0, |-4| = 4.

    Отже, з означення модуля виходить, що

    Це означення дає вказівку, що треба робити у кожному конкретному випадку для підрахунку модуля числа. А саме:

1. не міняти знак числа, якщо це число додатне;
2. змінити знак числа на протилежний, якщо це число від’ємне;
3. якщо під знаком модуля стоїть “0”, то отримаємо 0.

   Приклад:

    Виконати дії:

½13½+2½-5½-½-2½-1

    Розв’язання:

½13½+2½-5½-½-2½-1 = 13+2×5-2-1 = 20.

    Очевидно модуль числа має  такі найпростіші властивості:

а) модуль числа є число невід’ємне, тобто при будь-якому а

                                              ½а½³ 0;

б) модуль числа не менший від цього числа, тобто при будь-якому а

                                              ½а½³ а;

в) модуль протилежного числа до даного дорівнює модулю даного числа, тобто при будь-якому а

                                               ½-а½=½а½.

     Деякі завдання можна розв’язувати легше. Тобто, якщо це зручно, то під знаком модуля можна змінити знак виразу на протилежний. Але слід пам’ятати, що змінити знак виразу на протилежний означає змінити знак всіх доданків цього виразу.

   Приклад:

    Записати без знака модуля:

½-½а²½-½b½²½                           

    Розв’язання:

½-½а²½-½b½²½ = ½-½а²½-½b²½½ = ½-(-½а²½-½b²½)½ = ½½а²½+½b²½½ = ½а²+b²½= а²+ b².

    Існує кілька теорем про модуль числа.

    Теорема 1.

4

    Модуль алгебраїчної суми кількох дійсних чисел не більший від суми модулів доданків, тобто

½а₁ + а₂ + . . . + а_n½£½а₁½+½а₂½+ . . . +½а_n½.

    Якщо доданки невід’ємні або  недодатні, то модуль суми дорівнює  сумі модулів доданків; якщо доданки мають різні знаки, то модуль суми менший від суми модулів доданків.

    Наприклад,

½-3 + (-5) + (-7)½=½-15½= 15, ½-3½+½-5½+½-7½= 3 + 5 + 7 = 15.

    Доведення.

    Доведемо цю теорему для n = 2. Нехай а₁+а₂ ³ 0, тоді оскільки

½а₁½³ а₁ і½а₂½ ³ а_2, то

½а₁ + а₂½ = а₁ + а₂ £ ½а₁½ +½а₂½

    Нехай а₁ + а₂ < 0, тоді, оскільки ½а₁½³ -а₁ і ½а₂½³ -а₂, то

½а₁ + а₂½= -(а₁ + а₂) = -а₁ – а₂ £ ½а₁½ +½а₂½.

    Наведене поняття легко поширюється  на будь-яку кількість доданків.

    Теорема 2.

    Модуль різниці двох дійсних чисел не менший від різниці модулів цих чисел, тобто

½а - b½³ ½а½ - ½b½.

    Доведення.

    Застосовуючи теорему 1, дістанемо

½а½ = ½(а - b) + b½£½а - b½+½b½,

звідки

½а - b½³ ½а½- ½b½.

    Якщо а – b і b невід’ємні або недодатні, то ½а - b½=½a ½- ½b½; якщо а – b і b мають різні знаки, то ½а - b½ >½a½- ½b½.

    Наприклад,

½8 - 3½ = ½8½ - ½3½,

½-5 - (-2) ½ = ½-5½-½-2½,

½-7  -  10½>½-7½ - ½10½,