Розв’язування нерівностей з модулями

    Для використання геометричної  інтерпретації модуля числа при  розв’язанні нерівностей корисно зафіксувати такий висновок:

½х - а½+½х - b½³½а - b½,

при всіх х Î R.

    Дійсно, якщо х Î [АВ], де А(а), В(b), то АХ + ХВ = ½а - b½, ½x - a½+½x - b½=½a - b½.

    Якщо ж х Ï [АВ], то АХ + ХВ > ½а - b½, ½x - a½+½x - b½>½a - b½.

    Тобто маємо:

½x –a½+½x - b½=½a - b½,

при х Î [min{a; b}; max{a; b}];

½x –a½+½x - b½>½a - b½,

12

при х Ï [min{a; b}; max{a; b}].

    Приклад 1:

   Розв’язати нерівність:

    ½х - 1½+½2 - х½>1.

    Розв’язання:

½х - 1½+½2 - х½>1 Û х Î (-∞; 1) ∪ (2; ∞),

бо ½х - 1½+½х - 2½>½2 - 1½=1  Û х Ï [1; 2].

    Відповідь: х Î (-∞; 1) ∪ (2; ∞).

    Приклад 2:

   Розв’язати нерівність:

    ½х + 1½+½х - 3½<5.

    Розв’язання:

    За геометричним змістом модуля  розв’язком рівняння ½х + 1½+½х - 3½=5 будуть точки, що віддалені від точок А(-1) та В(3) на відстань l, яка визначається з співвідношення 2l + 4 = 5 Û l = 0,5.

    Тоді розв’язком даної нерівності будуть точки, що віддалені від А та В на відстань меншу за 0,5, та точки проміжку [-1; 3] (бо останні відповідають умові АХ + ХВ = 4 < 5).

    Відповідь: х Î (-1,5; 3,5).

    Нерівності, що містять суму лінійних  виразів під знаками модулів,  можна розв’язувати, спираючись  на такі властивості модуля:

1) ½а½³ 0;

2) ½а½³ а;

3) ½-а½=½а½, і тоді ½-c - d½=½c + d½, a ½x - y½=½y - x½;

4) ½a ×b½=½a½×½b½;

5) ½ ½= , при b ≠ 0;

6) ½aⁿ½=½a½ⁿ, і тоді а²=½а²½=½а½²;

7) ½а½+½b½= a + b, якщо а ³ 0 і b ³ 0;

8) ½a + b½=½a½+½b½, якщо аb ³ 0 ;

9) ½a + b½=½½a½-½b½½, якщо ab 0;

10) ½a + b½ ½a½+½b½

і також  на ті, що наведені у темі про розв’язування нерівностей, які містять знак модуля під знаком модуля.

    Потрібно звернути увагу на нерівності такого виду:

½kx - a½>½nx - b½ або < ½nx - b½

   Їх можна розв’язувати методом інтервалів, можна піднести до квадрату, а можна використати властивість:

½a½-½b½³ 0 Û a² - b² ³ 0.

13

    Приклад:

   Розв’язати нерівність:

    ½2х - 3½> ½3х + 5½.

    Розв’язання:

½2х - 3½ - ½3х + 5½>0.

    Якщо помножити ліву і праву  частину отриманої нерівності  на додатну величину (½2х - 3½+½3х + 5½), то дістанемо

(2х - 3)² - (3х + 5)² > 0 Û

Û((2х – 3) – (3х + 5))((2х – 3) + (3х + 5)) > 0 Û

Û (-х – 8)(5х + 2) > 0 Û х Î (-8; -0,4).

    Відповідь: х Î (-8; -0,4). 

6. Нерівності, що містять різницю модулів

    Спираючись на геометричну інтерпретацію співвідношень цих рівностей:

1. ½х - а½=½х - b½Û X= , a b;

2 .½x - a½=½x - b½+c i c = ½a - b½Û x b при b a або x b при b a;

3. ½x - a½=½x - b½+c і 0 < c < ½a - b½Û x = b – l при b > a або x = b + l при b < a;

4. ½x - a½=½x - b½+c i c > ½a - b½Û х Î Ø

нескладно проаналізувати співвідношення нерівності:

½x - a½>½x - b½ та

½x - a½>½x - b½ + с або < ½x - b½ + с.

    Дійсно, співвідношення  ½х - а½=½х - b½означає рівність відрізків АХ = ВХ, де Х(х), В(b), А(а). Тобто Х = , як середина відрізка АВ.

    Тоді ½x - a½>½x - b½ означає, АХ > ВХ і при b > a, і при b < a.

    Маємо:

x > при b > a

½x - a½>½x - b½ Û

                або

x < при b < a.

    Приклад:

    Розв’язати нерівність:

   ½х - 3½> ½2 - х½.

    Розв’язання:

  ½х - 3½ – відстань між точками Х(х) та А(3).

   ½х –2½ – відстань між точками Х(х) та В(2).