Шпаргалка по "Высшей математике"

1а.Понятие функции многих переменных

Пусть имеется n-перем-х и каждому х₁, х₂… х_n из нек-го множ-ва х поставлено в соответствие опред. число Z, тогда на множ-ве х задана ф-ция Z=f(х₁, х₂… х_n) многих переменных.

Х – обл-ть опред-я  ф-ции

х₁, х₂… х_n – независ-е переем-е (аргументы)

Z – ф-ция  Пример: Z=П х²₁*х₂  (Объем цилиндра)

Рассм-м Z=f(х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х₁, х₂ замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции      многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.

  Приемы построения  графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти  пл-тями || координатным пл-тям.

  Пример: х = х₀, зн. пл-ть Х || 0уz  у = у₀  0хz    Вид ф-ции: Z=f(х₀,y); Z=f(x,у₀)

  Например: Z=x²+y²-2y

       Z= x²+(y-1)²-1 x=0     Z=(y-1)²-1 y=1    Z= x²-1 Z=0     x²+(y-1)²-1

           Парабола окруж-ть(центр(0;1)

  

 

1б.Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных

Пусть задана Z=f(х;у), тогда А – предел ф-ции в т.(х₀,y₀), если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у удовл-щих |x-х₀|<б; |y-y₀|<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|<E

Z=f(х;у) непрерывна в т.(х₀,y₀), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х₀ и у к у₀; - этот предел = знач-ю

ф-ции в т.(х₀,y₀), т.е. limf(х;у)=f(х₀,y₀)

Если ф-ция непрерывна в кажд. т. мн-ва Х, то она непрерывна в этой области

 

1в.Частные производные первого и второго порядка

Производная первого  порядка(которая называется частной) Пусть х, у – приращения независимых переменных х и у в некоторой точке из области Х. Тогда величина, равная z = f(x+ х, y+ у) = f(x,y) называется полным приращением в точке х_0,у_0.Если переменную х зафиксировать, а переменной у дать приращение у, то получим zу = f(x,y,+ у) – f(x,y). Аналогично определяется частная производная от переменной у, т.е.

z’_x = Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной.

Отличие состоит  в том, что при дифференциации функции по переменной х , у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const.

Для ф-и 2-х переем-х сущ 4 части произв-х 2 порядка:   

 

 

1г.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения

Пусть z = f(x,y), тогда

dz = - наз полным дифференциалом

Учитывая, что  для ф-и f(x,y)=x, f(x,y)=y, df(x,y)=∆x=dx, df(x,y)=∆y=dy, полный диф-л можно записать в виде:

Геометрич смысл.

О. Т. наз max(min) ф-и z = f(x,y), если сущ некот окрест-ть т. такая, что для всех x,y из этой окрест-ти вып-ся нер-во f(x,y)<f (max) или f(x,y)>f (min).

Т.: Если задана точка экс-ма ф-и 2-х переем-х , то знач-е частных произв-х в этой точке = 0, т.е. ,

Точки , в которых частные производные первого порядка называются стационарными или критическими.

Поэтому для нахождения точек экстремума функции 2-х переменных используются достаточные условия  экстремума.

Достат усл-е  экстр-ма: Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка,

A = , B = , C = , , тогда

1) , причем max, если A<0, min, если A>0.

2) , экстр-ма в т. нет

3) , треб-ся доп исслед-е

Понятие полного дифф-ла прим-ся в приближ выч-ях знач-й ф-и 2-х переем-х, исп-ся след формула:

Проблемы:

1) выбор точки  ; 2) устан-ть вид вычисл-мой ф-и

 

2.Экстремум функции двух переменных

Необходимые условия  экстремума

О. Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой - окрестности точки . Тогда функция z = f(x,y) имеет в точке максимум(минимум), если для всех точек этой окрестности выполняется неравенство

Т.(необходимое  условие экстремума) 

Пусть функция  z = f(x,y) имеет экстремум в точке . Тогда если в этой точке существуют конечные частные производные первого порядка, то они равны нулю.

Как и в случае функции одной переменной, точки, в которых все частные производные  первого порядка равны нулю, называются критическими или точками, подозрительными  на экстремум.

Заметим, что равенство  нулю частных производных первого  порядка – условие недостаточное. Действительно, рассмотрим, например, функцию z = xy. Частные производные и равны 0 в точке (0,0), однако она не является точкой экстремума (так как в ее окружности функция z = xy может принимать и положительные значения).

Т.(достаточные  условия экстремума)

Пусть функция  z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка,

A = , B = , C = , , тогда 1) , причем max, если A<0, min, если A>0. 2) , экстр-ма в т. нет 3) , треб-ся доп исслед-е

2б.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных z = f(x,y) в непрерывном на некотором замкнутом множестве Х (глобальный max и глобальный min) достигают в точках или в точках экстремумов, или на границе области.Условный экстремум Пусть дана функция 2-х переменных z = f(x,y), аргументы которой х и у связаны соотношением g(x,y)=0(которое называется уравнением связи). Тогда задача нахождения экстремума функции z = f(x,y) при условии, что g(x,y)=0, называется задачей на условный экстремум. 1 из алгоритмов реш-я этой задачи сводится к след а) ур-е связи

z = f(x, ), получаем функцию одной переменной. б) Метод множителей Лагранжа

 

 

3.М-д наим квадр-в. Выравн-е эмпирич данных по прямой

На практике часто  приходится решать задачи сглаживанию эксперимент завис-тей.

Пусть сущ завис-ть для 2-х переем-х, выраженная с пом таблицы, получ экспериментально

X                …           …

Y                …           …

Требуется наилуч образом сгладить эксперимент завис-ть м/д переем-ми х и у, т.е. установить зав-ть м/д х и у в виде формулы y = f(x).

О. Формулы, служ для аналитич представлений эксперимент данных, называются эмпирическими.

Задача  нах-я эмпирич формул разбивается на 2 этапа.

I этап

Устанавливается вид зависимости y = f(x) (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.).

II этап

Опред-ся неизв  пар-ры этой ф-ии. Для этого применяют наиболее распр и теоретически обоснованный метод наименьших квадратов. Он состоит в следующем:

В кач-ве неизв  пар-ра ф-и f(x) выб-т такие знач-я, чтобы суммы кв-тов невязок ( )  была мин. Невязка ( ) – это –откл-е от «теоретич» знач-й , найд по эмпирич формулам y = f(x) от соответствующих опытных знач-й . Рассм-м функцию (т.е. сумму квадратов всех невязок) Пусть в кач-ве ф-и у = f(x) взята лин ф-я у = ax + b. Тогда задание сводится к отыскиванию пар-ов a и b, при кот ф-я принимает наим зн-е. Очевидно, что S = S(a,b) есть ф-я 2-х переем-х a и b, а и - пост числа, полученные экспериментально.

Т. о., достаточно исслед-ть ф-ю S = S(a,b) на экстремумах. Находим частные производные

 или

После преобразований, система принимает вид:

(**)   Система (**) - система норм уравнений т.к квадрат ∑ >∑-мы квадратов

Ф-я S = S(a,b) достигает своего min при a и b, найд из сист (**). Для этого проверим достаточные условия экстремума:

функция достигает min (глобальный min).

 

 

4.Неопред интеграл, первообразная и их св-ва.

Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (a;b). Если функция F(x) имеет производную на интервале (a;b) и для всех x € (a;b) выполняется равенство F’(x) = f(x), то функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b). Т.: Если F(x) первооб-я ф-и f(x), то F(x)+С тоже пер-я. О. Мн-во всех перв-х ф-й F(x)+С для данной ф-и f(x) наз. неопред интегр ф-и f(x) обозн-ся

 

Св-ва НИ:

 

 

 

5.Интегрир-е путем замены переменной (подстановкой)                    

М-д подстановки

∫f(x)dx=  [x=φ(t),t=ψ(x),dx=φ’(t)dt] =∫f(φ(t)φ’(t)dt

Если интеграл непосредственно  не вычисляется,можно применить метод,кот. состоит в след.:

-вводится новая переменная

x=φ(t),где t=ψ(x) явл. обратной по отношению к φ(t),  dx=φ’(t)dt- дифференциал ф-ции x=φ(t)

Если подстановка выбрана  удачно, то интеграл, получ в правой части, вычисляется проще, чем в исходной.

Если ф-ция x=φ(t) непрерывна и монотонна,то обратн.  t=ψ(x) всегда сущ.

Вычислив интеграл в  правой части по t,следует вернуться к переменной x

∫f(ψ(x)) φ’(x)dx=∫f(t)dt, где t=ψ(x)

 

1  ∫f(ax+b)dx= ax+b=t, x=(t-b)/a

                         dx=1/a dt

=∫f(t)1/a dt=1/a ∫f(t)dt=1/a F(t)+C=

=1/a F(ax+b)+C

2   ∫ f’(x)/f(x) dx=  ln f(x)   +C

3  ∫  df(x)/f(x) =  ln f(x)   +C                                        

 

 

5а Метод интегрирования по частям

Задано: U=U(x), V=V(x),известно: d(UV)=VdU+UdV

проинтегрируем обе части  уравнения:

  ∫ d(UV)=  ∫ VdU+ ∫ UdV

UV=∫ VdU+ ∫ UdV=> ∫UdV=UV-∫VdU- ф-ла интегр-я по частям

Смысл ф-лы интегр-я по частям сост в след.: подинтегр выраж-е UdV разб-ся на 2 части т. о.,чтобы интеграл в правой части вычислялся проще,чем исходный.

Основные  классы ф-ций,интегрируемых по частям:

1 ∫ ln^m(x)dx, ∫arcsin^mxdx, ∫arccos^m xdx,∫arctg^m xdx

2 ∫Pn(x)lnaxdx,∫Pn(x)e^axdx,∫ Pn(x)sinaxdx,

∫Pn(x)cosaxdx

3 ∫e^axsinbxdx,∫e^axbxdx

4 ∫ (x²+a²)½dx, ∫(a²- x²)½dx, ∫ dx/(x²+a²)^k

72.Определенный интеграл с переменным верхним пределом               

Ф-я вида  , где x наз интегралом c перем верхним пределом.

Т: Если непрер на , то произв-я ф-и  , сущ в каждой точке на , причем

 

6-7. Интегрирование  выражений, сод-х квадратный трехчлен

x+p/2=t  dx=dt  a²= или

_IV

 

V.        p²/4-q>0

      p²/4-q<0

 

 

 

 

7Интегрирование рациональных дробей

1. Многочленом степени  n наз-ся выражение вида a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=P_n(x)

Рациональной дробью наз-ют отношение двух многочленов вида При n=0 вычисление интеграла никаких трудностей не представляет

Интерес представляют рациональные дроби, у кот. n>0 При этом будем рассматривать дроби, у кот. m<n   Если m>=n, то применяют процедуру деления многочленов уголком

2. Интегрирование простейших  дробей

I.    x-a=t dx=dt

II. x-a=t  dx=dt  

 

 

 

 

 

 

 

 

8   Определение опред. интеграла

Пусть зад ф у=f(x), кот непрер на некот. замкнутом инт-ле [a,b].

Разбиваем инт-л [a,b] на n частей; абсциссы точек дел-я a=x₀<x₁<x₂<…<x_i-1<x_n-1<x_n=b обозн x₁,x₂,…x_n. Кажд частичный инт-л обозн ∆x₁=x₁-x₀, ∆x₂=x₂-x₁, ∆x_i=x_i-x_i-1, ∆x_n=x_n-x_n-1. В каждом частичном инт-ле ∆x_i , i= 1;n выберем т. и выч-м ﻉ_I , y=f(x), y=f(ﻉ₁) , f(ﻉ₂) , … f(ﻉ_i) ,… f(ﻉ_n) Cост-м произв-е f(ﻉ₁)∆x₁, f(ﻉ₂)∆x₂ , … f(ﻉ_i)∆x_i ,… f(ﻉ_n)∆x_n. Кажд из этих произв-й предст собой полоску шириной ∆x_i и высотой f(ﻉ_i).

О1. Сумма f(ﻉ₁)∆x₁+ f(ﻉ₂)∆x₂ + … f(ﻉ_i)∆x_i +… f(ﻉ_n)∆x_n=∑ f(ﻉ₁)∆x₁ наз интегр суммой ф. f(x) на инт-ле [a,b]. С геом. точки предст собой S ступенчатой фигуры.

Обозн наиб. из разностей ∆x₁₌ x_i-x_i-1 через ОХ. Тогда имеет место определение 2.

О2. Сущ кон предел интегр ∑, т.е. f(ﻉ₁)∆x₁ и он не зав-т от СП-ба разбиения инт-ла  [a,b] и выбора точек ﻉ₁ на частичных инт-лах ∆x_i, то этот предел наз  опред интегралом ф. f(x) на [a,b] и обозн

Т. Для всякой непрер ф-и интеграл сущ.

 

 

8а Геом. смысл опред. интеграла.

Опред интеграл опред-т  точное зн-е S криволин тр-и.