2.Исследование  уравнения прямой 

   Уравнением  линии называется уравнение с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

   Входящие  в уравнение линии переменные x и y называются текущими координатами, а буквенные постоянные - параметрами.

   Чтобы составить уравнение линии как  геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:

1) взять произвольную (текущую) точку M(x, y) линии;  
2) записать равенством общее свойство всех точек M линии;  
3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через текущие координаты точки M(x, y) и через данные в задаче. 

   В прямоугольных  координатах уравнение прямой на плоскости задается в одном из следующих видов:

   2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b, (1)

где k - угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс того угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, причем этот угол отсчитывается от оси Ox к прямой против часовой стрелки, b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При b = 0 уравнение (1) имеет вид y = kx и соответствующая ему прямая проходит через начало координат.

   Уравнением (1) может быть определена любая прямая на плоскости, не перпендикулярная оси  Ox.

   Уравнение прямой с угловым коэффициентом  разрешено относительно текущей  координаты y.

   2.2. Общее уравнение  прямой

Ax + By + C = 0. (2)

   Частные случаи общего уравнения прямой:

   а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид

Ax + By = 0,

и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению.

   б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид

Ax + С = 0, или

   Уравнение не содержит переменной y, а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy.

   в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид

By + С = 0, или

уравнение не содержит переменной x, а определяемая им прямая параллельна оси Ox.

   Следует запомнить: если прямая параллельна  какой-нибудь координатной оси, то в  ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

   г) При  C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.

   Это уравнение  оси Ox.

   д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.

   Это уравнение  оси Oy.

   2.3. Уравнение прямой в отрезках на осях

где a - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox; b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

   Каждый  из этих отрезков отложен от начала координат.

   Особенности этого уравнения такие: в левой  части уравнения между дробями  сосит знак плюс, величины a и b могут быть как положительными, так и отрицательными, правая часть уравнения равна единице.

   2.4. Нормальное уравнение  прямой

   Здесь p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, измеренная в единицах масштаба, а - угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ox. Отсчитывается этот угол от оси Ox против часовой стрелки. Для приведения общего уравнения прямой (2) к нормальному виду обе его части надо умножить на нормирующий множитель:

причем перед  дробью следует выбрать знак, противоположный  знаку свободного члена C в общем уравнении прямой (2).

   Особенности нормального уравнения прямой: сумма  квадратов коэффициентов при  текущих координатах равна единице, свободный член отрицателен, а правая его часть равна нулю.

     2.5.Построение  прямой по ее уравнению

   Прямая  вполне определена, если известны две  принадлежащие ей точки. Для того чтобы построить прямую по ее уравнению, надо, пользуясь этим уравнением, найти  координаты двух ее точек. Твердо следует  помнить, что если точка принадлежит  прямой, то координаты этой точки удовлетворяют  уравнению прямой. 

   При практическом построении прямой по ее уравнению  наиболее точный график получится тогда, когда координаты взятых для ее построения двух точек - целые числа.

   1. Если прямая определена общим уравнением Ax + By + C = 0 и , то для ее построения проще всего определить точки пересечения прямой с координатными осями.

   Укажем, как определить координаты точек  пересечения прямой с координатными  осями. Координаты точки пересечения  прямой с осью Ox находят из следующих соображений: ординаты всех точек, расположенных на оси Ox, равны нулю. В уравнении прямой полагают, что y равно нулю, и из полученного уравнения находят x. Найденное значение x и есть абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox. Если окажется, что x = a, то координаты точки пересечения прямой с осью Ox будут (a, 0).

   Чтобы определить координаты точки пересечения  прямой с осью Oy, рассуждают так: абсциссы всех точек, расположенных на оси Oy, равны нулю. Взяв в уравнении прямой x равным нулю, из полученного уравнения определяют y. Найденное значение y и будет ординатой пересечения прямой с осью Oy. Если окажется, например, что y = b, то точка пересечения прямой с осью Oy имеет координаты (0, b).