Кривые второго порядка, исследование уравнения прямой

    Эллипс  обладает многими замечательными свойствами. Приведем без доказательства одно из них (рис. 12.6).

Предложение 12.2 Пусть и -- фокусы эллипса, -- произвольная точка на эллипсе. Тогда нормаль (перпендукуляр к касательной) к эллипсу в точке делит угол пополам.

     

    

Рис.12.6.Отражение лучей света от эллипса 

    Данное  свойство имеет достаточно простой  физический смысл. Если из одного фокуса выходит в плоскости эллипса  луч света, то отразившись от самого эллипса, он обязательно пройдет  через другой фокус. Возьмем поверхность, образованную вращением эллипса  вокруг большой оси, и будем считать, что внутри она зеркальная. В один из фокусов поместим источник света. Тогда все лучи, выходящие из источника, отражаясь от поверхности, пройдут  через другой фокус, то есть освещенность в обоих фокусах будет одинаковой.  
 

1.3.Гипербола

      Из  школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , где -- число, называется гиперболой. Однако это -- частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).

      Определение 12.5 Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

    Так же, как и в случае эллипса, для  получения уравнения гиперболы  выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось  направим вдоль этого отрезка, а ось ординат -- перпендикулярно к нему.

Теорема 12.3 Пусть расстояние между фокусами и гиперболы равно , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение

      

       

      где

      

       

      Доказательство. Пусть -- текущая точка гиперболы (рис. 12.9).

     

    

Рис.12.9. 

    Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то , то есть , . В силу последнего неравенства вещественное число , определяемое формулой (12.9), существует.

    По  условию, фокусы -- , . По формуле (10.4) для случая плоскости получаем

      По  определению гиперболы 

      

      Это уравнение запишем в виде

      

      Обе части возведем в квадрат:

      

      После приведения подобных членов и деления  на 4, приходим к равенству 

      

      Опять обе части возведем в квадрат:

      

      Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим 

      

      С учетом формулы (12.9) уравнение принимает вид

      

      Разделим  обе части уравнения на и получим уравнение (12.8)

    Уравнение (12.8) называется каноническим уравнением гиперболы.

Предложение 12.3 Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси и , а начало координат -- центр симметрии гиперболы.

      Доказательство. Проводится аналогично доказательству предложения 12.1.

    Проведем  построение гиперболы, заданной уравнением (12.8). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнения как функцию , при условии, что ,

      и построим график этой функции.

    Область определения -- интервал , , функция монотонно растет. Производная

      существует  во всей области определения, кроме  точки  . Следовательно, график -- гладкая кривая (без углов). Вторая производная

      

      во  всех точках интервала  отрицательна, следовательно, график -- выпуклый вверх.

    Проверим  график на наличие асимптоты при . Пусть асимптота имеет уравнение . Тогда по правилам математического анализа

      

      Выражение под знаком предела домножим и разделим на . Получим

      

      Итак, график функции имеет асимптоту  . Из симметрии гиперболы следует, что -- тоже асимптота. Остается неясным характер кривой в окрестности точки , а именно, образует ли график и симметричная ему относительно оси часть гиперболы в этой точке угол или гипербола в этой точке -- гладкая кривая (есть касательная). Для решения этого вопроса выразим из уравнения (12.8) через :

      

      Очевидно, что данная функция имеет производную  в точке  , , и в точке у гиперболы есть вертикальная касательная. По полученным данным рисуем график функции (рис. 12.10).

     

    

Рис.12.10.График функции

 

    Окончательно, используя симметрию гиперболы, получаем кривую рисунка 12.11.

     

    

Рис.12.11.Гипербола 

      Определение 12.6 Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением (12.8), с осью называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками и называется мнимой осью. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина называется эксцентриситетом гиперболы.

      Замечание 12.3 Из равенства (12.9) следует, что , то есть у гиперболы . Эксцентриситет характеризует угол между асимптотами, чем ближе к 1, тем меньше этот угол.

      Замечание 12.4 В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинами и может быть произвольным. В частности, при мы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее уравнение имеет знакомый вид , если взять , а оси и направить по биссектрисам четвертого и первого координатных углов (рис. 12.12).

     

    

Рис.12.12.Равносторонняя гипербола

 

    Для отражения на рисунке качественных характеристик гиперболы достаточно определить ее вершины, нарисовать асимптоты  и нарисовать гладкую кривую, проходящую через вершины, приближающуюся к  асимптотам и похожую на кривую рисунка 12.10.  

      1.4.Парабола 

      Определение 12.7 Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.

      Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей  этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого  из фокуса опустим перпендикуляр на директрису . Начало координат расположим на середине отрезка , ось направим вдоль отрезка так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора . Ось проведем перпендикулярно оси (рис. 12.15).

     

    

Рис.12.15. 

      Теорема 12.4 Пусть расстояние между фокусом и директрисой параболы равно . Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение

      

       

      Доказательство. В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка , а директриса имеет уравнение (рис. 12.15).

    Пусть -- текущая точка параболы. Тогда по формуле (10.4) для плоского случая находим

      Расстоянием от точки  до директрисы служит длина перпендикуляра , опущенного на директрису из точки . Из рисунка 12.15 очевидно, что . Тогда по определению параболы , то есть

      

      Возведем  обе части последнего уравнения  в квадрат:

      

      откуда 

      

      После приведения подобных членов получим  уравнение (12.10).

    Уравнение (12.10) называется каноническим уравнением параболы.

Предложение 12.4 Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью .

      Доказательство. Проводится так же, как и доказательство (предложения 12.1).

    Точка пересечения оси симметрии с  параболой называется вершиной параболы.

    Если  переобозначить переменные , , то уравнение (12.10) можно записать в виде

      который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Поэтому параболу нарисуем без дополнительных исследований (рис. 12.16).

     

    

Рис.12.16.Парабола 

Предложение 12.5 Пусть -- фокус параболы, -- произвольная точка параболы, -- луч с началом в точке параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке делит угол, образованный отрезком и лучом , пополам.

     

    

Рис.12.18.Отражение светового луча от параболы 

    Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.