Международный университет природы, общества и  человека «Дубна» 

   Филиал  «Котельники» 

Кафедра естественных и гуманитарных дисциплин 
 
 

Курсовая  работа

«Кривые и поверхности второго порядка» 
 
 

                                    Выполнил: ст.гр. ИВТ-11

                                    ____________Голубцов Н.А. 

                                    Проверили:

                                     _______________доц. Тайманов  В.А.

                                    ______________ст.преп.Ежова  Г.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2004г

 

     

Оглавление

Цель курсовой работы

     Целью курсовой работы является исследование зависимости типа кривой от параметра, приведение уравнения кривой к каноническому виду при помощи параллельного переноса и поворота на некоторый угол; исследование поверхности второго порядка методом сечений. А также построение графиков кривой, поверхности и ее сечений в Microsoft Excel.

Постановка задачи

• Анализ  кривой второго порядка с использованием инвариантов:

1. Определение зависимости типа кривой от параметра β с помощью инвариантов;
2. Приведение уравнения кривой при β=0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат;
3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот (если они есть) данной кривой второго порядка;
4. Написание уравнения осей канонической системы координат;
5. построение кривой в канонической и общедекартовой системе координат.

• Исследование кривой второго порядка методом сечений:

1. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений;
2. Построение поверхности в канонической системе координат.

Исходные  данные

     Кривая: кривая второго порядка, заданная в  общедекартовой системе координат и имеющая вид: 

  

     Поверхность: второго порядка, заданная в канонической системе координат и имеющая  вид: 

 
 
 

.Определить  зависимость типа кривой от  β с помощью инвариантов. 

 

Решение. Для уравнения имеем:

а₁₁=9+β, а₁₂= -12, a₂₂=16, а₁₃ =- 4, а₂₃ = 9.5, а₃₃ = 4.

Вычислим инварианты кривой :

 

  

 

 

 

В соответствии с классификацией кривых второго  порядка :

I. Если I₂ =0, то уравнение определяет кривую параболического типа. Но если ,то уравнение определяет кривую параболического типа 

П. Если I₂ ≠0, то данная кривая — центральная. Следова-

тельно, если β≠0, то данная кривая - центральная. 

1. Если I₂ > 0, то уравнение определяет кривую эллиптического типа.

Следовательно, если β > 0, то данная кривая есть кривая эллиптического типа.

Но при этом I₁I₃ = -16β(156,25+26,25)<0, и в соответствии с признаками кривых второго порядка (_I2 > 0, I₁I₃ < 0 ) получим:

если  то уравнение  определяет эллипс.

2. Если I₂ < 0, то уравнение определяет кривую гиперболического типа.

Следовательно, если β<0, то уравнение определяет кривую гиперболического типа.

а) Если I₂ <0, и I₃ =0, то уравнение определяет две пересекающиеся

прямые. Получим:

. 

Следовательно, если β =-125/21, то уравнение определяет две пересекающиеся прямые.

б) Если I₂ < 0, и I₃ ≠ 0, то данная кривая — гипербола. Но

I₃ ≠ 0 при всех β <0за исключением точки β = -125/21. 

Следовательно, если , то уравнение определяет гиперболу.

 Используя полученные результаты, построим таблицу:

 
 
 

Пусть дано уравнение, определяющее кривую второго порядка параболического типа: 

а₁₁х² + 2а₁₂ху + а₂₂у² + 2а₁₃х + 2а₂₃у + а₃₃ =0. 

а₁₁=9, а₁₂ =12, a₂₂=16, а₁₃= 4, а₂₃ =9.5 , а₃₃= 4. 
 

а) Если a_l2=0, то выполним преобразование поворота осей координат на угол α.

При этом координаты x, у произвольной точки М плоскости в системе координат xОy и координаты Х', y' в новой системе координат х'Оу' связаны соотношениями

x= x'cosα - y'sinα 

у = х' sinα + у' cosα.

Подставляя в  уравнение кривой, получим 

a₁₁(x'cosα - y'sinα)² + 2a₁₂(x'cosα - y'sinα)(x'sinα+y'cosα) +

+ a₂₂(x' sinα+ y'cosα² +2a₁₃(x'cosα-y'sinα)+

+2a₂₃(x'sinα + y'cosα)+a₃₃ =0.

Раскроем скобки:

a₁₁(x'²cos²α - 2x' y'cosαsinα + y'²sin²α) + 2a₁₂ (x'²cosαsinα -x' у'sin²α + x'y'cos²α - y'²cosαsinα)+

+ a₂₂(x'²sin²α + 2x'y'cosαsinα+y'²cos²α) + 2a₁₃(x'cosα - у'sinα)+

+ 2a₂₃ (x' sinα + y'cosα) + a₃₃ = 0.

Приводя подобные члены, получим уравнение:

x'²(a₁₁cos²α+ 2a₁₂cosαsinα+a₂₂sin²α)+2x'у'[(а₁₂ -a₁₁)cosαsinα+a₁₂(cos ²α-sin²α)]+

+ y'²(a₁₁ sin²α-2a₁₂ cosαsinα +a₂₂ cos²α) +2x'(a₁₃cosα + a₂₃sinα) +

+ 2y'(-a₁₃sinα + a₂₃ cosα) + a₃₃ = 0. 

Выберем угол α такой, что в преобразованном уравнении коэффициент при произведении х’ y’ равен нулю:

(a₂₂ -a₁₁)cosαsinα + a₁₂(cos² a –sin² a) = 0. Это требование эквивалентно уравнению 
 

7cosαsinα-12cos² α+12sin²α=0

12tg²α+7tgα-12=0

tgα₁=-4/3 tgα₂=3/4

cos α = 4/5 sin α = 3/5

После поворота на угол а, удовлетворяющий условию , уравнение не будет содержать слагаемое с произведением

х'у', а  также слагаемое с х^л (или у^а), так как (1:1) определяет

кривую  параболического типа. Следовательно, в новой системе координат х'Оy’ исходное уравнение примет вид:

у'² (a₁₁ sin² а - 2a_l2 cosasinα + a₂₂ cos² а) + 2(a_l3 cosa + а₂₃ sin a) +

+ 2y’(-а₁₃ sin a + a₂₃ cos a)+ а₃₃ ⁼ 0

Вводя обозначения

b₂₂ = а₁₁ sin² a - 2a_l2 cos a sin a + a₂₂ cos² а=25

b₂₃  = -a₃₃ sin a + a₂₃ cos a=10

b₁₃  = a₃₃ sin a + a₂₃ cos a=25

b₃₃ = a₃₃= 4

получим уравнение кривой в новой системе  координат х'Оу'

b₂₂ y’² + 2b_l3 x' + 2b₂₃y’ + b₃₃ =0,   b₂₂≠0.     

25y²+5x+20y+4=0            

Выделяя по у^’ полный квадрат, приведем уравнение к виду 

б) Дальнейшее упрощение уравнения достигается при помощи преобразования

по формулам  

что соответствует  параллельному переносу начала координат в точку 

 
 

Подставляя, получим уравнение кривой в системе координат XO'Y 

b₂₂ Y²+2b_l3 X=0

  

25y²+5x=0 . p=1/10

                          

соответствующее одному из канонических уравнений .  

3.Найти фокусы, директрисы, эксцентриситеты и асимтоты  данной кривой.

Фокус F лежит на оси Ox на расстоянии P/2 от вершины, то есть имеет координаты (1/20 ; 0). Директриса l имеет уравнение x = -p/2, то есть x = -1/20.

Эксцентриситет  ε = с/a, c=1, ε = 1 . 

4.Написать уравнение  осей канонической системы координат.

Расположение  параболы относительно начальной  системы  координат будет известно, если будут известны вершина параболы и вектор, направленный по ее оси в сторону вогнутости.

Координаты вершины  вершины параболы определяются при  решении уравнения оси параболы совместно с уравнением параболы: 

   

      Напишем уравнения осей канонической системы координат XO'Y в исходной (общей) системе координат хОу. Так как система XO'Y каноническая для исходной параболы, то ее центр находится в вершине данной параболы — точке т. е. оси О'Х и

O'Y проходят через точку 

  O’[0 ; -2/5] 

     Oсь О'Х и вектор r =[ -50,-37.5] — одинаково направлены. Уравнение прямой L, проходящей через данную точку М_о (x₀, у₀) в заданном направлении q = (l,m) (L || q ), имеет вид

       

угловой коэффициент оси О'Х к = 3/4 = tga

      Так как ось O'Y перпендикулярна оси О'Х, то ее угловой коэффициент k=-1/k=-4/3

      Следовательно ось OY имеет уравнение

      Y=-4/3(x+2/5)

      Используя полученную информацию, построим новую (каноническую) систему координат XO'Y и данную параболу в исходной системе координат хОу  
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.Для данного  уравнения поверхности второго  порядка: