Содержание

1. Кривые второго порядка

1.1.Окружность

1.2.Эллипс

1.3.Гипербола

1.4.Парабола

2.Исследование уравнения прямой

2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

2.2. Общее уравнение прямой

2.3. Уравнение прямой в отрезках на осях

2.4. Нормальное уравнение прямой

      2.5.Построение прямой по ее уравнению

 

1.Кривые второго порядка 

    Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

Определение: Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

      

 

    где -- вещественные числа, и хотя бы одно из чисел

отлично от нуля.

    Исследование  уравнения в общем виде проводится так же, как и для аналогичного уравнения в пространстве (поверхности второго порядка) и эти исследования удобно производить с помощью математического аппарата, который будет рассмотрен позже. Здесь же мы ограничимся констатацией того, что уравнение в зависимости от коэффициентов может задавать только четыре типа кривых, а именно, окружность, эллипс, гиперболу и параболу. 
 

    1.1.Окружность

      Начнем  с определения окружности, известного из школьного курса математики.

      Определение 12.2 Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

    Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема 12.1 Окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение

      

       

      Доказательство. Пусть -- текущая точка окружности. По определению окружности расстояние равно (рис. 12.1)

     

    

Рис.12.1.Окружность 

    По  формуле (10.4) для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

      Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в  квадрат получим эквивалентное  уравнение (12.2).

    Если  в уравнении (12.2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (12.2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным и . 
 
 

    1.2.Эллипс

      Определение 12.3 Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

    Для эллипса можно дать еще несколько  эквивалентных определений. Желающие могут познакомиться с ними в  более серьезных учебниках по аналитической геометрии. Здесь  же отметим только то, что эллипс -- это кривая, получающаяся как проекция на плоскость окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью .

    В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому  для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат  так, чтобы его уравнение было достаточно простым.

    Пусть и -- фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось -- перпендикулярно к этому отрезку (рис. 12.3).

Теорема 12.2 Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна , а расстояние между фокусами -- . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение

      

       

      где

      

       

      Доказательство. Пусть -- текущая точка эллипса. По определению эллипса . Из треугольника (рис. 12.3) видно, что , то есть , , и поэтому число существует.

     

    

Рис.12.3. 

    Фокусами  в выбранной системе координат  являются точки  , . По формуле (10.4) для плоского случая находим

      Тогда по определению эллипса 

      

      Пренесем один из корней вправо и обе части возведем в квадрат:

      

      После того, как раскроем скобки и приведем подобные члены, приходим к выражению 

      

      Разделим  обе части этого уравнения  на 4 и возведем в квадрат 

      

      Раскроем  скобку и приведем подобные члены 

      

      Учитывая, что  , имеем равенство

      

      Наконец, разделив обе части на , получим уравнение (12.4).

    Уравнение (12.4) называется каноническим уравнением эллипса.

    Прежде, чем нарисовать эллипс, выясним некоторые  его свойства.

Предложение 12.1 Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси и , начало координат -- центр симметрии.

      Доказательство. Можно было бы провести доказательство на основе определения эллипса (предлагаем читателю попробовать сделать это), но для усиления аналитического аспекта мы проведем доказательство на основе уравнения (12.4).

    Пусть эллипс задан уравнением (12.4) и -- какая-то точка эллипса. Тогда

      

 

      Точка является точкой, симметричной точке относительно оси (рис. 12.4).

     

    

Рис.12.4.Симметрия точек 

    Вычисляем значение левой части уравнения (12.4) в точке

      В силу равенства (12.6) получаем

      

      следовательно, точка  лежит на эллипсе. Точка является точкой симметричной точке относительно оси (рис. 12.4). Для нее аналогичным путем убеждаемся, что

      

      то  есть является точкой эллипса. Наконец точка является симметричной точке относительно начала координат (рис. 12.4). Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение предложения доказано, если эллипс имеет уравнение (12.4). А так как по теореме 12.2 любой эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то предложение полностью доказано.

    Проведем  построение эллипса, заданного уравнением (12.4). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразив из уравнения (12.4) и взяв перед корнем знак " ",

      Построим  график этой функции. Область определения -- отрезок  , , при увеличении переменного от 0 до функция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно оси функция монотонно растет при изменении от до 0. Производная определена во всех точках интервала и, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производная отрицательна во всех точках интервала , следовательно, график -- выпуклый вверх.

    Осталось  не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка  . Выразим из уравнения (12.4) переменное через : . Очевидно, что в точке эта функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке существует. Легко проверить, что она параллельна оси . Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рис. 12.5).

     

    

Рис.12.5.Эллипс 

      Определение 12.4 Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии -- центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины -- большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины -- малой полуосью. Величина называется эксцентриситетом эллипса.

    Если  эллипс задан каноническими уравнениями, то его вершины имеют координаты , , , , большая полуось равна , малая полуось равна . Величина , являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы (12.5) для величины , а именно, .

Замечание 12.1 Уравнение (12.4) было получено в предположении, что и -- различные точки, то есть . Тогда . Но кривую, определяемую уравнением (12.4), мы можем рассмотреть и в случае , . Уравнение (12.4) в этом случае после умножения на примет вид . Это -- уравнение окружности радиуса с центром в начале координат. Таким образом, можно рассматривать окружность как предельный вариант эллипса, когда , , или, как иногда говорят математики, окружность является "вырожденным" эллипсом, у которого фокусы совпали.

    Эксцентриситет  эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе экцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса .

    Если  задано каноническое уравнение эллипса  и требуется его построить, то для отображения качественных характеристик  достаточно правильно отметить вершины  эллипса и провести через них  линию, похожую на кривую рис. 12.4, выдерживая симметрию и избегая образования углов на рисунке. Если же из рисунка предполагается получать числовую информацию о координатах его точек, то тогда построение следует проводить более точно. Нужно построить по точкам верхнюю половину эллипса как график функции , взяв для построения достаточно много точек, а нижнюю половину эллипса получить, используя его симметрию. С другим способом построения эллипса можно познакомиться в курсе черчения.