Кривые второго порядка, матрицы

Вопрос 1. Кривые второго порядка (уравнение эллипса, уравнение «мнимого» эллипса, уравнение гиперболы, уравнение двух пересекающихся прямых, уравнение параболы).

    Рассмотрим  плоскость. Уравнение первого порядка  задает прямую на плоскости. Общий вид  уравнения второго порядка с двумя переменными.

                               (1)

    В прямоугольной декартовой системе  координат это уравнение может  описать некоторую кривую, эта  кривая называется кривой второго порядка.

    Рассмотрим  следующие кривые второго порядка:

    1. Эллипс – множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости постоянна и больше расстояния между этими двумя точками.

    Линия второго порядка, определяемая уравнением

                                      (2),

называется  линией эллиптического типа, если коэффициенты A и C имеют одинаковые знаки.

    В случае H>0 говорят, что уравнение (2) определяет действительный эллипс. Если предположить , то уравнение (2) запишется в виде  

                                        (3)

    Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а числа a и b – его полуосями.

                    

    Точки А(а;0), А’(-a;0), B(0;b) и B’(0;-b) называются вершинами этого эллипса, а отрезки  A’A=2a и B’B=2b – его осями.

    Когда H=0 говорят, что уравнение (2) определяет вырожденный эллипс (в этом случае (2) определяет на плоскости 0xy только одну точку x=0, y=0). И уравнение имеет следующий вид

    Наконец, когда H<0 говорят, что уравнение (2) определяет мнимый эллипс (в этом случае уравнение (2) не определяет на плоскости 0xy никакого геометрического образа). И уравнение имеет следующий вид .

    2. Гипербола – множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух разных точек плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками..

    Линия второго порядка, называется линией гиперболического типа, ели коэффициенты A и C имеют противоположные знаки.

    В случае H>0, положив , мы можем переписать уравнение в виде

                                                   (4).

    Линия, определяемая уравнением, называется гиперболой, а уравнение (4) – ее каноническим уравнением.

            

    Числа a и b называются соответственно ее действительной и мнимой полуосями, точки А(а;0), А’(-a;0) – ее вершинами, а отрезки A’A=2a и B’B=2b – ее действительной и мнимой осями.

    При a=b гипербола, определяемая уравнением (4), называется равнобочной.

    Из  уравнения (4) вытекает, что для всех точек гиперболы абсцисса x удовлетворяет неравенству .

    Во  втором случае, когда H=0  уравнение (2) определяет пару пересекающихся прямых и , которые называются вырожденной гиперболой. И уравнение имеет следующий вид

    В третьем случае, когда H<0 , положив , мы можем переписать уравнение (2) в виде

                                               (5).

    Уравнение (5) также определяет гиперболу, которая  при  называется сопряженной к гиперболе, определяемой уравнением (5). Эта сопряженная гипербола изображена пунктиром на рисунке выше. Ее вершинами являются B(0;b) и B’(0;-b).

    3. Парабола – множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до заданной точки равно расстоянию до заданной прямой, не проходящей через данную точку.

    Если  вернутся к уравнению (1) и предположить, что A=B=0, то уравнение принимает вид

                               (6)

    Если  в (6) коэффициент D равен нулю, то (6) превращается в квадратное уравнение, которое либо не имеет действительных корней (и потому не определяет никакого геометрического образа), либо имеет два действительных корня и (быть может, совпадающие между собой) и может быть записано в виде . В последнем случае уравнение (6) определяет пару параллельных прямых =у  и =у (быть может, сливающихся).

    Рассмотрим  теперь случай, когда в уравнении (6) коэффициент D не равен нулю. Дополняя в (6) члены, содержащие у, до полного квадрата, получим

                .          (7)

    Если  предположить ,  ,  ,  то уравнение (7) принимает вид

                                     .     (8)

    Линия, определяемая уравнением (8), называется параболой.

             

    Точка О’( ) называется вершиной параболы, а число р – ее параметром. Легко видеть, что прямая является осью симметрии параболы (эту прямую принято называть осью параболы) и что центра симметрии у параболы нет.

    Если  параболы находится в начале координат (чего всегда можно добиться параллельным переносом осей), то ее уравнение  принимает вид

                                                   (8)  

    Уравнение (8) называется каноническим уравнением параболы, причем параметр р в этом уравнении принято считать положительным.

    Гипербола и эллипс – это центральные  линии второго порядка. А парабола – нецентральная линия второго порядка. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задача. Решить систему по формулам Крамера:

    

    Решение. По методу Крамера в системе уравнений 

      

    Нужно составить следующие определители: 

                        

      

    Тогда  

     ;      ;    . 

    Составим  определители: 

                

    Вычислим  каждый из них: 

     = =

    = = 12 

     = =

    = =

    =  24 

     = =

    = =

    = -24 

     = =

    = =

    =36 

    Вычислим  корни системы уравнений: 

     = =2;     = = -2;    = =3. 
 

    Ответ:    = 2;    = -2;    = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Список литературы:

1. Данко   П.Е.   и   др.   Высшая   математика   в   примерах   и   задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В 2-х частях. Высшая школа, 1986.
2. Ильин В.А.,    Э.Г.Позняк.    Аналитическая    геометрия.  «Наука»,М.-1982.
3. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 2002.
4. Новая  иллюстрированная энциклопедия. Большая российская энциклопедия, 2002.
5. Фролов Н.А. Курс математического анализа. «Просвещение», М.-1994