Экспериментальная проверка выявленных методических приемов для изучения числовых выражений

3. Предлагаются задачи на составление выражений типа: «У Нины было 50р. и еще 8 монет, по 5 р. каждая. Сколько всего денег было у Нины?»

Такие задания формируют умение составлять выражение по заданному условию.

4. Найди значения выражений.
5. Вычисли значения выражений. Измени порядок действий с помощью скобок и вычисли значения полученных выражений.

45+27:3-12;   100-10х9-8 и т.д.

Такие задания направлены на формирование умений правильно распределять действия в выражении, и развивают вычислительные навыки.

6. Найди сумму. 236+189+308

При решении  данного задания закрепляются знания таких компонентов как слагаемые и сумма, умение пользоваться ими.

7. Сравни выражения: 200-30х4 и (200-30) х 4

При выполнении таких заданий у учащихся развивается  логическое мышление, а также формирует  умение пользоваться правилами распределения действий в выражениях.

8. Найди значение выражений а+347  и а-39, если а=53, 558,40.
9. Поставь скобки так, чтобы значение выражения стало равным числу 2, 50, 180, 474:     53 – 3 х 9 + 4 х 6

Задание формирует умение по заданному значению распределять действия в выражении так, чтобы оно было верным.

     Объясни, в каком порядке должны выполнять  действия по схематическим записям. □ обозначает число. [28]

1) □  + □ - □ + □ + □ - □   2) □ · □ : □ · □ · □   3)□ + □ · □ - □ : □ + □

Также в I части учебника 4 класса в конце дается следующая таблица: 

     Для подсчета значения выражения часто  приходится его преобразовывать, особенно, если выражение содержит большое  количество действий и скобок.

     Преобразование  выражения – это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Преобразования выражений выполняются опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие их них (правила: как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и т.д.)

      При изучении каждого правила, учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но

значение выражения при этом не изменяется. В дальнейшем знания свойств действий применяются для преобразования заданных выражений в равные им выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак «=» сохранился:

                             76 - (20 + 4) = 76 - 20…

                             (10 + 7) · 5=10 · 5…

                             60 : (2 · 10) = 60 : 10…

      Выполняя  первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитаем сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо справа еще вычесть 4. аналогично преобразуются другие выражения, т.е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответствующее правило и, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобразованного выражений и сравнивают их.

      Применяя  знания свойств действий для обоснования  приемов вычислений, учащиеся 1-3 классов  выполняют преобразования выражений  вида:

            36 + 20 = (30 + 6) + 20 = (30 + 20) + 6 = 56

            72 : 3 = (60 + 12) : 3 = 60 : 3 + 12 : 3 = 24

            18 · 30 = 18 · (3 · 10) = (18 · 3) · 10 = 540

     Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясняли, на основе чего получают каждое предыдущее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком «=», потому что имеют одинаковое значение выражения. Для этого изредка следует предлагать детям вычислять значения выражений и сравнивать их. Это предупреждает ошибки вида:     75-30=70-30=40+5=45,  24·12=24·(10+2)=24·10+24·2=288. [2]

Учащиеся 2-3 классов выполняют преобразования выражений не только на основе свойств  действий, но и на основе определения  действий. Например,

сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: 6+6+6=6*3, и наоборот: 9·4=9+9+9+9. опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 · 4 + 8 = 8 · 5.

      На  основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся 3 класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (30+20)+10= 30+20+10, (10·6):4=10·6:4 и т.п. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:

            (65+30) – 20                                 (20+4)·3

            96-(46+30)                                    (40+24):4

           Так, первое из заданных выражений на основе правила вычитания числа из суммы дети заменяют выражениями: 65+30-20, 65-20+30, 30-20+65, поясняя порядок выполнения действий в них. Таким образом, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка действий только в том случае, если при этом применяются свойства действий. [14]

      Начиная со 2 класса, ведется работа над выражениями  с переменной, благодаря чему обобщается понятие выражения и закрепляются умения оперировать ими.

      Итак, теоретической основой вычислений служат определения арифметических действий и их свойства.  Числовое выражение часто употребляют для описания какого-либо свойства числа, являющимся числовым значением этого выражения. 

§2. Методика изучения числовых выражений.

      Понятие математического выражения (или просто выражения), изучаемое в начальных классах, имеет важное значение. Так, это понятие помогает учащимся овладеть вычислительными навыками. Действительно, часто вычислительные ошибки связаны с непониманием структуры выражений, нетвердым знанием порядка выполнения действий в выражениях. Усвоение понятия выражения обуславливает формирование таких важных математических понятий, как равенство, неравенство, уравнение. Умение составлять выражения по задаче необходимо для овладения умения решать задачи алгебраическим способом, т.е. с  помощью составления уравнений.

      С первыми выражениями – суммой и разностью – дети знакомятся при изучении сложения и вычитания  в концентре «Десяток». Не используя  специальных терминов, первоклассники производят вычисления, записывают выражения, читают их, заменяют число суммой, основываясь на наглядных представлениях. При этом выражение 4+3 они читают следующим образом: «к четырем прибавить три» или «4 увеличить на 3». Находя значения выражений, состоящих из трех чисел, которые соединены знаком сложения и вычитания, учащиеся фактически пользуются правилом порядка выполнения действий в неявном виде и выполняют первые тождественные преобразования выражений.

      Познакомившись  с выражениями вида а+в, первоклассники сначала употребляют термин «сумма» для обозначения числа, получающегося в результате сложения, т.е. сумма, трактуется как значение выражения. Затем с появлением более сложных выражений, например вида (а+в)-с, появляется необходимость иного понимания термина «сумма». Выражение а+в называется суммой, а его компоненты – слагаемыми. При введении выражений вида а-в, а·в, а:в поступают аналогично. Сначала разностью (произведением, частным) называют значение выражения, а затем само

выражение. Одновременно учащимся сообщают названия его компонентов: уменьшаемое, вычитаемое, множители, делимое и делитель. Например, в равенстве 9-4=5   9-уменьшаемое, 4-вычитаемое, 5-разность. Запись 9-4 также называется разностью. Можно вводить эти термины в другой последовательности: предложить учащимся записать пример 9-4, пояснив, что записана разность, и вычислить, чему равна записанная разность. Учитель вводит название полученного числа: 5- тоже разность. Другие числа при вычитании называются: 9- уменьшаемое, 4- вычитаемое.

      Запоминанию новых терминов способствуют плакаты вида

        

Для закрепления  этих терминов предлагаются упражнения вида : «Вычислите сумму чисел; запишите сумму чисел; сравните суммы чисел (вставьте знак >,< или = вместо · в запись 4 + 3 · 5 + 1   и прочтите полученную запись); замените число суммой одинаковых (разных) чисел; заполните таблицу; составьте по таблице примеры и решите их». Важно, чтобы дети поняли, что при вычислении суммы производится указанное действие (сложение), а при записи суммы получаем два числа, соединенных знаком плюс.

     При изучении сложения и вычитания в  пределах 10 включаются выражения, состоящие  из трех и более чисел, соединенных одинаковыми или различными знаками действий вида: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2+2, 7-4+2, 6+3-7. раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает, как их читают (например, к трем прибавить один и к полученному числу прибавить ещё один). Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его. Несколько позднее детей учат прообразовывать выражения в процессе вычислений, например: 10-7+5=3+5=8. такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований. Знакомство  первоклассников с выражениями вида 10- (6+2), (7-4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствует более глубокому усвоению понятия выражения.

      На  следующем этапе усвоения понятия  выражения учащиеся знакомятся с  выражениями, в которых используются скобки: (10-3)+4,         (6-2)+5. они могут быть введены посредством текстовых задач. Учитель предлагает составить на наборном полотне суммы и разности чисел 10 и 3, используя карточки, на которых записаны эти числа и знаки действий. Затем составленную учениками разность 10-3 учитель заменяет подготовленной заранее карточкой с этой разностью. Следующее задание: составить выражение (на этом этапе учащиеся говорят о нем как о примере),  используя разность, число 4 и знак +. При чтении полученного выражения обращается внимание на то, что его компонентами являются разность и число. «Чтобы было заметно, - говорит учитель,- что разность является слагаемым, её заключают в скобки».

      Самостоятельно  конструируя выражения, дети осознают их структуру, овладевая умением  читать, записывать, вычислять их значения.

      Вводятся  термины «математическое выражение» (или просто «выражение») и «значение выражения». Определения этих терминов не даются. Записав несколько простейших выражений: сумм, разностей, учитель называет их математическими выражениями. Предложив вычислить эти примеры, он объявляет, что числа, полученные в результате вычисления, называются значением выражения. Дальнейшая работа над числовыми выражениями состоит в том, что дети упражняются в чтении, записи под диктовку, составлении выражений, заполнении таблиц, широко используя при этом новые термины.