Изучение алгебраического материала в начальном курсе математики

Представляется, что такие возможности  есть. К 7 - 8 годам у детей уже  в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по соответствующей  программе, в которой свойства математических структур даны "явно" и детям  даются средства их анализа, можно быстрее  подвести детей к уровню "формальных" операций, чем в те сроки, в которые  это осуществляется при "самостоятельном" открытии этих свойств.

При этом важно учитывать следующее  обстоятельство. Есть основания полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж. Пиаже к 7 - 11 годам, сами неразрывно связаны с формами организации  обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это обучение (и  у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического содержания, зачастую вообще не связанного с понятийным (теоретическим) отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки вещей.

Таким образом, в настоящее время  имеются фактические данные, показывающие тесную связь структур детского мышления и общеалгебраических структур, хотя "механизм" этой связи далеко не ясен и почти не исследован. Наличие  этой связи открывает принципиальные возможности (пока лишь возможности!) для  построения учебного предмета, развертывающегося  по схеме "от простых структур - к  их сложным сочетаниям". Одним  из условий реализации этих возможностей является изучение перехода к опосредствованному мышлению и его возрастных нормативов. Указанный способ построения математики как учебного предмета сам может быть мощным рычагом формирования у детей такого мышления, которое опирается на достаточно прочный понятийный фундамент.

 

1.3 Основные алгебраические  понятия в начальном курсе математики

 

 Первоначально алгеброй  называли учение о решении  уравнений. За много столетий  своего развития алгебра превратились  в науку, которая изучает операции  и отношения на различных множествах. Поэтому не случайно уже в  начальной школе дети знакомятся  с такими алгебраическими понятиями,  как выражение (числовое и с  переменными), числовое равенство,  числовое неравенство, уравнения.  Они изучают различные свойства  арифметических действий над  числами, которые позволяют рационально  выполнять вычисления. И конечно,  в начальном курсе математики  происходит их знакомство с  различными зависимостями, отношениями,  но чтобы использовать их в  целях развития мыслительной  деятельности учащихся, учитель  должен овладеть некоторыми общими  понятиями современной алгебры  – понятием соответствия, отношения,  алгебраической операции и другие. Кроме того, усваивая математический  язык, используемый в алгебре,  учитель сможет глубже понять  сущность математического моделирования  реальных явлений и процессов.[17c.166] Рассмотрим  программу изучения алгебры в начальной школе и ее узловые темы.

          Соответствия между двумя множествами. В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств.

Рассмотрим три примера  соответствий, изучаемых а начальном  курсе математики.

I.Найти значение выражения: в1) (17-1)÷4;       в2) (12+18)÷(6-6);     в3) 2×7+6.

II. Найти площадь фигуры:   F1 F2 F3

III.Решить      уравнение:  у1) 2+х=6;       у2)  х-7=4;     у3) 2х=8.

В первом случае мы устанавливаем  соответствие между заданными выражениями  и числовыми значениями. Во втором выясняем, какое число соответствует  каждой данных фигур, характеризуя её площадь. В третьем ищем число, которое  является решением уравнения.

Что общее имеют эти  соответствия? Видим, что во всех случаях  мы имеем два множества: в первом – это множество из трёх числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором – это множество из трёх геометрических фигур и множество N натуральных чисел; в третьем– это множество из трёх уравнений и множество N натуральных чисел.

Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Можно  задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, находящихся  в заданном соответствии:

      I.{(в_1,4), (в_3, 20)};

      II.{(F_1, 4), (F_2, 10), (F_3, 10)};

      III.{(у_1, 4), (у_2, 11), (у_3, 4)}.

Полученные множества  показывают, что любое соответствие между двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары – это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

     Определение. Соответствия между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. 

Числовые функции.

      Функция – одно из важнейших понятий математики, исходное понятие ведущей её области – математического анализа. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности с физикой, для которой числовые функции служат средством количественного описания различных зависимостей между величинами.

          В начальном курсе математики  понятие функции и все, что  с ним связано, в явном виде  не изучается, но идея функциональной  зависимости буквально пронизывает  его, а правильное понимание  таких свойств реальных явлений,  как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения.  Безусловно, всё это требует от  учителя начальных классов определенных  знаний о функции и ее свойствах,  и прежде всего таких, которые  помогут ему осуществлять в  начальной школе пропедевтику понятия функции [17 c. 176].

          Отношение на множестве.

       В математике  изучают не только связи между  элементами двух множеств, то  есть соответствия,  но и связи  между элементами одного множества.  Называют их отношениями.

           Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно»,  «больше на …», «меньше на …», «следует» и другие.

           Если рассматривают отношения между двумя элементами, то их называют бинарными; отношения между тремя элементами – тернарными; отношения между n элементами – n-арными. Все названные выше отношения являются бинарными. Примером тернарного отношения может служить отношения между точками прямой – «точка x лежит между точками y и z».

            Изучение отношений между объектами важно для познания, как самих объектов, так и для познания реального мира в целом.

           Алгебраические операции на множестве.

       В XIX веке в математике возникли разные ветви алгебры: обычных чисел, высказываний, множеств и другие. Каждая из них имела свои правила, но для некоторых видов алгебр эти правила были похожи. Стремления выяснить, что представляет собой любая операция, способствовало появлению общего понятия алгебраической операции.

           Изучение свойств алгебраических операций привело математиков к выводу о том, что основная задача  алгебры – изучение свойств операций, рассматриваемых независимо от объектов, к которым они применяются. И если первоначально алгебра была учением о решении уравнений, то в XX веке она превратилась в науку об операциях и свойствах[17c.203].

           Выражения. Уравнения. Неравенства.  

      Наряду с изучением операций и их свойств в алгебре изучают такие понятия, как выражения, уравнения, неравенство. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальном курсе математики. Вводятся они, как правило, без строгих определений, чаще всего остенсивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в употреблении терминов, обозначающих эти понятия, но и знания ряда их свойств. Поэтому главная задача, приступая к изучению материала – это уточнить и углубить знания о выражениях (числовых и с переменными), числовых равенствах и числовых неравенств, уравнениях и неравенствах.

            Изучение данных понятий связано с использованием математического языка, он относится к искусственным языкам, которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и любой другой, математический язык имеет свой алфавит. В этот алфавит входят:

1. цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; с их помощью по специальным правилам записываются числа;
2. знаки операций +, ̶  ,×,÷;
3. знаки отношений ˂,˃, =;
4. строчные буквы латинского алфавита, их применяют для обозначения чисел;
5. скобки, их называют техническими знаками.

Используя этот алфавит, в  алгебре образуют слова, называют их выражениями, а из слов получаются предложения  – числовые равенства, числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменными [17c.212]. 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II. Методическое обеспечение изучения алгебраического материала в начальной школе

2.1 Методика изучения числовых выражений, выражений с переменными, числовых равенств и неравенств, уравнений

Изучение числовых выражений, равенств и неравенств, а так же уравнений начинается еще с первого  класса,  в период изучения нумерации в пределах 10[12].

Так знакомство с равенствами  и неравенствами начинается уже  с девятой страницы. Дети учатся сначала сравнивать числа, затем  выражения с целью установления отношений «больше», «меньше», «равно», учатся записывать результаты с помощью  знаков «<»,  «>»,  «=» и читать полученные равенства и неравенства[13].

Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется с помощью  установления взаимно однозначного соответствия. Попутно выполняется  счет элементов множеств и сравнение  полученных чисел:

¡  ¡  ¡  ¡  ¡  ¡  ¡  7   ¡  ¡  ¡  3

7 > 5                                3 = 3

∆  ∆   ∆   ∆   ∆                5     o   o  o    3

В дальнейшем при сравнение чисел учащиеся опираются на знание их места в натуральном ряду: девять меньше, чем десять, потому что при счете число девять называют перед числом  десять. Установленные отношения записываются с помощью знаков  <, >, =, учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств, но сами термины вводятся только во втором классе.[13]

   Переход к сравнению двух выражений осуществляется постепенно. Сначала дети знакомятся с самими выражениями.

   При формировании понятия числового выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами имеет двоякий смысл: с одной стороны, он обозначает действия, которое надо выполнить над числами; с другой стороны, знак действия служит для обозначения выражения (6 + 4 – это сумма чисел 6 и 4).

   Понятия о выражениях формируется в тесной связи с понятиями об арифметических действия и способствует лучшему их усвоению. В первом классе формируется представление о простейших выражениях (сумма и разность). Знакомство осуществляется при помощи метода изложения.[12]

На доске записан пример на сложение: 5 + 2.

Назвать и подписать: это  сумма.

Найти чему равна сумма: 7.

Записать и подписать  – это тоже сумма.

Каждое из чисел имеет  свое название (имя): 5 – первое слагаемое, 2 – второе слагаемое. Наш пример можно прочесть так: сумма чисел 2 и 5 равна 7; первое слагаемое 5, второе – 2, сумма – 7.

    Так же знакомятся и с разностью. И только после этого дети сравнивают выражение с числом, а далее выражение с выражением.

    На первом уроке  можно дать упражнение на сравнение  с опорой на рисунки, например, в двух рядах рисуются по 6 квадратов  (6 =  6), затем в первом ряду  дорисовывают два квадрата или  зачеркивают два квадрата. И дается  запись:

  6 + 2 > 6      6 – 2 < 6

         8 > 6           4 < 6

    Дети говорят:  «Слева было 6 и справа 6. Справа  так и осталось 6, а слева прибавили  (отняли) 2. Там стало больше (меньше)».  Для проверки выполняются вычисления  и сравниваются полученные числа.