Изучение алгебраического материала в начальном курсе математики

Оглавление

Введение 3

Глава I. Общетеоретические аспекты  изучения алгебраического материала в начальной школе

1.1 Опыт введения элементов  алгебры в начальной школе 6

1.2 Психологические основы  введения алгебраических понятий 

      в начальной  школе 10

1.3 Основные алгебраические  понятия в начальном курсе  математики 18

Глава II. Методические рекомендации к изучению алгебраического материала в начальной школе

 2.1 Методика изучения числовых выражений, выражений с переменными, числовых равенств и неравенств, уравнений………………………………….23

 2.2 Методические рекомендации изучения алгебраического материала в начальной школе ………………………………………………………………..30

2.3 Сравнительный  анализ изучения элементов алгебры  в различных УМК.36

Заключение 42

Cписок литературы 45

                                                        Введение

             В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.

Что представляет собой современная  математика? Зачем она нужна? Эти  и подобные им вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ  будет разным в зависимости от уровня развития ребенка и его  образовательных потребностей.

Часто говорят, что математика - это  язык современной науки. Однако представляется, что это высказывание имеет существенный дефект. Язык математики распространен так широко и так часто оказывается эффективным, именно потому что математика к нему не сводится.

Выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров писал: «Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим. … Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому» [10 c. 44].

          Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.

         Курс математики (без геометрии) в нашей 11-летней школе фактически разбит на три основные части: на арифметику (I - IV классы), алгебру (V - IX классы) и элементы анализа (X - ХI классы). Что служит основанием для такого подразделения?

Конечно, каждая эта часть имеет  свою особую "технологию". Так, в  арифметике она связана, например, с  вычислениями, производимыми над  многозначными числами, в алгебре - с тождественными преобразованиями, логарифмированием, в анализе - с дифференцированием и т.д. Но каковы более глубокие основания, связанные с понятийным содержанием каждой части?

Следующий вопрос касается оснований  для различения школьной арифметики и алгебры. В арифметику включают изучение натуральных чисел (целых положительных) и дробей (простых и десятичных). Однако специальный анализ показывает, что соединение этих видов чисел в одном школьном учебном предмете неправомерно.

Дело в том, что эти числа  имеют разные функции: первые связаны  со счетом предметов, вторые - с измерением величин. Это обстоятельство весьма важно для понимания того факта, что дробные (рациональные) числа являются лишь частным случаем действительных чисел.

С точки зрения измерения величин, как отмечал А.Н. Колмогоров, "нет  столь глубокого различия между  рациональными и иррациональными  действительными числами. Из педагогических соображений надолго задерживаются  на рациональных числах, так как  их легко записать в форме дробей; однако то употребление, которое им с самого начала придается, должно было бы сразу привести к действительным числам во всей их общности" [10 c.9].

А.Н. Колмогоров считал оправданным, как с точки зрения истории развития математики, так и по существу предложение А. Лебега переходить в обучении после натуральных чисел сразу к происхождению и логической  "подход к построению рациональных и действительных чисел с точки зрения измерения величин нисколько не менее научен, чем, например, введение рациональных чисел в виде "пар". Для школы же он имеет несомненное преимущество" [10 с.10].

         Таким образом, актуальность темы  работы определяется реальной возможностью на базе натуральных (целых) чисел сразу формировать «самое общее понятия числа» (по терминологии А. Лебенга), понятия действительного числа. Но возникает противоречие, со стороны построения программы  это означает, ликвидацию арифметики дробей в её школьной интерпретации. Переход от целых чисел к действительным – это переход от арифметики к алгебре, к созданию фундамента для анализа. Данное противоречие позволяет нам определить проблему исследования каковы достоинства и недостатки «алгебраизации» начального обучения математики?

Объектом является процесс изучения алгебраического материала младшими школьниками.                                                                                                                                              Предмет: начальный курс математики.

Цель работы: выявить характерные особенности обучения элементам алгебры в начальной школе.

Задачи исследования:

1. рассмотрение общетеоретических аспектов введения в начальной школе алгебраических понятий величины и числа;
2. изучение конкретной методики обучения этим понятиям в начальной школе;
3. показать практическую применимость рассматриваемых  на школьных уроках математики в начальной школе.

Применительно к библиографии, несмотря на то, что в последнее время общее количество изданной методической литературы по математике крайне незначительно, дефицит информации  не наблюдался. Действительно, с 1960 по 1990 гг. в нашей стране вышло огромное число учебной, научной и методической литературы, в той или иной степени затрагивающий проблему введения алгебраических понятий в курсе математики для начальной школы. Кроме того, эти вопросы регулярно освещаются и в специализированной периодике. В значительной мере использовались публикации в журналах «Педагогика», «Преподавание математики в школе» и «Начальная школа».

Глава I. Общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в начальной школе

             1.1 Опыт введения элементов алгебры в начальной школе

Содержание учебного предмета, как  известно, зависит от многих факторов - от требований жизни к знаниям  учащихся, от уровня соответствующих  наук, от психических и физических возрастных возможностей детей и  т.д. Правильный учет этих факторов является существенным условием наиболее эффективного обучения школьников, расширения их познавательных возможностей. Но иногда это условие  по тем или иным причинам не соблюдается. В этом случае преподавание не дает должного эффекта как в отношении  усвоения детьми круга необходимых  знаний, так и в отношении развития их интеллекта. [6]

Представляется, что в настоящее  время программы преподавания некоторых  учебных предметов, в частности  математики, не соответствуют новым  требованиям жизни, уровню развития современных наук (например, математики) и новым данным возрастной психологии и логики. Это обстоятельство диктует  необходимость всесторонней теоретической  и экспериментальной проверки возможных  проектов нового содержания учебных  предметов.

Фундамент математических знаний закладывается  в начальной школе. Но, к сожалению, как сами математики, так и методисты  и психологи уделяют весьма малое  внимание именно содержанию начальной  математики. Достаточно сказать, что  программа по математике в начальной  школе (I - IV классы) в основных своих  чертах сложилась еще 50 - 60 лет назад  и отражает, естественно, систему  математических, методических и психологических  представлений того времени.

Рассмотрим характерные особенности  государственного стандарта по математике в начальной школе. Основным ее содержанием  являются «целые числа и действия над ними, изучаемые в определенной последовательности». Вначале изучаются четыре действия в пределе 10 и 20, затем - устные вычисления в пределе 100, устные и письменные вычисления в пределе 1000 и, наконец, в пределе миллионов и миллиардов. В IV классе изучаются некоторые зависимости между данными и результатами арифметических действий, а также простейшие дроби. Наряду с этим программа предполагает изучение метрических мер и мер времени, овладение умением пользоваться ими для измерения, знание некоторых элементов наглядной геометрии - вычерчивание прямоугольника и квадрата, измерение отрезков, площадей прямоугольника и квадрата, вычисление объемов.

Полученные знания и навыки ученики  должны применять к решению задач  и к выполнению простейших расчетов. С I по IV класс дети решают следующие  основные типы задач (простых и составных): на нахождение суммы и остатка, произведения и частного, на увеличение и уменьшение данных чисел, на разностное и кратное  сравнение, на простое тройное правило, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям, на вычисление среднего арифметического и некоторые  другие виды задач.

С разными типами зависимостей величин  дети сталкиваются при решении задач. Но весьма характерно - учащиеся приступают к задачам после и по мере изучения чисел; главное, что требуется при  решении - это найти числовой ответ. Дети с большим трудом выявляют свойства количественных отношений в конкретных, частных ситуациях, которые принято  считать арифметическими задачами. Практика показывает, что манипулирование  числами часто заменяет действительный анализ условий задачи с точки  зрения зависимостей реальных величин. Только один параметр - углубление в  систему собственно математических закономерностей - в них проявляется  слабо, неотчетливо. Поэтому очень  сложно установить критерий математической трудности той или иной задачи. Почему задачи на нахождение неизвестного по двум разностям и на выяснение среднего арифметического (III класс) труднее задач на разностное и кратное сравнение (II класс)? Методика не дает на этот вопрос убедительного и логичного ответа.

Таким образом, учащиеся начальных  классов не получают адекватных, полноценных  знаний о зависимостях величин и  общих свойствах количества ни при  изучении элементов теории чисел, ибо  они в школьном курсе связаны  по преимуществу с техникой вычислений, ни при решении задач, ибо последние  не обладают соответствующей формой и не имеют требуемой системы.

Общеизвестно, что современная  математика (в частности, алгебра) изучает  такие моменты количественных отношений, которые не имеют числовой оболочки. Также хорошо известно, что некоторые  количественные отношения вполне выразимы без чисел и до чисел, например, в отрезках, объемах и т.д. (отношение "больше", "меньше", "равно"). Изложение исходных общематематических понятий в современных руководствах осуществляется в такой символике, которая не предполагает обязательного  выражения объектов числами. Так, в  книге Е.Г. Гонина "Теоретическая  арифметика" основные математические объекты с самого начала обозначаются буквами и особыми знаками  [4 с. 12 -15]. Характерно, что те или иные виды чисел и числовые зависимости приводятся лишь как примеры, иллюстрации свойств множеств, а не как их единственно возможная и единственно существующая форма выражения. Далее, примечательно, что многие иллюстрации отдельных математических определений даются в графической форме, через соотношение отрезков, площадей [4с.14-19]. Все основные свойства множеств и величин можно вывести и обосновать без привлечения числовых систем; более того, последние сами получают обоснование на основе общематематических понятий.

В свою очередь многочисленные наблюдения психологов и педагогов показывают, что количественные представления  возникают у детей задолго  до появления у них знаний о числах и приемах оперирования ими. Примечательно, что акад. А.Н. Колмогоров, характеризуя особенности математического творчества, специально отмечает следующее обстоятельство: "В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только применить надлежащим образом эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной" [10 с.17].

В настоящее время целесообразны  самые различные идеи относительно структуры и способов построения новой программы. Но во всех своих  конкретных вариантах она, как представляется, должна удовлетворять следующим  основным требованиям:

• преодолевать существующий разрыв между содержанием математики в начальной и средней школе;
• давать систему знаний об основных закономерностях количественных отношений объективного мира; при этом свойства чисел, как особой формы выражения количества, должны стать специальным, но не основным разделом программы;
• прививать детям приемы математического мышления, а не только навыки вычислений: это предполагает построение такой системы задач, в основе которой лежит углубление в сферу зависимостей реальных величин (связь математики с физикой, химией, биологией и другими науками, изучающими конкретные величины);
• решительно упрощать всю технику вычисления, сводя до минимума ту работу, которую нельзя выполнить без соответствующих таблиц, справочников и других подсобных (в частности, электронных) средств.