Изучение алгебраического материала в начальном курсе математики

Смысл этих требований ясен: в начальной  школе вполне возможно преподавать  математику как науку о закономерностях  количественных отношений, о зависимостях величин; техника вычислений и элементы теории чисел должны стать особым и частным разделом программы.

Опыт конструирования новой  программы по математике и ее экспериментальная  проверка, проводимая начиная с конца 1960-х годов, позволяют уже в  настоящее время говорить о возможности  введения в школу начиная с I класса систематического курса математики, дающего знания о количественных отношениях и зависимостях величин  в алгебраической форме.

1.2 Психологические  основы введения алгебраических  понятий в начальной школе

В последнее время при модернизации программ особое значение придают подведению теоретико-множественного фундамента под школьный курс (эта тенденция  отчетливо проявляется и у  нас, и за рубежом). Реализация этой тенденции в преподавании (особенно в начальных классах, как это  наблюдается, например, в американской школе) [19] неизбежно поставит ряд трудных вопросов перед детской и педагогической психологией и перед дидактикой, ибо сейчас почти нет исследований, раскрывающих особенности усвоения ребенком смысла понятия множества (в отличие от усвоения счета и числа, которое исследовалось весьма многосторонне).

Логические и  психологические исследования последних  лет (в особенности работы Ж. Пиаже) вскрыли связь некоторых "механизмов" детского мышления с общематематическими  понятиями. Ниже специально рассматривается  особенности этой связи и их значение для построения математики как учебного предмета (при этом речь пойдет о  теоретической стороне дела, а  не о каком-либо частном варианте программы).

Натуральное число является фундаментальным  понятием математики на всем протяжении ее истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет  математикам-теоретикам отводить ему  особое место среди других понятий  математики. В разной форме высказываются  положения о том, что понятие  натурального числа - исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для построения большинства математических дисциплин.

Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается, что, знакомясь  с числом, ребенок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счет и число - основа всего  последующего усвоения математики в  школе.

Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо  выделяя особое и фундаментальное  значение числа, вместе с тем неадекватно  выражают его связь с другими  математическими понятиями, неточно  оценивают место и роль числа  в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в частности  проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ, методик  и учебников по математике. Необходимо специально рассмотреть действительную связь понятия о числе с  другими понятиями.

Многие общематематические понятия, и в частности понятия соотношения  эквивалентности и порядка, систематически рассматриваются в математике независимо от числовой формы. Эти понятия не теряют своего независимого характера  на их основе можно описывать и  изучать частный предмет - разные числовые системы, понятия о которых  сами по себе не покрывают смысла и  значения исходных определений. Причем в истории математической науки  общие понятия развивались именно в той мере, в какой "алгебраические операции", известный пример которых  доставляют четыре действия арифметики, стали применяться к элементам  совершенно не "числового" характера.

В последнее время делаются попытки  развернуть в преподавании этап введения ребенка в математику. Эта тенденция  находит свое выражение в методических руководствах, а также в некоторых  экспериментальных учебниках. Так, в одном американском учебнике, предназначенном для обучения детей 6 - 7 лет [19], на первых страницах вводятся задания и упражнения, специально тренирующие детей в установлении тождественности предметных групп. Детям показывается прием соединения множеств, - при этом вводится соответствующая математическая символика. Работа с числами опирается на элементарные сведения о множествах.

Можно по-разному оценивать содержание конкретных попыток реализации этой тенденции, но сама она, на наш взгляд, вполне правомерна и перспективна.

На первый взгляд понятия "отношение", "структура", "законы композиции" и др., имеющие сложные математические определения, не могут быть связаны  с формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь подлинный и отвлеченный  смысл этих понятий и их место  в аксиоматическом построении математики как науки есть объект усвоения уже  хорошо развитой и "натренированной" в математике головы. Однако некоторые  свойства вещей, фиксируемые этими  понятиями, так или иначе проступают для ребенка уже сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные.

Прежде всего следует иметь  в виду, что от момента рождения до 7 - 10 лет у ребенка возникают  и формируются сложнейшие системы  общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент  содержательно-предметного мышления. Причем на сравнительно узком эмпирическом материале дети выделяют общие схемы  ориентации в пространственно-временных  и причинно-следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той "системы координат", внутри которой ребенок начинает все глубже овладевать разными свойствами многообразного мира. Конечно, эти общие  схемы мало осознаны и в малой  степени могут быть выражены самим  ребенком в форме отвлеченного суждения. Они, говоря образно, являются интуитивной  формой организации поведения ребенка (хотя, конечно, все более и более  отображаются и в суждениях).

В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них  общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались  известным швейцарским психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые  его работы имеют прямое отношение  к проблемам развития математического  мышления ребенка, и поэтому нам  важно рассмотреть их применительно  к вопросам конструирования учебной  программы.

В одной из своих последних книг [16] Ж. Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12 - 14 лет) таких элементарных логических структур, как классификация и сериация. Классификация предполагает выполнение операции включения (например, А + А' = В) и операции, ей обратной (В - А' = А). Сериация - это упорядочение предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).

Анализируя становление классификации, Ж.Пиаже показывают, как от ее исходной формы, от создания "фигурной совокупности", основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят  к классификации, основанной уже  на отношении сходства ("нефигурные совокупности"), а затем к самой  сложной форме - к включению классов, обусловленному связью между объемом  и содержанием понятия. Автор  специально рассматривает вопрос о  формировании классификации не только по одному, но и по двум-трем признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации  при добавлении новых элементов. Аналогичные стадии авторы находят  и в процессе становления сериации.

Эти исследования преследовали вполне определенную цель - выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость, т.е. способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда "операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto [в силу самого факта] понимание другого" [16 с.15].

Обратимость, согласно Ж. Пиаже, представляет фундаментальный закон композиции, свойственный уму. Она имеет две взаимодополняющие и несводимые формы: обращение (инверсия или отрицание) и взаимность. Обращение имеет место, например, в том случае, когда пространственное перемещение предмета из А в В можно аннулировать, переводя обратно предмет из В в А, что в итоге эквивалентно нулевому преобразованию (произведение операции на обратную есть тождественная операция, или нулевое преобразование).

Взаимность (или компенсация) предполагает тот случай, когда, например, при  перемещении предмета из А в В  предмет так и остается в В, но ребенок сам перемещается из А  в В и воспроизводит начальное  положение, когда предмет находился  против его тела. Движение предмета здесь не аннулировано, но оно компенсировалось путем cоответствующего перемешения  собственного тела - и это уже  другая форма преобразования, нежели обращение [16].

В своих работах Ж. Пиаже показал, что эти преобразования возникают  вначале в форме сенсо-моторных схем (с 10 - 12 мес.). Постепенная координация  чувственно-двигательных схем, функциональная символика и языковое отображение  приводят к тому, что через ряд  этапов обращение и взаимность становятся свойствами интеллектуальных действий (операций) и синтезируются в единой операторной структуре (в период с 7 до 11 и с 12 до 15 лет). Теперь ребенок  может координировать все перемещения  в одно по двум системам отсчета  сразу - одна мобильная, другая неподвижная.

Ж. Пиаже считает, что психологическое  исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка (особенно тех логических операций, которые осуществляют в них предварительные  условия) позволяет точно соотнести  операторные структуры мышления со структурами алгебраическими, структурами  порядка и топологическими [16]. Так, алгебраическая структура ("группа") соответствует операторным механизмам ума, подчиняющимся одной из форм обратимости - инверсии (отрицанию). Группа имеет четыре элементарных свойства: произведение двух элементов группы также дает элемент группы; прямой операции соответствует одна и только одна обратная; существует операция тождества; последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает:

• координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к предыдущим;
• операция может развиваться в двух направлениях;
• при возвращении к исходной точке мы находим ее неизменной;
• к одной и той же точке можно прийти разными путями, причем сама точка остается неизменной.

Факты "самостоятельного" развития ребенка (т.е. развития, независимого от прямого влияния школьного обучения) показывают несоответствие порядка  этапов геометрии и этапов формирования геометрических понятий у ребенка. Последние приближаются к порядку  преемственности основных групп, где  топология является первой. У ребенка, по данным Ж. Пиаже, вначале складывается интуиция топологическая, а затем  он ориентируется в направлении  проективных и метрических структур. Поэтому, в частности, как отмечает Ж. Пиаже, при первых попытках рисования  ребенок не различает квадратов, окружностей, треугольников и других метрических фигур, но прекрасно  различает фигуры открытые и закрытые, положение "вне" или "внутри" по отношению к границе, разделение и соседство (не различая до поры до времени расстояния) и т.д. [16c. 23].

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж. Пиаже, применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего, исследования Ж. Пиаже показывают, что в период дошкольного и  школьного детства у ребенка  формируются такие операторные  структуры мышления, которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций (с 7 - 8 лет) интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности математики.

Эти данные говорят о том, что  традиционная психология и педагогика не учитывали в достаточной мере сложного и емкого характера тех  стадий умственного развития ребенка, которые связаны с периодом от 2 до 7 и от 7 до 11 лет.

Рассмотрение результатов, полученных Ж. Пиаже, позволяет сделать ряд  существенных выводов применительно  к конструированию учебной программы  по математике. Прежде всего фактические  данные о формировании интеллекта ребенка  с 2 до 11 лет говорят о том, что  ему в это время не только не "чужды" свойства объектов, описываемые  посредством математических понятий "отношение - структура" но последние  сами органически входят в мышление ребенка.

Традиционные программы не учитывают  этого обстоятельства. Поэтому они  не реализуют многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального  развития ребенка.

Материалы, имеющиеся в современной  детской психологии, позволяют положительно оценивать общую идею построения такого учебного предмета, в основе которого лежали бы понятия об исходных математических структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них связана с определением возрастного "порога", с которого осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по этим программам можно учить  лишь тогда, когда у детей уже  полностью сформировались операторные  структуры (с 14 - 15 лет). Но если предположить, что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз  внутри того процесса, который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания операторных структур, то эти программы можно вводить гораздо раньше (например, с 7 - 8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем обратимости. В "естественных" условиях, при обучении по традиционным программам формальные операции, возможно, только и складываются к 13 - 15 годам. Но нельзя ли "ускорить" их формирование путем более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует прямого анализа математических структур?