Интегральная функция распределения вероятности случайной величины

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 ГОУ ВПО  БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ БИЗНЕСА  И СЕРВИСА 
 
 

   Кафедра   туризма и социально-культурного

                                                           сервиса 
 
 

РЕФЕРАТ 

На  тему: «Интегральная функция распределения вероятности случайной величины» 
 
 
 
 

Выполнила:                                                                                                  

студентка группы  171007                                                        Е. Д. Жданова 

Руководитель:                                                к.б.н., доцент     Е. В. Думачева 
 
 
 
 

Белгород, 2011 г.

Содержание 

Введение

1. Вероятностное  описание результатов и погрешностей

2. Числовые параметры  законов распределения. Центр  распределения. Моменты распределений

3. Оценка результата  измерения

4. Характеристики  нормального распределения

Заключение

Список использованной литературы

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

        Измерения – один из важнейших путей познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе. Наука, техника и промышленность не могут существовать без них. Каждую секунду в мире производятся многие миллиарды измерительных операций, результаты которых используются для обеспечения надлежащего качества и технического уровня выпускаемой продукции, обеспечения безопасной и безаварийной работы транспорта, для медицинских и экологических диагнозов и других важных целей. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля.

Поэтому следует говорить об измерительных  технологиях, понимаемых как последовательность действий, направленных на получение  измерительной информации требуемого качества.

Другой  фактор, подтверждающий важность измерений, – их значимость. Основой любой  формы управления, анализа, прогнозирования, планирования контроля или регулирования  является достоверная исходная информация, которая может быть получена только путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Естественно, что только высокая  и гарантированная точность результатов  измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.

Задача, которая ставится перед метрологом, желающим приблизиться к истинному  значению измеряемой величины и оценить  вероятность определенного отклонения в единичном опыте или в  серии измерений, состоит в отыскании  закона распределения вероятности получения определенного результата от какого-либо аргумента, связанного с отклонением результата от истинного значения. Наиболее универсальным способом достижения этой цели является отыскание интегральных и дифференциальных функций распределения вероятности.

           1. Вероятностное описание результатов и погрешностей 

         Если при повторных измерениях одной и той же физической величины, проведенных с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях получаемые результаты, отличаются друг от друга, то это свидетельствует о наличии случайных погрешностей. Случайные погрешности являются результатом одновременного воздействия на измеряемую величину многих случайных возмущений. Предсказать результат наблюдения или исправить его введением поправки невозможно. Можно лишь с определенной долей уверенности утверждать, что истинное значение измеряемой величины находится в пределах разброса результатов наблюдений от x_min до x_max, где x_min, x_max – соответственно, нижняя и верхняя границы разброса.

Однако  остается неясным, какова вероятность  появления того или иного значения погрешности, какое из множества лежащих в этой области значений величины принять за результат измерения и какими показателями охарактеризовать случайную погрешность результата. Для ответа на эти вопросы требуется принципиально иной, чем при анализе систематических погрешностей, подход. Подход этот основывается на рассмотрении результатов наблюдений, результатов измерений и случайных погрешностей как случайных величин. Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют установить вероятностные (статистические) закономерности появления случайных погрешностей и на основании этих закономерностей дать количественные оценки результата измерения и его случайной погрешности [3].

         Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма – закон распределения плотности вероятностей случайной величины.

         Рассмотрим формирование дифференциального закона на примере измерений с многократными наблюдениями. Пусть произведено n последовательных наблюдений одной и той же величины x и получена группа наблюдений x₁, x₂, x,..., x_n. Каждое из значений x_i содержит ту или иную случайную погрешность. Расположим результаты наблюдений в порядке их возрастания, от x_min до x_max и найдем размах ряда L = x_max − x_min. Разделив размах ряда на k равных интервалов Δl = L / k, подсчитаем количество наблюдений n_k, попадающих в каждый интервал. Оптимальное число интервалов определяют по формуле Стерджесса k = 1÷3,3 lg n. Изобразим полученные результаты графически, нанеся на ось абсцисс значения физической величины и обозначив границы интервалов, а на ось ординат – относительную частоту попаданий n_k / n. Построив на диаграмме прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, а высотой n_k / n, получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений в данном опыте.

         Если распределение случайной величины х статистически устойчиво, то можно ожидать, что при повторных сериях наблюдений той же величины, в тех же условиях, относительные частоты попаданий в каждый интервал будут близки к первоначальным. Это означает, что построив гистограмму один раз, при последующих сериях наблюдений можно с определенной долей уверенности заранее предсказать распределение результатов наблюдений по интервалам. Приняв общую площадь, ограниченную контуром гистограммы и осью абсцисс, за единицу, S₀ =1, относительную частоту попаданий результатов наблюдений в тот или иной интервал можно определить как отношение площади соответствующего прямоугольника шириной l к общей площади [5].

         Графически эта вероятность выражается отношением площади, лежащей под кривой f (x) в интервале от x₁ до x₂ к общей площади, ограниченной кривой распределения. Следовательно, рассмотренное выше условие нормирования означает, что вероятность попадания величины х в интервал [− ∞; + ∞] равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие. Вероятность этого события называется функцией распределения случайной величины и обозначается F(x). Функцию распределения F(x) иногда называют также интегральной функцией распределения. В терминах интегральной функции распределения имеем

P {x₁ ≤ x ≤ x₂} = F (x₁)− F (x₂),

т.е. вероятность  попадания результата наблюдений или  случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции  распределения на границах этого  интервала.

         Интегральной функцией распределения F(x) называют функцию, каждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина x_i в i -м опыте принимает значение, меньшее х. График интегральной функции распределения показан на рис. 3, а. Она имеет следующие свойства:

− неотрицательная, т.е. F(x) ≥ 0;

− неубывающая, т.е. f (x₂) ≥ F(x₁), если x₂ ≥ x₁;

− диапазон ее изменения: от 0 до 1, т.е. F(−∞) = 0; F(+∞) = 1;

− вероятность  нахождения случайной величины х в диапазоне от x₁ до

x_2: P{x₁ < x < x₂}= F(x₂) − F(x₁). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Числовые  параметры законов распределения.  Центр распределения. Моменты  распределений

         Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения результатов измерений и случайных погрешностей. Однако для их определения необходимо проведение весьма длительных и кропотливых исследований и вычислений. В большинстве случаев бывает достаточно охарактеризовать случайные величины специальными параметрами, основными из которых являются:

− центр  распределения;

− начальные  и центральные моменты и производные  от них коэффициенты – математическое ожидание (МО), среднее квадратическое отклонение (СКО), эксцесс, контрэксцесс и коэффициент асимметрии.

Координата  центра распределения Xц определяет положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является определение центра по принципу симметрии вероятностей, т.е. нахождение такой точки X_M на оси х, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайных погрешностей равны между собой и составляют P₁ = P₂ = 0,5.

        У некоторых распределений, например, у распределения Коши, не существует МО, так как определяющий его интеграл расходится.

При симметричной кривой плотности распределения  вероятностей f (x) оценкой центра распределения может служить абсцисса моды распределения, т.е. координата максимума плотности распределения X_m. Однако есть распределения, у которых не существует моды, например, равномерное. Распределения с одним максимумом называются одномодальными, с двумя – двухмодальные. Те распределения, у которых в средней части расположен не максимум, а минимум, называются антимодальными [1].

          Для двухмодальных распределений применяется оценка центра в виде центра сгибов: где x_c1, x_c2 – сгибы, т.е. абсциссы точек, в которых распределение достигает максимумов.

        Для ограниченных распределений применяется оценка в виде центра размаха: где x₁, x₂ – первый и последний члены вариационного ряда, соответствующего распределению.

         При выборе оценки центра распределения необходимо учитывать ее чувствительность к наличию промахов в обрабатываемой совокупности данных. Исключительно чувствительны к наличию промахов: оценка в виде центра размаха X_p (определяется по наблюдениям, наиболее удаленным от центра, каковыми и являются промахи); оценка в виде среднего арифметического (ослабляется лишь из n раз). Защищенными от влияния промахов являются квантильные оценки: медиана X_M и центр сгибов Xc, поскольку они не зависят от координат промахов.

           При статистической обработке данных важно использовать наиболее эффективные, т.е. имеющие минимальную дисперсию, оценки центра распределения, так как погрешность в определении Xц влечет за собой неправильную оценку СКО, границ доверительного интервала, эксцесса и т.д.

          Все моменты представляют собой некоторые средние значения, причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра распределения – то центральными.

           Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины и выражает как бы мощность рассеяния относительно постоянной составляющей. Однако чаще пользуются положительным корнем квадратным из дисперсии – средним квадратическим отклонением (СКО) σ = D, которое имеет размерность самой случайной величины [4].

Третий  центральный момент служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения. С его использованием вводится коэффициент асимметрии υ = μ₃ / σ³. Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен нулю. Вид законов распределения при различных значениях коэффициента асимметрии приведен на рис. 6, а.