Непрерывные случайные величины. Законы распределения

1.Историческая  справка

 

Теория вероятностей возникла в середине 17 в. Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским  учёным Б. Паскалю и П. Ферма и  голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились  в связи с подсчётом различных  вероятностей в азартных играх. Крупный  успех теории вероятностей связан с  именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших  чисел для схемы независимых  испытаний с двумя исходами (опубликовано в 1713).

Следующий (второй) период истории теории вероятностей (18 в. и  начало 19 в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это - период, когда теория вероятностей уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи  с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы). К этому  периоду относится доказательство первых предельных теорем, носящих  теперь названия теорем Лапласа (1812) и  Пуассона (1837); А. Лежандром (Франция, 1806) и Гауссом (1808) в это же время  был разработан способ наименьших квадратов.

Третий период истории  теории вероятностей. (2-я половина 19 в.) связан в основном с именами  русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). Теория вероятностей развивалась в  России и раньше (в 18 в. ряд трудов по В. т. был написан работавшими  в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и  Д. Бернулли; во второй период развития теории вероятностей следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам теории вероятностей, связанным с  математической статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике и демографии). Со 2-й половины 19 в. исследования по теории вероятностей в России занимают ведущее место  в мире. Чебышев и его ученики  Ляпунов н Марков поставили и  решили ряд общих задач в теории вероятностей, обобщающих теоремы Бернулли и Лапласа. Чебышев чрезвычайно  просто доказал (1867) закон больших  чисел при весьма общих предположениях. Он же впервые сформулировал (1887) центральную  предельную теорему для сумм независимых  случайных величин и указал один из методов её доказательства. Другим методом Ляпунов получил (1901) близкое  к окончательному решение этого  вопроса. Марков впервые рассмотрел (1907) один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил название цепей Маркова.

В Западной Европе во 2-й  половине 19 в. получили большое развитие работы по математической статистике (в Бельгии - А. Кетле, в Англии - Ф. Гальтон) и статистической физике (в  Австрии - Л. Больцман), которые наряду с основными теоретическими работами Чебышева, Ляпунова и Маркова создали  основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей в  четвёртом (современном) периоде её развития. Этот период истории теории вероятностей характеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданием нескольких систем безукоризненно строгого математического обоснования  теории вероятностей, новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо классического анализа) средств  теории множеств, теории функций действительного  переменного и функционального  анализа. В этот период при очень  большом усилении работы по теории вероятностей за рубежом (во Франции - Э. Борель, П. Леви, М. Фреше, в Германии - Р. Мизес, в США - Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб, в Швеции - Г. Крамер) советская  наука продолжает занимать значительное, а в ряде направлений и ведущее  положение.

 

 

 

 

В нашей стране новый период развития теории вероятностей открывается  деятельностью С. Н. Бернштейна, значительно  обобщившего классические предельные теоремы Чебышева, Ляпунова и Маркова  и впервые в России широко поставившего работу по применениям теории вероятностей к естествознанию. В Москве А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров начали с применения к вопросам теории вероятностей методов  теории функций действительного  переменного. Позднее (в 30-х гг.) они (и Е. Е. Слуцкий) заложили основы теории случайных процессов. В. И. Романовский (Ташкент) и Н. В. Смирнов (Москва) поставили  на большую высоту работу по применениям  теории вероятностей к математической статистике. Кроме обширной московской группы специалистов по теории вероятностей, в настоящее время в России разработкой проблем В. т. занимаются в Санкт-Петербурге и в Киеве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Основной теоретический  вопрос: Непрерывные случайные величины. Законы распределения.

1.Непрерывные  случайные величины и их характеристики.

Случайной называют величину, которая в результате испытания  примет одно и только одно возможное  значение, наперед неизвестное и  зависящее от случайных причин, которые  заранее не могут быть учтены.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает  отдельные, изолированные возможные  значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную  величину, которая может принимать  все значения из некоторого конечного  или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной  случайной величины — бесконечно.

Математическим ожиданием  дискретной случайной величины называют сумму произведении всех ее возможных  значений на их вероятности.

 

Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл:

 

Дисперсией дискретной случайной  величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

 

Дисперсией непрерывной  случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

 

Среднеквадратичное отклонение

 

Свойства числовых характеристик:

1)

 

 

2)

 

 

3)

 

 

2.Закон распределения 

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. При табличном задании  закона распределения дискретной случайной  величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая —  их вероятности:

 

 

Приняв во внимание, что  в одном испытании случайная  величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события X=xL, X=x2 Х=хп образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице:

 

3.Биноминальное  распределение

Пусть производится п независимых  испытаний, в каждом из которых событие  А может появиться, либо не появиться. Вероятность наступления события  во всех испытаниях постоянна и равна  р (следовательно, вероятность непоявления  q=1-p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях. Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза либо n раз. Таким образом, возможные значения X таковы:

 

Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

, где 1,2,…,n

Формула (*) и является аналитическим  выражением искомого закона распределения.              Биноминальным называют распределение  вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биноминальным»  потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий  член разложения бинома Ньютона.

 

Таким образом, первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член

определяет вероятность  наступления события n-1 раз...; последний член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу. Напишем биноминальный закон в виде таблицы:

 

 

4.Распределение Пуассона

Пусть производится п независимых  испытаний, в каждом из которых вероятность  появления события А равна  р. Для определения вероятности  k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако, эта формула непригодна, если вероятность события мала (). В этих случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона. Итак, поставим своей задачей найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: произведение np сохраняет

постоянное значение, а  именно .. Как будет следовать из дальнейшего это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях n, остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления  интересующей нас  вероятности:

 

Так как pn=*, то p=*/n. Следовательно

,

 Приняв во внимание, что nимеет очень большое значение, вместо найдем

    При этом будет  найдено лишь приближенное значение  отыскиваемой вероятности:n хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим n к бесконечности.

 

Итак (для простоты записи знак приближенного равенства опущен),

 

Эта формула выражает закон  распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) редких (p мало) событий.

5.Задачи

№1В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение. Случайная величина X—число стандартных деталей среди отобранных деталей — имеет следующие возможные значения:

 

Найдем вероятности возможных  значений X по формуле:

 

(N—число деталей в партии, n— число стандартных деталей в партии, m—число отобранных деталей, k—число стандартных деталей среди отобранных),

 находим:

 

 

 

 

Составим искомый закон распределения:

 

 

Контроль: 1/45+16/45+28/45 = 1.

№2 Деталь изготовлена в количестве 100000 штук. Вероятность того, что деталь изготовлена неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что выпуск  содержит ровно пять бракованных деталей.

Решение. По условию, n— 100000, р — 0,0001, k = 5. События, состоящие в том, что детали изготовлены неправильно, независимы, число n велико, а вероятность р мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона:

 

Найдем *:        *=np=100 000*0,0001=10

Искомая вероятность:

№3 При испытании легированной стали на содержание углерода вероятность того, что в случайно взятой пробе процент углерода превысит допустимый уровень, равна р=0,01. Считая применимым закон редких явлений, вычислить, сколько в среднем необходимо испытать образцов, чтобы с вероятностью р=0,95 указанный эффект наблюдался по крайней мере 1 раз.

Решение. События "указанный эффект наблюдался по крайней мере один раз" (обозначим через Р) и "указанный эффект не наблюдался ни одного раза" (обозначим через Q), очевидно, являются противоположными. Следовательно, P+Q=1, откуда

Р=1-Q=1-P_n(0)=1-e^-a.

По условию Р=0,95, следовательно

е^-а=0,05,

а=np=3,

откуда

Таким образом, искомое среднее  число образцов, которое необходимо испытать, - 300 штук.

 

 

№4 Среднее число деталей, выпускаемых станком в минуту, равно 120. Найти вероятность того, что за две секунды станок не выпустит ни одной детали; за две секунды станок произведет меньше двух деталей.

Решение. Среднее число выпуска деталей за две секунды равно:

Вероятность того, что станок в течение 2-ух секунд не выпустит ни одной детали равна:

Событие, состоящее в поступлении менее двух деталей , означает, что станок либо не выпустит ни одной детали, либо выпустил только  одну. Таким образом, вероятность поступления менее 2-ух деталей за то же время равна:

№5 Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. Т.к. по условию n=1000 достаточно велико, а m=0,002 мало, можно воспользоваться распределением Пуассона:

 

где а=np=1000·0,002=2.

№6 Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р1=0,3; p2=0,4; p3=0,5; p4=0,6. Найти закон распределения этой случайной величины, математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Решение: Принимая за случайную величину число отказавших  приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности.

Примем qi=1-pi.

1) Не отказал ни один  прибор.

P(0)=q1q2q3q4=0,7∙0,4∙0,5∙0,4=0,084

2) Отказал один из приборов.

P(1)=p1q2q3q4+q1p2q3q4+q1q2p3q4+q1q2q3p4=0,302

3) Отказали два прибора.

P(2)=p1p2q3q4+p1q2p3q4+p1q2q3p4+q1p2p3q4+q1p2q3p4+q1q2p3p4=0,38

4) Отказали три прибора.

P(3)=p1p2p3q4+p1p2q3p4+p1q2p3p4+q1p2p3p4=0,198

5) Отказали все приборы.

P(4)=p1p2p3p4=0,036

Получаем закон распределения:

X 0 1 2 3 4

X2 0 1 4 9 16

P 0,084 0,302 0,38 0,198 0,036

Математическое ожидание:

M(X)=0,302+2∙0,38+3∙0,198+4∙0,036=1,8

M(X)=0, 302+4∙0,38+9∙0,198+16∙0,036=4,18

 Дисперсия:

D(X)=M(X2)-(M(X))2=4,18-3,24=0,94

 

№7   Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение: Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна р=0,96.

MX=p∙n=1000∙0,96=960

DX=npq=1000∙0,96∙0,04=38,4

№8 Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

Решение. Число и=500 велико, вероятность р=0,002 мала И рассматриваемые события (повреждение изделий) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона: