Интегральная функция распределения вероятности случайной величины

         Четвертый центральный момент служит для характеристики плосковершинности или островершинности распределения. Эти свойства описываются с помощью эксцесса ε = μ ₄ / σ⁴.

         Его значения лежат в диапазоне от 1 до ∞. Для нормального распределения ε = 3. Вид дифференциальной функции распределения при различных значениях эксцесса показан на рис. 6, б.

         Систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины:

Θ = m₁ −Q,

а случайной  погрешностью – разность между результатом  единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов:

Δx = x_i − m₁.

В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет

Q = x_i − Θ − Δx. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Оценка  результата измерения

        На практике все результаты измерений и случайные погрешности являются величинами дискретными, т.е. величинами x_i, возможные значения которых отделимы друг от друга и поддаются счету. При использовании дискретных случайных величин возникает задача нахождения точечных оценок параметров, их функций распределения на основании выборок – ряда значений x_i, принимаемых случайной величиной x в n независимых опытах. Используемая выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. должна достаточно хорошо представлять пропорции генеральной совокупности.

        Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Задача нахождения точечных оценок – частный случай статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки.

        К оценкам, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины.

         Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины. В том случае, когда можно найти несколько несмещенных оценок, лучшей из них считается та, которая имеет наименьшую дисперсию. Чем меньше дисперсия оценки, тем более эффективной считают эту оценку.

         Точечной оценкой математического ожидания МО результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины

         При любом законе распределения оно является состоятельной и несмещенной оценкой, а также наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов.

Точечная  оценка дисперсии, определяемая по формуле является несмещенной и состоятельной.

          Полученные оценки МО и СКО являются случайными величинами. Это проявляется в том, что при повторении несколько раз серий из n наблюдений каждый раз будут получаться различные оценки X и σ. Рассеяние этих оценок целесообразно оценивать СКО S_x. Оценка СКО среднего арифметического значения

         Способы нахождения оценок результата зависят от вида функции распределения и от имеющихся соглашений по этому вопросу, регламентируемых в рамках законодательной метрологии.

Распределения погрешностей результатов наблюдений, как правило, являются симметричными  относительно центра распределения, поэтому  истинное значение измеряемой величины может быть определено как координата центра рассеивания Xц, т.е. центра симметрии распределения случайной погрешности (при условии, что систематическая погрешность исключена). Отсюда следует принятое в метрологии правило оценивания случайной погрешности в виде интервала, симметричного относительно результата измерения (Xц ± Δx).

        В практике измерений встречаются различные формы кривых распределения случайных величин, целесообразно классифицировать их следующим образом:

− трапецеидальные, например, равномерное, треугольное (Симпсона);

− экспоненциальные, например, распределение Лапласа, распределение               Гаусса (нормальное);

− семейство  распределений Стьюдента (предельное распределение семейства законов  Стьюдента – распределение Коши);

− двухмодальные, например, дискретное двузначное распределение, арксинусоидальное распределение, остро- и кругло-вершинные двухмодальные распределения.

Однако  чаще всего имеют дело с нормальным и равномерным распределением плотности  вероятностей.

         Учитывая многовариантность подходов к выбору оценок и в целях обеспечения единства измерений, правила обработки результатов наблюдений обычно регламентируются нормативно-техническими документами (стандартами, методическими указаниями, инструкциями). Так, в стандарте на методы обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями указывается, что приведенные в нем методы обработки установлены для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению [2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Характеристики  нормального распределения 

         Нормальное распределение плотности вероятности или распределение Гаусса характеризуется тем, что, согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, такое распределение имеет сумма бесконечно большого числа бесконечно малых случайных возмущений с любыми распределениями.

        Применительно к измерениям это означает, что нормальное распределение случайных погрешностей возникает тогда, когда на результат измерения действует множество случайных возмущений, ни одно из которых не является преобладающим. Практически, суммарное воздействие даже сравнительно небольшого числа возмущений приводит к закону распределения результатов и погрешностей измерений, близкому к нормальному.

           Рассмотрим несколько свойств нормального распределения погрешностей.

           Кривая нормального распределения погрешностей симметрична относительно оси ординат. Это означает, что погрешности, одинаковые по величине, но противоположные по знаку, имеют одинаковую плотность вероятностей, т.е. при большом числе наблюдений встречаются одинаково часто. Математическое ожидание случайной погрешности равно нулю.

           Из характера кривой следует, что при нормальном законе распределения малые погрешности будут встречаться чаще, чем большие. Так, вероятность появления погрешностей, укладывающихся в интервал от 0 до Δx₁ (рис. 7), характеризуемая площадью S₁, будет значительно больше, чем вероятность появления погрешностей в интервале от Δx₂ до Δx₃ (площадь S₂). На рис. 8 изображены кривые нормального распределения с различными средними квадратическими отклонениями, причем σ₁ > σ₂ > σ₃.

         Сравнивая кривые между собой можно убедиться, что чем меньше СКО, тем меньше рассеяние результатов наблюдений и тем больше вероятность того, что большинство случайных погрешностей в них будет мало.

          Естественно заключить, что качество измерений тем выше, чем меньше СКО случайных погрешностей. Если вместо случайной величины ввести так называемую нормированную случайную величину, то она также будет распределена по нормальному закону с центром распределения m_x, абсцисса которого m_x = 0, а σ =1.

        Определенный интеграл с переменным верхним пределом, имеющий вид

и определяющий значение площади под кривой плотности  вероятности, называют функцией Лапласа.

         Для нее справедливы следующие равенства:

Ф(−  ∞) = −0,5; Ф(0) = 0; Ф(+ ∞) = 0,5; Ф(t) = −Ф(t).

        Функция распределения F(t) связана с функцией Лапласа формулой

F(t) = 0,5 +Ф(t). (4.14)

         Эта формула позволяет при наличии таблицы значений Ф(t), соответствующих различным значениям t, рассчитать F(t). Таблицы плотности вероятностей f(t) и функции Ф(t) нормированной случайной величины, распределенной по нормальному закону, дают возможность найти плотность вероятности f(x) и значения функции распределения F(x) любой случайной величины, распределенной по нормальному закону, если известны значения ее центра распределения m_x и параметра σ.

        Если случайная величина х принимает значения лишь в пределах некоторого конечного интервала от x₁, до x₂ с постоянной плотностью вероятностей (рис. 9), то такое распределение называется равномерным и описывается соотношениями 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

      Случайная величина, значения которой заполняют  некоторый промежуток, называется непрерывной.

      Вообще  непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое  расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой  одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр.

      При описании непрерывной случайной  величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное  множество, называемое «континуум».

      Если x – непрерывная случайная величина, то равенство x = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события. Так, например, можно говорить, что только с вероятностью «нуль» снаряд пролетит 5245,7183 метра, или что отклонение действительного размера детали от номинального составит 0,001059 миллиметра. В этих случаях практически невозможно установить, произошло событие или нет, так как измерения величин проводятся с ограниченной точностью, и в качестве результата измерения можно фактически указать лишь границы более или менее узкого интервала, внутри которого находится измеренное значение.

      Вероятность, отличная от нуля, может быть связана  только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь  можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует  масса, сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от левого конца стержня, имеет смысл  говорить лишь о массе, заключённой  между сечениями, проходящими через  концы некоторого промежутка.

      Список  использованной литературы 

     1 Марусина, М. Я.  Учебное пособие [Текст] / Ф.Умпл // Библиотеки учебных заведений. - 2000 - №1, 62 с.

     2.  Будун, Г. Д.  Основы методологии [Текст] : учебное пособие для вузов / под ред. М.М. Допаев  - М.: Наука, 90-91 с.

     3. Маров, М.Я. Метрология и стандартизация [Текст] : учеб. пособие / под ред. М.Я. Маров. Изд. 5,-М. : 2005. – 27, 30-31, 44, 137, 234, 266 с.

     4. Миннарт, М. Теория систем автоматического регулирования 
[Текст] : учеб. пособие / под ред. М. Миннарт, Москва, - АСТ ,2004. - 223с.

     5. Силкин, Б. И. Основы теории автоматических систем [Текст] : учеб. пособие / под ред. Б.И. Силкин  – М. : Наука, 2000. – 10-11, 194-195, 196-197, 205 с.