Формирование математических понятий у младших школьников

   1) Система упражнений должна обеспечить  наглядную основу формируемого  понятия. Поэтому при выполнении  упражнений важно во многих  случаях использовать наглядность. При ознакомлении с математическими понятиями и закономерностями в начальных классах часто используют для этой цели операции над множествами и записи соответствующих арифметических действий.

   2) Упражнения надо подбирать так,  чтобы сохранялись неизменными существенные свойства, а несущественные изменялись. Кроме того, должно быть достаточное число упражнений, т.е. столько, сколько потребуется для того, чтобы каждый ученик на основе их анализа сам пришел к обобщению.

   3) При знакомстве с новым материалом, который сходен с уже изученным, надо так подбирать упражнения, чтобы раскрывать новый материал в сопоставлении со сходным, выделяя существенное сходное. Раскрывая противоположные понятия, надо подбирать упражнения так, чтобы можно было использовать прием противопоставления, т.е. выделит существенное различное. Приемы сопоставления и противопоставления помогают правильному обобщению формируемого понятия, предупреждают смешение.

   Таким образом, при ознакомлении учащихся с новым теоретическим материалом (вводя понятия, раскрывая свойства, связи) учитель через систему упражнений подводит детей к обобщению. Обобщение выражается в речи: ученики формулируют соответствующий вывод. Важно, чтобы ученики сами сформулировали вывод. Это покажет учителю, что они пришли к обобщению.

   В последнее время большой популярностью  пользуется методика В.В. Давыдова. Давыдов  В.В. считает возможным открытия учащимися всеобщего содержания некоторого понятия как основы для  последующего выведения его частных  проявлений. Утверждается необходимость перехода от всеобщего к частному.

   В.В. Давыдов считает возможным открытие учащимися всеобщего содержания некоторого понятия как основы для  последующего выведения его частных  проявлений. Утверждается необходимость  перехода от всеобщего к частному.

   В.В. Давыдов считает, что понятие  у младших школьников должны формироваться  дедуктивным путём. Давыдов выделяет наиболее важные условия, реализующие  построения учебных предметов путём  перехода от общего к частному на основе специфических учебных действий. Так, построение учебной работы на основе теоретического обобщения реализуется тогда, когда в ней учитываются следующие моменты:[17]

   1) все понятия, конституирующие  данный учебный предмет или  его основные разделы, должны  усваиваться детьми путём рассмотрения условий их происхождения, благодаря которым они становятся необходимыми (т.е. понятия не даются как готовое задание);

   2) усвоение заданий общего и  абстрактного характера предшествует  знакомству с более частными  и конкретными знаниями, последние должны быть выведены из абстрактного как из своей единой основы; это вытекает из установки на выяснение происхождения понятий и соответствует требованиям восхождения от абстрактного к конкретному;

   3) при изучении предметно-материальных  источников тех или иных понятий ученики прежде всего должны обнаружить генетически исходную, всеобщую связь, определяющую содержание и структуру всего объекта данных понятий (например, для объекта всех понятий школьные математики такой всеобщей связью выступает общее отношение величин);

   4) эту связь необходимо воспроизвести  в особых предметных, графических  или буквенных моделях, позволяющих  изучать её свойства «в чистом  виде» (например, общие отношения  величин дети могут изобразить  в виде буквенных формул, удобных  для дальнейшего изучения свойств этих отношений);

   5) у школьников нужно специально  сформировать такие предметные  действия, посредством которых они  могут в учебном материале  выявить и в моделях воспроизвести  существенную связь объекта, а  затем изучать её свойства (например, для выявления связи, лежащей в основе понятия целых, дробных и действительных чисел, у детей необходимо сформулировать особое действие по определению кратного отношения величин);

   6) учащиеся должны постепенно и  своевременно переходить от предметных действий к их выполнению в умственном плане.

   Так же, как и Давыдов В.В. дедуктивный  путь формирования понятий у младших  школьников предлагает С.Е. Царёва. В  курсе «Математика и конструирование» «учебный материал в темах  представлен  таким образом, чтобы ориентировать учителя на создание у детей прежде всего общих представлений об основных понятиях во всём многообразии смыслов и интерпретаций этих понятий, со всеми взаимосвязями их с другими понятиями тем, а также на овладение детьми соответствующими практическими и умственными способами деятельности.»

   Таким образом, основное различие этих методик  в индуктивном или дедуктивном  подходе.

   Основные  принципы данных методик мы постарались  использовать в педагогической практике при составлении систем заданий, направленных на формирование понятий у младших школьников.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   1.3.Сущность  математических  понятий

   Понятия, которые изучаются в начальном  курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше, меньше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и др. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и др. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

   Прежде  чем изучать такое обилие самых  разных понятий, надо иметь представление  о понятии как логической категории  и особенностях математических понятий.

   В логике понятия рассматривают как  форму мысли, отражающую объекты (предметы или явления) в  их существенных и общих  свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов. Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная, заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления.

   Результатом абстрагирования являются и такие  математические понятия, как «число»  и  «величина».

   Вообще  математические объекты  существуют лишь в мышлении человека и в тех  знаках и символах, которые образуют математический язык.

   К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функции, т.е. абстракцией от абстракций.

   Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математике, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.

   Всякий  математический объект обладает определенными  свойствами.

   Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать

   Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество  объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

   Вообще  объем понятия - это  множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

   Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

   Содержание  понятия – это  множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

     Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот.

   Любое понятие нельзя усвоить, не осознав  его взаимосвязи с другими  понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать  эти связи.

   Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

   Рассмотрим  отношение рода и вида между понятиями.

   Во - первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

   Во–вторых, для данного понятия часто  можно указать несколько родовых  понятий.

   В – третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия.

   Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между  объемами понятий, изображать их при  помощи кругов Эйлера. 

                   А В

    1. объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может, названа отрезком.

                   А 
 

   2. объемы данных понятий находятся  в отношении включения, но не  совпадают.

           А                            В

   3. объемы понятий пересекаются, но не одно множество не является подмножеством другого.

   О понятиях «прямая» и «отрезок» можно  сказать, что они находятся в  отношении целого и части: отрезок  – часть прямой, а не ее вид. И  если видовое понятие обладает всеми  свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого.

   Появление в математике новых понятий, а  значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

   Определением  обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина. Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. В определении есть две части – определяемое понятие и определяющее понятие. Если обозначить через a  первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде

                                                          a           b      (a по определению b)

   Определения,  имеющие такую структуру, называются явными. Рассмотрим их  подробнее.

   Обратимся к определению прямоугольника, вернее, к его второй части – определяющему понятию. В нем можно выделить:

   1) понятие «четырехугольник», которое  является родовым по отношению  к понятию «прямоугольник»,

   2) свойство «иметь все углы прямые»,  которое позволяет выделить из  всевозможных четырехугольников  один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

   Вообще  видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют  выделять определяемые объекты из объема родового понятия.