Проверка  независимости значений уровней случайной компоненты

       То  есть проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности может осуществляться по ряду критериев, наиболее распространенным из которых является d-критерий Дарбина—Уотсона. Расчетное значение этого критерия определяется по формуле

                                    (12)

Заметим, что расчетное значение критерия Дарбина-Уотсона в интервале от 2 до 4 свидетельствует об отрицательной связи; в этом случае его надо преобразовать по формуле d' = 4 - d и в дальнейшем использовать значение d'.

       Расчетное значение критерия d (или d') сравнивается с верхним d₂ и нижним d₁ критическими значениями статистики Дарбина—Уотсона, фрагмент табличных значений которых для различного числа уровней ряда n и числа определяемых параметров модели k представлен для наглядности в табл. 2 (уровень значимости 5%).

       Таблица 2

 

Если  расчетное значение критерия d больше верхнего табличного значения d₂,то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается. Если значение d меньше нижнего табличного значения d₂, то эта гипотеза отвергается и модель неадекватна. Если значение d находится между значениями d₁ и d₂, включая сами эти значения, то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод и необходимы дальнейшие исследования, например, по большему числу наблюдений. Вывод об адекватности трендовой модели делается, если все указанные выше четыре проверки свойств остаточной последовательности дают положительный результат. Для адекватных моделей имеет смысл ставить задачу оценки их точности. Точность модели характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемой переменной (экономического показателя). Для показателя, представленного временным рядом, точность определяется как разность между значением фактического уровня временного ряда и его оценкой, полученной расчетным путем с использованием модели, при этом в качестве статистических показателей точности применяются следующие: среднее квадратическое отклонение

,                               (13)

средняя относительная ошибка аппроксимации

                                 (14)

коэффициент сходимости

                                          (15)

коэффициент детерминации

                                                                                  (16)

и другие показатели; в приведенных формулах n — количество уровней ряда, k — число определяемых параметров модели, — оценка уровней ряда по модели, — среднее арифметическое значение уровней ряда.

       На  основании указанных показателей  можно сделать выбор из нескольких адекватных трендовых моделей экономической динамики наиболее точной, хотя может встретиться случай, когда по некоторому показателю более точна

одна  модель, а по-другому — другая. Данные показатели точности моделей рассчитываются на основе всех уровней временного ряда и поэтому отражают лишь точность аппроксимации. Для оценки прогнозных свойств модели целесообразно использовать так называемый ретроспективный прогноз — подход, основанный на выделении участка из ряда последних уровней исходного временного ряда в количестве, допустим, n₂ уровней в качестве проверочного, а саму трендовую модель в этом случае следует строить по первым точкам, количество которых будет равно n₁=n-n₂.Тогда для расчета показателей точности модели по ретроспективному прогнозу применяются те же формулы, но суммирование в них будет вестись не по всем наблюдениям, а лишь по последним n₂ наблюдениям. Например, формула для среднего квадратического отклонения будет иметь вид:

,

где — значения уровней ряда по модели, построенной для первых n₁ уровней.

       Оценивание  прогнозных свойств модели на ретроспективном  участке весьма полезно, особенно при  сопоставлении различных моделей  прогнозирования из числа адекватных. Однако надо помнить, что оценки ретропрогноза — лишь приближенная мера точности прогноза и модели в целом, так как прогноз на период упреждения делается по модели, построенной по всем уровням ряда.

         Пример.  Для временного ряда, представленного в первых двух графах табл. 3, построена трендовая модель в виде полинома первой степени (линейная модель):

 = 87,8 - 3,4t.

       Требуется оценить адекватность и точность построенной модели. Прежде

всего сформируем остаточную последовательность (ряд остатков), для чего из фактических значений уровней ряда вычтем соответствующие расчетные значения по модели: остаточная последовательность приведена в гр. 4 табл. 3.

Таблица 3

 

       Проверку  случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия пиков (поворотных точек). Точки пиков отмечены в  гр. 5 табл. 3;их количество равно шести (р = 6).Правая часть неравенства (9) равняется в данном случае двум, т.е. это неравенство выполняется. Следовательно, можно сделать вывод, что свойство случайности ряда остатков подтверждается.

       Результаты  предыдущей проверки дают возможность  провести проверку соответствия остаточной последовательности нормальному закону распределения. Воспользуемся RS - критерием. В нашем случае размах вариации R = = 2,7 - (-2,1) = 4,8 , а среднее квадратическое отклонение . Следовательно, критерий RS = 4,8:1,39 = 3,45, и это значение попадает в интервал между нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (эти границы для n= 10 и уровня значимости a= 0,05 составляют соответственно 2,7 и 3,7). Это позволяет сделать вывод, что свойство нормальности распределения выполняется.

       Переходя  к проверке равенства (близости) нулю математического ожидания ряда остатков, заметим, что по результатам вычислений в табл. 3 это математическое ожидание равно (-0,3): 9 -0,03 и, следовательно, можно подтвердить выполнение данного свойства, не прибегая к статистике Стьюдента.

       Для проверки независимости уровней  ряда остатков (отсутствия автокорреляции) вычислим значение критерия Дарбина—Уотсона. Расчеты по формуле (12), представленные в гр. 6, 7, 8 табл. 3, дают следующее значение этого критерия: d = 35,26 : 15,51 = 2,27. Эта величина превышает 2,

что свидетельствует  об отрицательной автокорреляции, поэтому критерий Дарбина—Уотсона необходимо преобразовать: d’ = 4 - d = 4 - 2,27 =1,73. Данное значение сравниваем с двумя критическими табличными значениями

критерия, которые для линейной модели в нашем случае можно принять равными d₁ =1,08 и d₂= 1,36. Так как расчетное значение попадает в интервал от d ₂   до 2, то делается вывод о независимости уровней остаточной последовательности.

       Из  сказанного выше следует, что остаточная последовательность удовлетворяет всем свойствам случайной компоненты временного рада, следовательно, построенная линейная модель является адекватной.

       Для характеристики точности модели воспользуемся  показателем средней относительной ошибки аппроксимации, который рассчитывается по формуле (14): = 13,29 : 9 = 1,48 (%). Полученное значение средней относительной ошибки говорит о достаточно высоком уровне точности построенной модели (ошибка менее 5% свидетельствует об удовлетворительном уровне точности; ошибка в 10 и более процентов считается очень большой).

§3. Прогнозирование экономической динамики на основе           трендовых моделей.

       Прогнозирование экономических показателей на основе трендовых моделей, как и большинство других методов экономического прогнозирования, основано на идее экстраполяции. Как уже сказано выше, под экстраполяцией обычно понимают распространение закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы.

       В более широком смысле слова ее рассматривают как получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему. В процессе построения прогнозных моделей в их структуру иногда закладываются элементы будущего предполагаемого состояния объекта или явления, но в целом эти модели отражают закономерности, наблюдаемые в прошлом и настоящем, поэтому достоверный прогноз возможен лишь относительно таких объектов и явлений, которые в значительной степени детерминируются прошлым и настоящим.

       Существуют две основные формы детерминации: внутренняя и внешняя. Внутренняя детерминация, или самодетерминация, более устойчива, ее проще идентифицировать с использованием экономико-математических моделей. Внешняя детерминация определяется большим числом факторов, поэтому учесть их все практически невозможно. Если некоторые методы моделирования, например адаптивные, отражают общее совокупное влияние на экономическую систему внешних факторов, т.е. отражают внешнюю детерминацию, то методы, базирующиеся на использовании трендовых моделей экономических процессов, представленных одномерными временными рядами, отражают внутреннюю детерминацию объектов и явлений.

       При экстраполяционном прогнозировании  экономической динамики на основе временных рядов с использованием трендовых моделей выполняются следующие основные этапы:

     1) предварительный анализ данных;

     2) формирование набора моделей  (например, набора кривых

              роста), называемых функциями-кандидатами;

     3) численное оценивание параметров  моделей;

     4) определение  адекватности моделей;

     5) оценка точности адекватных моделей;

     6) выбор лучшей модели;

     7) получение точечного и интервального  прогнозов;