Содержание

Введение

Адаптивная  модель прогнозирования - самонастраивающаяся рекуррентная модель, способная отражать изменяющиеся во времени динамические свойства временного ряда и учитывать информационную ценность его членов.

       Преимущество  адаптивных моделей в том, что  они отражают динамические свойства временного ряда и учитывают информационную ценность его ретроспективных членов и поэтому способны давать достаточно точные оценки будущих значений. Такие модели предназначаются прежде всего для краткосрочного прогнозирования. Они позволяют достичь компромисса между требованием статистических подходов к увеличению объемов выборки для получения более точных оценок и требованием гомогенности (однородности) данных, ибо чем больше период наблюдений, тем выше вероятность того, что исследуемый процесс или объект претерпел коренные изменения.

       Адаптивные  модели обладают высокой гибкостью, но при этом достаточно низкой универсальностью, поскольку приспосабливаются к  конкретному ряду. Поэтому при  построении и обосновании моделей  необходимо учитывать наиболее вероятные закономерности развития исследуемого процесса и соотносить динамические свойства ряда с их структурой и возможностями.

       К числу наиболее популярных адаптивных прогностических моделей можно  отнести модели Хольта, Брауна, Бокса-Дженкинса и др. 
 

            

§1. Трендовые модели на основе кривых роста.

       Основная  цель создания трендовых моделей  экономической динамики — на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по которым отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образовании одномерных временных рядов. Рассмотрим метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста экономической динамики.

       Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях:

     • временной ряд экономического показателя действительно

     имеет тренд, т.е. преобладающую тенденцию;

     •общие условия, определявшие развитие показателя в

     прошлом, останутся без существенных изменений  в течение

          периода упреждения.

       В настоящее время насчитывается  большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Чтобы правильно подобрать наилучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:

y_t = а₀ + a₁+t (полином первой степени)

y_t = а₀ + a₁+t + a₂t² (полином второй степени)

       y_t = а₀ + a₁+t + a₂t² +a₃t³ (полином третьей степени)

       и т.д.

       Параметр, a₁ называют линейным приростом, параметр a₂ — ускорением роста, параметр а₃ — изменением ускорения роста.

         Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле u_t = y_t –y_t-1, t = 2, 3, ..., n,

то они будут постоянной величиной и равны a₁.

       Если  первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь  линейную зависимость от времени  и ряд из первых приростов u₂, u₃,... на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты для полинома второй степени будут постоянны.

       Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты будут линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле , будут постоянной величиной. На основе сказанного можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:

• от полинома высокого порядка можно путем  расчета последовательных

разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;

• значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции y_t.

       Таким образом, полиномиальные кривые роста  можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования  экономических процессов, в которых  последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

       В отличие от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

       Простая экспонента представляется в виде функции.

                                               yt=ab^t,                                                              (1)

где а и b — положительные числа, при этом, если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы — функция убывает.

       Можно заметить, что ордината данной функции  изменяется с постоянным темпом прироста. Если взять отношение прироста к самой ординате, оно будет постоянной величиной:

       

       Прологарифмируем  выражение для данной функции  по любому основанию:

       

       Отсюда  можно заметить, что логарифмы ординат простой экспоненты линейно зависят от времени.

       Модифицированная экспонента имеет вид

       

                        (2) 

где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты модифицированной экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.

       Если  прологарифмировать первые приросты данной функции, то получится функция, линейно зависящая от времени, а если взять отношение двух последовательных приростов, то оно будет постоянной величиной:

       

       В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

       Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение

yt = ka^b,                             (3)

где а, b — положительные параметры, причем b меньше единицы; параметр k — асимптота функции. В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом — прирост функции незначителен, на втором — прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом — происходит замедление темпов прироста, и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.

       Логарифм  данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции -  линейная функция времени.

       На  основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой используются в демографии для моделирования  показателей смертности и т. д.

       Логистическая кривая, или кривая Перла—Рида — возрастающая

функция, наиболее часто выражаемая в виде

                   (4)

другие  виды этой кривой:

     

       В этих выражениях а и b — положительные параметры; k — предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.

       Если  взять производную данной функции, то можно увидеть, что скорость возрастания  логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна достигнутому уровню функции и разности между предельным значением k и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату ее значения (ординаты) есть линейная

функция от времени.

       Конфигурация  графика логистической кривой близка графику кривой Гомперца, но в отличие  от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую  с точкой перегиба.

       Рассмотрим  проблему предварительного выбора вида

кривой  роста для конкретного временного ряда. Допустим,

имеется временной ряд у₁,у₂,у₃,...,у_n.

       Для выбора вида полиномиальной кривой роста  наиболее

распространенным  методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренд и случайная компонента, и во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

       На  первом этапе этого метода вычисляются разности (приросты) до k-го порядка включительно:

       

       Для аппроксимации экономических процессов  обычно вычисляют конечные разности до четвертого порядка.

       Затем для исходного ряда и для каждого  разностного ряда вычисляются дисперсии по следующим формулам: для исходного ряда

для разностного  ряда k-го порядка (k = 1, 2,...)

                             

—биномиальный коэффициент.

       Производится  сравнение отклонений каждой последующей  дисперсии от предыдущей, т.е. вычисляются  величины

       

 

и если для какого-либо k эта величина не превосходит некоторой наперед заданной положительной величины, т.е. дисперсии одного порядка, то степень аппроксимирующего полинома должна быть равна k - 1.

       Более универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания т = 3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле